第2章 轴向拉伸与压缩.ppt

第2章轴向拉伸与压缩,21轴向拉伸和压缩的概念22拉(压)杆的内力计算23横截面和斜截面上的应力2-4胡克定律2-5材料拉伸和压缩时的力学性能2-6强度条件与截面设计的基本概念2-7超静定问题,本章主要内容,21轴向拉伸和压缩的概念,轴向拉压的受力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。,一、概念,轴向拉压的变形特点：,轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。,轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。,轴向压缩，对应的外力称为压力。,轴向拉伸，对应的外力称为拉力。,力学模型如图,二、工程实例,一、内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。,22拉(压)杆的内力计算,二、截面法轴力,内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。,1.截面法的基本步骤：截开：在所求内力处，假想地用截面将杆件切开。代替：任取一部分，弃去部分对留下部分的作用，以内力（力或力偶）代替。平衡：对留下的部分建立平衡方程，求未知内力。（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力）,2.轴力轴向拉压杆的内力，用FN表示。,例如：截面法求N。,截开：,代替：,平衡：,反映出轴力与截面位置的变化关系，较直观；反映出最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位置，为强度计算提供依据。,三、轴力图F(x)的图象表示。,3.轴力的正负规定:,FN与外法线同向,为正轴力(拉力),FN与外法线反向,为负轴力(压力),FN,x,F,意义,例1图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、P的力，方向如图，试画出杆的轴力图。,解：求OA段内力F1：设置截面如图,同理，求得AB、BC、CD段内力分别为：,F2=3PF3=5PF4=P,轴力图如右图,D,FD,N,x,2P,3P,5P,P,轴力(图)的简便求法：自左向右:,轴力图的特点：突变值=集中载荷,遇到向左的F，轴力FN增量为正；遇到向右的F，轴力FN增量为负。,3kN,5kN,8kN,解：x坐标向右为正，坐标原点在自由端。取左侧x段为对象，内力F(x)为：,q,qL,x,O,例2图示杆长为L，受分布力q=kx作用，方向如图，试画出杆的轴力图。,L,q(x),q(x),N,x,O,23横截面及斜截面的应力一、应力的概念,问题提出：,1.内力大小不能衡量构件强度的大小。2.强度：内力在截面分布集度应力；材料承受荷载的能力。,1.定义：由外力引起的（构件某截面上一点处）内力集度。,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。,平均应力(A上平均内力集度),正应力（总应力）：(M点内力集度),2.应力的表示：,全应力分解为：,应力单位：Pa=N/m2MPa=106N/m2GPa=109N/m2,变形前,1.变形规律试验及平面假设：,平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。（直杆在轴向拉压时）,受载变形后：各纵向纤维变形相同。,二、拉（压）杆横截面上的应力,均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布，即各点应力相同。,2.拉伸应力：,轴力引起的正应力：在横截面上均布。,危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。,3.危险截面及最大工作应力：,拉正压负.,5.应力集中（StressConcentration）：,在截面尺寸突变处，应力急剧变大。,4.圣维南Saint-Venant原理：,离开载荷作用点一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。,变形示意图：,(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。),应力分布示意图：,三、拉(压)杆斜截面上的应力,设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。,采用截面法切开,左部平衡由平衡方程：Pa=F,则：,Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。,由几何关系：,代入上式，得：,其中s0为a=0面,即横截面上的正应力.,仿照证明横截面上正应力均布也可证斜截面,斜截面上正应力：,Pa,pa分解为：,反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。,当=90时，,当=0,90时，,2、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。,3、拉压杆内一点M的应力单元体:,1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。,补充：,取分离体如图3，a逆时针为正；ta绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：,4、拉压杆斜截面上的应力,例6直径为d=1cm杆受拉力P=10kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30的斜截面上的正应力和剪应力。,解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：,例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力F，设胶合面的许用拉应力为=100MPa；许用剪应力为=50MPa，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A=4cm，试问:为使杆承受最大拉力,角值应为多大?(规定:在0-60度之间)。,联立(1)、(2)得：,解：,B,(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左侧由正应力控制杆的强度，B点右侧由剪应力控制杆的强度，当a=60时，由(2)式得,解(1)、(2)曲线交点处：,讨论：若,B1,1、杆的纵向总变形：,3、纵向线应变：,2、线应变：单位长度的变形量。,一、拉压杆的变形及应变,24胡克定律,5、横向线应变：,4、杆的横向变形：,二、胡克定律(弹性范围内),“EA”称为杆的抗拉压刚度。,3、泊松比（或横向变形系数）,1、拉压杆的胡克定律,2、单向应力状态下的胡克定律,E拉压弹性模量,1、怎样画小变形放大图？,变形图严格画法，图中弧线；,求各杆的变形量Li，如图；,变形图近似画法，图中弧之切线。,例8小变形放大图与位移的求法。,2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系,解：变形图如图2，B点位移至B点，由图知：,例9设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为76.36mm的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设P=20kN，试求刚索的应力和C点的垂直位移。设刚索的E=177GPa。,解：方法1：小变形放大图法1）求钢索内力：以ABCD为对象,2)钢索的应力和伸长分别为：,D,D,3）变形图如左图,C点的垂直位移为：,25材料拉伸和压缩时的力学性能,一、试验条件及试验仪器,1、试验条件：常温(20)；静载（极其缓慢地加载）；2、试验对象：标准试件。,力学性能：材料在外力作用下,在强度与变形方面表现出的特性。,3、试验设备：万能试验机；变形仪（常用引伸仪）。,二、低碳钢试件的拉伸图(P-L图),三、低碳钢试件的应力-应变曲线(-图),(二)低碳钢拉伸的屈服(流动）阶段(es段),es-屈服段:s-屈服极限,滑移线：,塑性材料的失效应力:s。,四个阶段试件的变化：,、卸载定律：,、-强度极限,、冷作硬化：,、冷拉时效：,(三)、低碳钢拉伸的强化阶段(段),1、延伸率:,2、截面收缩率：,3、脆性、塑性及相对性,(四)、低碳钢拉伸的颈缩（断裂）阶段(bf段),四、无明显屈服现象的塑性材料,0.2,s0.2,名义屈服应力:0.2，即此类材料的失效应力。,五、铸铁拉伸时的机械性能,L-铸铁拉伸强度极限（失效应力）,六、材料压缩时的机械性能,y-铸铁压缩强度极限；y（46）L,七、安全系数、容许应力、极限应力,n,1、许用应力：,2、极限应力：,3、安全系数：,解：变形量可能已超出了“线弹性”范围，故，不可再应用“弹性定律”。应如下计算：,例10铜丝直径d=2mm，长L=500mm，材料的拉伸曲线如图所示。如欲使铜丝的伸长为30mm，则大约需加多大的力P？,由拉伸图知：,s,(MPa),e,(%),二、安全系数n：静载:n=1.252.5,一、极限应力sjx：指材料破坏时的应力.,三、许用应力：,动载:n=23.5or39(危险性大),杆件能安全工作的应力最大值,采用安全系数原因:1.极限应力的差异.2.横截面尺寸的差异.3.载荷估计不准.4.应力计算的近似性.5.构件与工程的重要性.6.减轻设备自重的要求.,n安全n经济,26强度条件与截面设计的概念,其中max-（危险点的）最大工作应力,设计截面尺寸：,依强度准则可进行三种强度计算：,校核强度：,确定许可载荷：,四、强度条件(拉压杆)：,五、三类强度问题：,例3已知一圆杆受拉力P=25kN，直径d=14mm，许用应力=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。,解：轴力：F=P=25kN,应力：,强度校核：,结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。,例4已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q=4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径d=16mm，许用应力=170MPa。试校核刚拉杆的强度。,钢拉杆,4.2m,钢拉杆,8.5m,q,4.2m,RA,RB,HA,应力：,强度校核与结论：,此杆满足强度要求，是安全的。,局部平衡求轴力：,q,RA,HA,RC,HC,F,例5简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使BD杆最轻，角应为何值？已知BD杆的许用应力为。,分析：,x,L,h,q,P,A,B,C,D,BD杆面积A：,解：BD杆内力N(q)：取AC为研究对象，如图,YA,XA,NB,x,L,P,A,B,C,BD杆轴力最大值:,YA,XA,NB,x,L,P,A,B,C,求VBD的最小值：,27拉压超静定问题,1、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）的问题。,一、超静定问题及其处理方法,2、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理方程相结合，进行求解。,不稳定平衡,稳定平衡,静定问题,超静定问题,例11设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、L3=L；各杆面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。,解：、平衡方程:,几何方程变形协调方程：,物理方程弹性定律：,补充方程：由几何方程和物理方程得。,解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:,平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程胡克定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,3、超静定问题的方法步骤：,例12木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160MPa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许可载荷P。,几何方程,物理方程及补充方程：,解：平衡方程:,P,P,y,4N1,N2,P,P,y,4N1,N2,解平衡方程和补充方程，得:,求结构的许可载荷：方法1:,角钢面积由型钢表查得:A1=3.086cm2,所以在1=2的前提下，角钢将先达到极限状态,即角钢决定最大载荷。,求结构的许可载荷：,另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？若将木的边长变为25mm，又怎样？,结构的最大载荷永远由钢控制着。,方法2:,、几何方程,解：、平衡方程:,2、超静定问题存在装配应力。,二、装配应力预应力,1、静定问题无装配应力。,如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。,A,B,C,1,2,D,A1,3,、物理方程及补充方程：,、解平衡方程和补充方程，得:,d,A,A1,、几何方程,1、静定问题无温度应力。,三、温度应力,2、超静定问题存在温度应力。,（可自由伸缩）,（不可自由伸缩，内力应力热应力）,a,a,例13如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5时被固定,杆的上下两段的面积分