数学分析-第五章-导数4-5

2020/5/30,1,第四节隐函数、参数方程确定函数的导数相关变化率,一、隐函数的导数二、对数求导法三、参数方程确定函数的导数四、相关变化率五、小结思考题,2020/5/30,2,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显式化,2020/5/30,3,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,2020/5/30,4,解,解得,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,2020/5/30,5,解,所求切线方程为,显然通过原点.,2020/5/30,6,上例中,2020/5/30,7,例4,解:,2020/5/30,8,例4,解2,2020/5/30,9,二、对数求导法,观察函数,解,等式两边取对数得,2020/5/30,10,二、对数求导法,方法:,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,对数求导法适用范围:,2020/5/30,11,对数求导法适用范围(2):,2020/5/30,12,三、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题:消参困难或无法消参如何求导?,借助第三变量描写函数y(x),2020/5/30,13,由复合函数及反函数的求导法则得,2020/5/30,14,例7,解,所求切线方程为,2020/5/30,15,2a,2a,a,x=a(tsint)y=a(1cost),a,a,圆上任一点所画出的曲线。,旋轮线或摆线,.,一圆沿直线无滑动地滚动，,2020/5/30,16,a,a,02,或,.,P,.,一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。,.,星形线,(圆内旋轮线),2020/5/30,17,例8,解,2020/5/30,18,例8,解,2020/5/30,19,2020/5/30,20,例9,解,2020/5/30,21,由(1)得,等式(2)两边关于t求导得,2020/5/30,22,四、变化率与相关变化率,称为相关变化率问题,实际问题中，经常遇到几个变量之间有相互联系，能不能从已知变化率求出未知变化率?,一个变量相对于另一个变量的变化快慢称为变化率，即函数的导数，如：,2020/5/30,23,解,t时刻,2020/5/30,24,五、小结,隐函数求导法则:直接对方程两边求导;,对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导:实质上是利用复合函数与反函数求导法则;,尤其要注意参数方程的高阶导数,2020/5/30,25,思考题,2020/5/30,26,思考题解答,不对,2020/5/30,27,练习题,2020/5/30,28,2020/5/30,29,2020/5/30,30,2020/5/30,31,练习题答案,2020/5/30,32,2020/5/30,33,第五节函数的微分,一、微分的定义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用五、小结思考题,2020/5/30,34,一、微分的定义,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,2020/5/30,35,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,2020/5/30,36,2020/5/30,37,定理,证,2020/5/30,38,定理,2020/5/30,39,例1,解,2020/5/30,40,M,N,.,y=f(x),dy,.,用切线增量近似曲线增量,dy,函数在x0点的微分dy=,dy是图中哪条线段？,=tanx,二、微分的几何意义,.,y,2020/5/30,41,M,N,.,y=f(x),.,用直线(切线)近似曲线,dy,二、微分的几何意义,.,2020/5/30,42,三、微分的计算法,2020/5/30,43,1.基本初等函数的微分公式,2020/5/30,44,2.函数和、差、积、商的微分法则,2020/5/30,45,2020/5/30,46,解法1（求导法）,解法2（微分法）,2020/5/30,47,例2,解,例3,解,2020/5/30,48,例4,解,2020/5/30,49,3.复合函数的微分法与微分形式不变性,结论：,微分形式的不变性,2020/5/30,50,3.复合函数的微分法则与微分形式的不变性,2020/5/30,51,例3,解,例4,新的解法：,2020/5/30,52,例5,解,在等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,+C),2020/5/30,53,用微分不变性，求复合函数的导数：,2020/5/30,54,用微分不变性，求复合函数的导数：,2020/5/30,55,导数与微分的区别:,2020/5/30,56,四、微分在近似计算中的应用,（一）计算函数增量的近似值（二）计算函数的近似值（三）误差估计,2020/5/30,57,（一）计算函数增量的近似值,2020/5/30,58,（一）计算函数增量的近似值,解,2020/5/30,59,2020/5/30,60,常用近似公式,证明(3):,2020/5/30,61,证明,2020/5/30,62,证明,2020/5/30,63,例2,解,x太大,2020/5/30,64,例2,另解,2020/5/30,65,2020/5/30,66,函数的局部线性化图形显示：在局部范围，可微曲线y=x2的性态就象一条直线,2020/5/30,67,分析表示：曲线y=f(x)在可微点x=a处的切线方程是：y=f(a)+f(a)(x-a)，曲线的切线方程是一线性函数L(x)=f(a)+f(a)(x-a)，它是曲线y=f(x)的很好的近似。,2020/5/30,68,数值验证：在x=处，近似式的精度,当x的值离开较远时，误差就加大了，例如对x=2，线性化对的近似值为2，连一位小数的精度都没有。,2020/5/30,69,例3,解,2020/5/30,70,（三）误差估计,由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.,定义：,问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?,2020/5/30,71,办法:将误差确定在某一个范围内.,通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.,2020/5/30,72,【例4】,【解】,2020/5/30,73,【例4】,