常微分方程第四章第一节

1,4.1高阶线性微分方程的一般理论,/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/,2,理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构,理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构,本节要求/Requirements/,3,n阶线性微分方程一般形式：,其中,是区间,上的连续函数。,称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。,4.1.1引言/Introducation/,n阶微分方程一般形式：,2阶齐次线性方程,2阶非齐次线性方程,5,方程（4.1）的解的存在唯一性定理:,6,4.1.2齐线性方程解的性质与结构,定理2（叠加原理）如果,则它们的线性组合,的解，这里,是任意常数。,是方程（4.2）,也是（4.2）,的k个解，,例,有解,7,证明,8,问题：,时，若,能否成为方程（4.2）的通解？,不一定,不包含解,要使,为方程（4.2）的通解,还需满足一定的条件。?,当,是齐线性方程的解，,如在上例中,9,函数线性无关和相关,定义在,上的函数,，如果存在,使得恒等式,不全为零的常数,对所有,成立，,称这些函数是线性相关的，否则称是线性无关的。,如,上线性无关,上线性相关,上线性无关,要使得,则,10,定义在,区间上的k个可微k-1次的函数,所作成的行列式,称为这些函数的朗斯基行列式。,朗斯基行列式,11,定理3,在区间,上线性相关，,上它们的朗斯基行列式,。,则在,证明由假设，即知存在一组不全为零的常数,（4.6）,（4.7）,使得,依次对t微分此恒等式，得到,若函数,的齐次线性代数方程组，,关于,12,它的系数行列式,方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即,由线性代数理论,证毕,其逆定理是否成立？,例如：,即由其构成的朗斯基行列式为零，但它们也可能是线性无关的。,不一定,13,故,是线性无关的。,推论,14,如果方程(4.2)的解,在区间,上线性无关，则,任何点上都不等于零，即,在这个区间的,定理4,设有某个,，使得,考虑关于,的齐次线性代数方程组,证明反证法,（4.9）,15,其系数行列式,，故（4.9）有非零解,构造函数,根据叠加原理，,是方程（4.2）的解，且满足初始条件,由解的唯一性知,，即,因为,不全为0，与,的假设矛盾。,（4.10）,另也是方程(4.2)的解，,线性无关,证毕,也满足初始条件（4.10）,16,定理5n阶齐次线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解，,线性相关,定理4,定理3,重要结论,方程(4.2)的解,在区间,上线性无关,的充分必要条件是,且任意n+1个解都线性相关。,证明,在上连续，取,则满足条件,存在唯一。,17,线性无关。,即齐线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。,任取方程(4.2)的n+1个解，,18,任意n+1个解都线性相关。,19,定理6（通解结构定理）,其中,是任意常数，且通解（4.11）,是方程（4.2）的n个线性,无关的解，则方程（4.2）的通解可表为,（4.11）,包括方程（4.2）的所有解。,如果,推论：,证明:,首先,由叠加原理(4.11)是(4.2)的解,它包含有n个任常数,又因为,故(4.11)为(4.2)的解.,考虑方程组,以这组常数构造,由解的唯一性定理得:,即,基本解组:,注:,基本解组不是唯一的.,例1,因而有,证明:,由于,微分上述行列式,得,这时行列式最后一行的元素是,则,即,从而,所以,故,刘维尔公式,非齐次线性微分方程,对应齐次线性微分方程,4.1.3非齐次线性方程与常数变易法,证明:,因为,所以,由微分性质两式相加得,性质1如果,是方程（4.1）的解，而,（4.2）的解，则,是方程,也是方程（4.1）的解。,证明:,则,故,性质2方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。,30,是任意常数，且通解（4.14）包括,定理7,为方程（4.2）的基本解组，,是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解为,其中,（4.14）,设,方程（4.1）的所有解。,证明,1)（4.14）一定是方程（4.1）的解，且含有n个独立,的任意常数，是通解。,2),是方程（4.1）的任一个解，则,是方程（4.2）的解,证毕,31,设,为方程（4.2）的基本解组，,为（4.2）的通解。,（4.15）,（4.16）,非齐次线性方程,齐次线性方程,非齐次线性方程通解,特解,基解组,表示,关键,常数变易法,为（4.1）的解。,32,令,33,（4.16）,代入方程（4.1）,34,方程组有唯一的解，设为,（4.16）,35,特解,通解,非齐线性方程的通解等于对应齐次方程的,结构:,通解与自身的一个特解之和。,36,例1求方程,基本解组为,，,的通解，已知它对应齐线性方程的,解,解得,原方程的通解为,令,37,例2求方程,于域,解对应的齐线性方程为,上的所有解。,得,易见有基本解组,这里A、B为任意常数。,设,为方程的解,故得原方程的通解,（,为