05常微分方程数值解 1

第五章,常微分方程数值解法,（NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations）,常微分方程分为（1）初值问题（2）边值问题,一、初值问题的数值解法,1引言,一阶常微分方程初值问题的一般形式是:,称在区域D上对满足Lipschitz条件是指:,二、初值问题解的存在性,考虑一阶常微分方程的初值问题/*Initial-ValueProblem*/:,则上述IVP存在唯一解。,只要在上连续,且关于y满足Lipschitz条件，,即存在与无关的常数L使,对任意定义在上的都成立，,要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x1xn=b处的近似值采用离散化方法。,称节点间距为步长，通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。,三、初值问题的离散化方法,离散化方法的基本特点是依照某一递推公式，,值,取。,按节点从左至右的顺序依次求出的近似,如果计算需用到前r步的值,则称这类方法为r步方法。,2欧拉方法/*EulersMethod*/,欧拉公式(单步显示公式）：,向前差商近似导数,亦称为欧拉折线法/*Eulerspolygonalarcmethod*/,在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ri=y(xi+1)yi+1称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。,定义,若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。,定义,欧拉法的局部截断误差：,Ri的主项/*leadingterm*/,欧拉法具有1阶精度。,例1:用欧拉公式求解初值问题,取步长。,解:应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：,其中。,计算结果列于下表：,可用来检验近似解的准确程度。,进行计算，数值解已达到了一定的精度。,这个初值问题的准确解为，,从上表最后一列，我们看到取步长,欧拉公式的改进：,隐式欧拉法/*implicitEulermethod*/,向后差商近似导数,由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度。,梯形公式/*trapezoidformula*/,显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差，,即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。,但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到,迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。,中点欧拉公式/*midpointformula*/,中心差商近似导数,假设,则可以导出即中点公式具有2阶精度。,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,Cantyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?,Doyouthinkitpossible?,Well,callmegreedy,OK,letsmakeitpossible.,改进欧拉法/*modifiedEulersmethod*/,Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出,注:此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/,可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它,是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程,简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,改进的欧拉法,在实际计算时，可将欧拉法与梯形法则相结合，计算公式为,应用改进欧拉法,如果序列收敛,它的极限便满足方程,改进欧拉法的截断误差,因此，改进欧拉法公式具有2阶精度,例2:,用改进Euler公式求解例1中的初值问题，,取步长。,解：对此初值问题采用改进Euler公式，其具体形式为,计算结果列于下表：,改进的Euler法,Euler法,通过计算结果得比较可以看出，改进的Euler方法,的计算精度比Euler方法要高。,3龙格-库塔法/*Runge-KuttaMethod*/,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，,欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,以某一斜率沿直线达到点。,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,斜率一定取K1K2的平均值吗？,步长一定是一个h吗？,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,Step2:将K2代入第1式，得到,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,这里有个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意到，就是改进的欧拉法。,为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i(i=1,m)，i(i=2,m)和ij(i=2,m;j=1,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,考虑一阶常微分方程初值问题,将区域a,b进行分划：,若,则,n级显式Runge-Kutta方法,二阶Runge-Kutta方法,取n=2,记,由此得,另一方面,为使局部截断误差为,应取,改进的Euler方法,取,中点方法,取,二阶Heun方法,取,二级Runge-Kutta方法不超过二阶,记,则,因此局部截断误差只能达到,三级Runge-Kutta方法,取n=3,记,又由于,因此要使局部截断误差为，必须,Kutta方法,取,三阶Heun方法,取,三级Runge-Kutta方法不超过三阶,完全类似于二级Runge-Kutta方法的分析,只能达到,三级Runge-Kutta方法的局部截断误差,将和都展开到项,易证,四级R-K方法,取n=4,局部截断误差为O(h5),最常用为四级4阶经典龙格-库塔法/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：,附注：,二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,注：龙格-库塔法的主要运算在于计算的值，即计算的值。Butcher于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：,由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精,太好的解，最好采用低阶算法而将步长h取小。,度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不,4单步方法的收敛性与稳定性/*ConvergencyandStability*/,收敛性/*Convergency*/,例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。,解：该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的x=xi=ih，有,稳定性/*Stability*/,例：考察初值问题在区间0,0.5上的解.分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.00002.00004.00008.00001.60001013.2000101,1.00002.50001016.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,Whatiswrong?!,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程/*testequation*/,常数，可以是复数,我们称算法A比算法B稳定，就是指A的绝对稳定区域比B的大。,当步长取为h时，将某算法应用于上式，并假设只在,初值产生误差，则若此误差