第十三讲--偏微分方程1

第十三讲偏微分方程(1),高等教育电子音像出版社,宁波大学陶祥兴等编,本节内容提要,一、基本概念二、一阶线性偏微分方程与常微分方程的关系三、一阶线性偏微分方程的解法,简介：,偏微分方程有着广泛的应用价值，它与物理学及其他各门自然学科、技术科学都有联系，往往反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系。下面我们要讨论的是一阶及二阶线性偏微分方程。一阶线性偏微分方程我们会介绍将其转化为常微分方程组(特征方程)，再求首次积分的方法来求解。而二阶线性偏微分方程由于内容繁多，这里我们只介绍三类典型的方程及初边值问题等基本概念。,一、基本概念,本讲研究对象：一阶偏微分方程,定义1：一阶齐线性偏微分方程.,(2),(1),(一般形式),形如,其中是自变量，是的未知函数，为自变量的已知函数.,定义2：一阶拟线性偏微分方程.,形如,(3),其中是自变量，是的未知函数,所谓“拟线性”是指仅对未知函数的各个一阶偏导数是线性的.,定义3：一阶偏微分方程的解及通解.,为个变量的已知函数.,函数称为一阶偏微分方程(1)的解：若它满足在某个域D内连续和存在一阶偏导数，把它们代入F的相应变元时,能使方程(1)对于这些自变量成为恒等式，即在D内成立恒等式,所谓一阶偏微分方程的通解：就是指在某域内的一切解的一般表示式.,定义4：一阶偏微分方程的积分曲面.,解可以想象为在空间中的一张n维曲面，通常称为一阶偏微分方程(1)的积分曲面.,定义5：特征方程组.常微分方程组,(4),称为一阶齐线性偏微分方程(2)的特征方程组.,常微分方程组,称为一阶拟线性偏微分方程(3)的特征方程组.,定义6：首次积分.对一般的常微分方程组,(6),其中，右端函数都在某个域内连续，设等于与无关的常数，则称表达式为方程组的一个首次积分，其中是任意常数，有时也简称为首次积分.,设是方程组个首次积分，如果雅克比矩阵,其中某个阶子阵的行列式不为零，即雅克比矩阵的秩为，则称是方程组的个独立的首次积分.,二、一阶线性偏微分方程与常微分方程的关系,本节主要着手讨论常微分方程组,先看n=1的情形,即考虑方程,与一阶线性偏微分方程之间的关系.,(6),设它的通解为,从中解出c即得.,(7),显然,这是方程(7)的首次积分,现以方程的任一解代入,然后对微分这一等式就得,或,的解.,即为一阶齐线性偏微分方程,(8),反之，设为方程(8)的解,以方程(7)的任一解代入后，再对微分，我们将得到,这表明是方程(7)的首次积分.,或,综合上述可得：为方程(8)的解的充要条件是为方程(7)的首次积分.,事实上,我们有下面定理充分说明常微分方程组与一阶齐线性偏微分方程的关系.,这一结论对于的一般情况也成立.,定理1：设函数在域内连续可微，则是方程,(6),的首次积分的充要条件是在域内成立恒等式,(9),定理2：是一阶齐线性偏微分方程,(2),的解的充分必要条件是是方程(2)的特征方程组,的首次积分.,下面我们仅给出定理1的证明,证明定理1：由存在定理知,对于任一点方程(6)存在唯一解,满足条件,若为首次积分,则,从而,特别地,当时有,再由的任意性,推知恒等式(9)在内成立.,反之,若恒等式(9)在内成立,自然于方程(6)的解有意义之处也成立,因此,或,即是方程(6)的首次积分.证毕.,三、一阶线性偏微分方程的解法,在了解一些基本概念及常微分方程组与一阶偏微分方程的关系的基础上，本节将讨论一阶齐线性和拟线性偏微分方程的通解的结构.,(1)常微分方程组的首次积分解法.,定理3：设已知常微分方程组,(6),的n个独立的首次积分,则它们构成方程组(6)的通积分(或隐式解)，并由它们可确定含n个任意常数的函数组,则该函数组就是常微分方程组(6)的通解.,(10),(11),证明:首先，我们证明(11)是方程组(6)的解.,事实上，显然,另一方面，由于是(6)的首次积分，根据定理1，在上有,特别地对成立，即,因而,(*),(*),于是由(*)减去(*)得到,注意到，由上式推知,这表明,为方程(6)的解，其中为任意常数.,现设方程(6)的任一解,(11),记，则由上述知为方程(6)的解.,注意到,由解的唯一性，推知,从而由(10)所确定，只需要取.证毕.,显然，求解常微分方程组(6)就是通过求方程组的n个独立的首次积分来得到它的通积分(或通解)的.,归纳：首次积分一般可通过下列两种方法得到,如何求首次积分呢？,把方程组(6)写成对称形式,利用已得到的积分消去一部分未知函数，以减少方程和未知函数的个数.,其中.如能求得n+1个不同时为零的函数使得,是某个函数,的全微分，则就是方程的一个首次积分.,下面来看两个具体例题：,例1：求解方程组,的通积分，其中A,B,C为互不相等的常数.,解：原方程组可变形为,由第一个等式可得,积分得方程组的一个首次积分,由于，雅可比矩阵,由第二个等式可得,积分得方程组的另一个首次积分,的秩为2，这两个首次积分互相独立，于是原方程组的通积分为,例2：求解方程组,的通解.,解：原方程组可变形为,以上两式左右两边分别相乘得,积分得一个首次积分,将代入原方程组第二式，得,解之得,容易验证它与前一个首次积分是互相独立的，于是这两个首次积分构成方程组的通积分.即,将代入其中，得到另一个首次积分,(2)一阶齐线性偏微分方程的解法.,对于一阶齐线性偏微分方程的求解我们有以下定理：,定理4：设是一阶齐线性偏微分方程(2)的n-1个独立的首次积分，是任意的连续可微函数，则,为方程(2)的通解.,对一阶齐线性偏微分方程(2)可给出如下的初始条件,其中为中的某一个数，是给定的数,为某一给定函数，求一阶齐线性偏微分方程(2)满足初始条件的解的问题称为初值问题或柯西问题.,定理5:假设方程(2)中在域内连续可微，且，则初值问题,存在唯一的解，其中是任意给定的数，是变元的已知可微函数.,归纳：一阶齐线性偏微分方程的解法,步骤1.首先写出一阶齐线性偏微分方程(2)的特征方程组(4).,步骤2.求出常微分方程组(6)的n-1个独立的首次积分,步骤3.写出通解,其中是各变元的任意连续可微函数.,具体实例：,例3：求解一阶齐线性偏微分方程,其中a,b,c互不相同.,解:方程的特征方程组为,将三个分式作如下变化,利用合比性质有,即有,由此得特征方程组的一个首次积分,再将特征方程组三个分式作如下变化,利用合比性质有,于是,由此可得另一首次积分,因为矩阵,的秩为2，所以这两个首次积分相互独立，,因此所求方程的通解为,其中为任意二元连续可微函数.,例4：求解一阶齐线性偏微分方程,解:方程的特征方程组为,由可得一个首次积分为,再由得,即,两边积分得另一个首次积分,容易证明这两个首次积分相互独立，因此所求方程的通解为,其中为任意二元连续可微函数.,(3)一阶拟线性偏微分方程的解法.,我们可利用下面定理求解一阶拟线性偏微分方程.,定理6：设是常微分方程组(6)的n个独立的首次积分，那么，若,并能从上式确定函数，则上式即为一阶拟线性偏微分方程(3)的通解，其中为的任意连续可微函数.,归纳：一阶拟线性偏微分方程的解法,步骤1.首先写出一阶拟线性偏微分方程(3)式的特征方程组(5).,步骤2.求出特征方程组(5)式的n个独立的首次积分,步骤3.写出通解,其中是各变元的任意连续可微函数.,具体实例：,例5：求解一阶线性偏微分方程,其中是行列式,的第一行第k个元素对应的代数余子式，而为的已知可微函数.,解:原方程的特征方程组为,由行列式的性质，有,从而得,同理可得,由此得三个首次积分,由所给方程知不可能全为零，所以这三个首次积分还是相互独立的，因此所求方程的通解为,其中为任意二元连续可微函数.,小结,本讲主要内容是常微分方程组在求解线性偏微分方程的应用，通过本讲可知求解一阶线性偏微分方程实际上转化为求解一个常微分方程组的问题.因此，我们需