微分方程应用举例课件

重点：一、二阶微分方程的定义和解法，由通过复习引出。难点：一些实际应用问题用微分方程构建数学模型及得到符合实际的解，由实例讲解方法。,总时数：4学时.,1、知道一阶和简单的二阶微分方程的解法；2、会用一阶微分方程解决实际应用问题；3、会用简单的二阶微分方程解决实际应用问题。,【学习目标】,【授课时数】,【重、难点】,一、一阶微分方程应用举例,用微分方程寻求实际问题中未知函数的一般步骤：,分析问题，建立微分方程，确定初始条件；,求出微分方程的通解；,由初始条件确定通解中任意常数，得方程相应,的特解，即为所求函数,化规律,由回路电压定律，得,解,从而，有,分离变量得,两边积分得,把初始条件代入得，,即,所求的充电电路的电压,的变化规律是,设墓中木炭,在,时含量为,由题设有,分离变量得,两边积分得,解,记木炭中,含量为,代入方程通解得,又由,的半衰期为5730年，得,解得,于是,解得,当,0.772时，,（年）,这表明距1972年初马王堆一号墓发掘时，墓中人,已死亡约2139年，由21391971168（年）,即墓中人辛追夫人死亡时间约为公元前168年.,例3,有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,比较(1)和(2)得:,水面的高度由h降至,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,解,设鼓风机开动后时刻的含量为,在内,的通入量,的排出量,的改变量,6分钟后,车间内的百分比降低到,解,轴指向对岸，如图所示.,设水流速度为,（,鸭子的游速为,（,则鸭子的实际运动速度为,）,）,，,设在时刻,鸭子位于点,则鸭子的运动速度为,，,故有,而,由此得微分方程,令,则,代入上面方程，得,分离变量，得,两边同时积分，并整理得,将,代入上式，得,鸭迹线的方程为,解,另外，伞在下降过程中还受重力,作用，,由牛顿第二定律得,对上述方程分离变量得,两边积分得,由初始条件得,即,故所求特解为,由此可见，,的增大，速度,逐渐变大且趋于,常数,，但不会超过,这说明跳伞后，开始阶段,是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动,随着,二、二阶微分方程应用举例,用微分方程寻求实际问题中未知函数的一般步骤：,分析问题，建立微分方程，确定初始条件；,求出微分方程的通解；,由初始条件确定通解中任意常数，得方程相应,的特解，即为所求函数,例1设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度v0（v0是常数）沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？,解,由于导弹头,始终对准乙舰,故此时直线PQ,就是导弹的轨迹曲线弧OP在,点P处的切线，,于是有,R,即,(1),又根据题意，弧OP的长度为,的5倍，即,(2),由(1)(2)消去t整理得模型,(3),解得导弹的运行轨迹方程为,当,时，,，即当乙舰航行到点,处时被,导弹击中.,被击中时间为,.,解,设质点的运动规律为,，,根据牛顿第二,定律，质点运动的微分方程是,由题设知,将,代入上式，得,从而得，质点运动的微分方程是,将,代入(1)式，得,将,代入(2)式，得,则质点的运动规律为,解,设在t时刻通过R的电压为,通过L的电压为,则由基尔霍夫定律，有,将它们代入(1)式，得,即,将E=20，C=0.5，L=1.6，R=4.8代入上式，得,解得,将初始条件代入(2)、(3)式，得方程组,解得,将上式代入(2)式，得电压,的变化规律是,解,如图所示，取平衡位置,为原点，,轴的正向向下，受力分析，,第二定律，物体的运动满足微分方程,由牛顿运动,可得对应齐次方程的通解为,设方程,的一个特解为,则有,代入原方程，整理得,比较系数得,从而得,故原方程的通解为,.,将初始条件,分别代入，求得,再将,得所求物体的运动规律为,和,的值代入原方程的通解，,解,取炮口为原点，建立直角坐标系如图所示，,设刚开始射击时t=0，炮弹在t,时刻的位置为,由牛顿,运动第二定律，得,初始条件,由(1)解得,由(2)解得,由(4)解得,将初始条件分别代入(3),(4),(5)得,故弹道曲线