数值分析5---常微分方程初值问题VIP

第五章常微分方程初值问题,引言基本概念Euler方法及其改进,1引言,1.常微分方程的定解问题与应用,应用：自然科学领域，,如物理；,工程技术问题，,如石油勘探。,为已知的，该区域人口的自然增长率为。人口的增长与人口的,常微分方程的定解问题主要有初值问题和边值问题两大类，我,们仅考虑初值问题。,实例：,马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在时刻的人口,总数成正比，所以t时刻的人口总数满足如下的微分方程：,一般地，称这样的方程为模型方程。,2.常微分方程的解法：,(1)解析法：,给出精确解析解。,只适合少数简单情况。,(2)近似解法：,给出解的近似表达式。,如级数法,逐步逼近法。,(3)数值方法：,给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机,求解,应用广泛,具有理论应用价值。,3.常微分方程初值问题的数值方法（理论和计算方法）,单步法,Euler方法,Taylor方法和Runge-Kutta方法,多步法,Adams方法和一般线性多步法,线性多步法的收敛性与稳定性,2基本概念,一、常微分方程初值问题的一般提法,问题:,是已知值.,(可能是观察值或实验值),基本条件:,设,(2)f(x,y)在D上关于变量y满足Lipschitz连续条件：,(1)f(x,y)在D上连续；,其中L为Lipschitz常数。,定理1若f(x,y)在D上满足基本条件,一阶常微分方程初值问题,式(1),(2)对任意给定的,存在唯一解且在a,b上连续可微.,(2),(1),(3),关于解y(x)的适定性：,定义1,方程(1),(2)的解y(x)称为适定的,若存在常数,对任意满足条件,常微分方程,(1),(2)上各加一个摄动(扰动)项.,存在唯一解z(x),且有,初值问题：,摄动(扰动)误差,定理2若f(x,y)在D上满足基本条件,则微分方程(1),(2),的解y(x)是适定的.,(1)适定问题的解y(x)连续依赖于(1)式右端的f(x,y)和初值。,或者说解y(x)关于(1)式右端的f(x,y)和初值稳定.,注:,(2)假设f(x,y)在D上满足基本条件,从而方程(1),(2)的解,y(x)存在且适定.,(4),二、初值问题数值解的基本概念,因为初值问题的数值解法是通过微分方程离散化而给出解在某些,离散点上(节点上)的近似值，,为了讨论问题方便,引入以下概念。,常用等步长:,则有,(1)，(2)的准确解记为y(x),求初值问题数值解的方法是步进法,即逐个节点计算,由,称为步长。,的近似解记为,步进法,计算,共用到l个值.,即,称为l步法。,单步法与多步法的区别:,(1)计算方面:,的计算,要用其它方法。,(2)理论分析:,单步法比,的多步法容易分析(稳定性).,(3)选步长方面:,单步法容易改变步长.,(4)精度:,多步法精度高一些.,单步法与多步法又都有显式方法和隐式方法之分.计算公式依,次可写成:,显式单步法:,隐式单步法:,该式右端项含有,因此若求,需要解方程。,注:,显式多步法:,隐式多步法:,线性多步法:,注:,(9)关于,都是线性的。,(9)是显式,(右端不含有)；,则(9)是隐式的。,(5),(6),(7),(8),(9),3Euler方法,考虑问题,特点：,简单，精度低.,一、显式Euler方法,(折线法),1.显式欧拉公式,设节点为:,则(1),(2),的Euler方法为,步长,其中,三、微分方程初值问题的数值解法讨论的问题:,1.方法构造,2.误差分析,3.稳定性,(1),(2),(10),推导公式:,(1)Taylor展开法,由于,因此,分别用,近似,得,(2)向前差分近似微分法,向前差商,近似,得,(11),于是，即得(10)式：,(12),(3)左矩数值积分法,数值积分采用左矩形公式,即,由初始条件亦得(10)式.,得,将近似号改为等号，,近似,并结合初始条件即得(10)式。,2.几何意义,方程(1),(2)的解曲线,过点,具有斜率,此时,从,出发,以,为斜率,于点,此时,以次类推.最终到达点,这样得到了一条折线,用折线,作为(1),(2)解曲线,的近似曲线，,折线法。,作直线段,交,过,的解曲线如图.,它在点,的右侧具有斜率,与过,的解曲线相切.,折线,称为欧拉折线，所以欧拉方法又称为,二、隐式Euler方法和梯形方法,(Euler方法的改进),，忽略,项,可得隐式欧拉方法:,1.隐式Euler方法,或,说明:,(1)隐式Euler方法也可用,近似微分,或者用右矩数值求积公式来建立.,向后差商,即用,(2)隐式Euler方法(13)是关于,的方程，若求需要,解方程(13).,(13),2.梯形方法,取平均,得,忽略,项,用,得梯形方法:,与,说明:,由,分别近似,(14),3.Euler方法、隐式Euler方法、梯形方法等单步法的对应关系,显式单步法,显式Euler方法,隐式单步法,隐式Euler方法,梯形方法(隐式),4.解的唯一性及收敛性,唯一性,；,(14)确定了唯一的,L时,只要,则由定理1可知(13)确定了唯一的,同理只要,迭代(13)、(14)，都收敛到.,收敛性,(以(14)式为例说明),在上关于y满足Lipschitz条件,且L常数为,由压缩不动点定理得方程,同样，从任意初始值出发,有唯一不动点,事实上，,而且从出发,迭代,(15),都收敛到,在实际计算中希望有较好的,用较少的迭代步(次数),取得,称为的m次迭代,最常用的方法之一是先用显式Euler方法所得的为,量较大,往往取作为来用,更精确的(足够精度的).而在实际计算中,的计算,改进。,(初始值),再由梯形方法改进一次，,即是预估校正Euler方法,(或称为改进Euler方法)。,三、预估校正Euler方法,(显式Euler公式),(梯形公式),或写成,或写成,(15),(16),例1分别用显式Euler方法，梯形方法和预估校正Euler方法解初值问题,解：,取h=0.1，,Euler方法为:,梯形方法为：,预估校正Euler方法：,表8.1,数值例子表明：梯形方法和预估校正Euler方法比显式Euler方法有更好的精度。,四、单步法的局部截断误差、整体截断误差,问题：,1.局部截断误差的定义,设单步法为（数值方法公式）：,满足基本条件:(1)f(x,y)在D上连续；,(2)f(x,y)在D上关于变量y满足Lipschitz条件.,定义2,设y(x)是方程(1),(2)的准确解，称,为单步法(17)在xk+1点的局部截断误差(方法误差)。,(17),(18),定义3,设y(x)是方程(1),(2)的准确解，是单步法,(17)数值解，称为单步法(18)在xk,若对充分小的成立,点的整体截断误差；,常数c独立于h(与h无关),称(17)是p阶方法。,判断某种方法的阶数往往通过局部截断误差的阶数来,说明：,确定，而局部截断误差的阶容易由公式来确定。,(19),2.局部截断误差与整体截断误差之间的关系,定理4若单步法(17)的局部截断误差是p+1阶的，即,c1独立于h(不依赖于h或与h无关)，,而且函数在区域,上关于u,v满足条件,则单步法(17)是p阶方法。,(20),推论:,当f在D上满足基本条件时,单步法(17)的阶由局部,截断误差的阶来确定。,结论：,一般情况下，若局部截断误差是p+1阶的，则单步法,说明：,可用Taylor,则对应的单步法是p阶方法。,是p阶方法。,由于,(21),定理的应用（讨论各种方法的阶数）,显式Euler方法是一阶方法,事实上,当(1.1),(1.2)的解y(x)二阶连续可导时,f(x,y)关于,则,y满足Lipschitz条件，Lipschitz常数为L，其局部截断误差为:,将在点展开可得,一阶方法,又,把代入（*）式得,整体截断误差:,由,及,而,（*）,隐式Euler方法是一阶方法,将在点展开可得,一阶方法,事实上，局部截断误差为:,则,又,(*),把代入（*）式得,整体截断误