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第十三章函数列与函数项级数,首页,1一致收敛性2一致收敛函数列与函数项级数的性质,1一致收敛性,一、函数列及其一致收敛性二、函数项级数及其一致收敛性三、函数项级数的一致收敛性判别法,首页,首页,设,是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，简记为fn或fn,n=1,2,.设x0E,将x0代入上述函数列，可得数列,一、函数列及其一致收敛性,若此数列收敛，则称x0为函数列(1)的收敛点，若此数列发散，则称函数列(1)在x0发散,首页,使函数列(1)收敛的全体收敛点构成的集合，称为函数列(1)的收敛域若函数列(1)在数集DE上每一点都收敛，则称函数列(1)在数集D上收敛记极限函数为f,则有,此极限的N的定义是：对任何xD,任给的0,存在N0,使得当nN时，总有|fn(x)f(x)|0,存在N0,使得当nN时，对任何xD,都有|fn(x)f(x)|0,取N=1/,当nN时，,对任何x(,+),都有,所以函数列,在(,+)上一致收敛于0,首页,函数列fn在D上不一致收敛于f的定义：若存在00,对任何N0,都存在n0N，且存在x0D,使得|fn0(x0)f(x0)|0则称fn在D上不一致收敛于f,首页,例证明函数列xn在(0,1)上不一致收敛于0,证,取,对任何正整数N，,当nN时，,取,则有,所以xn在(0,1)上不一致收敛于0,首页,定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)函数列fn在D上一致收敛于f的充要条件是：对任给的0,存在N0,使得当n,mN时，对任何xD,都有|fn(x)fm(x)|0,存在N0,使得当mnN时，对任何xD,都有|Sm(x)Sn(x)|或,首页,推论函数项级数un(x)在D上一致收敛的必要条件是：函数列un(x)在D上一致收敛于零,设函数项级数un(x)在D上的和函数为S(x),称Rn(x)=S(x)Sn(x)为函数项级数un(x)的余项,定理13.4函数项级数un(x)在D上一致收敛于S(x)的充要条件是,首页,例4函数项级数,的收敛域为(-1,1)，其和函数为,级数在-a,a(a0,使得对任何xI，|vn(x)|M,n=1,2,.则函数项级数un(x)vn(x)在数集I上一致收敛,首页,定理13.7（狄利克雷判别法）设,un(x)的部分和函数列,在I上一致有界；对每一个xI，
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