第六章-微分方程 2

第六章微分方程知识总结,一.微分方程的基本概念二.一阶微分方程三.可降阶的微分方程四.线性微分方程解的结构五.常系数线性微分方程,一.微分方程的基本概念,积分问题,微分方程问题,推广,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,的阶数相同.,特解,微分方程的解,取定了通解中的任意常数后,便得到方程的,一个具体的解,其图形称为积分曲线.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,说明:通解不一定是方程的全部解.,例：求以,为通解的微分方程.,提示:,消去C得:,二.一阶微分方程,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,1.可分离变量方程2.齐次方程3.一阶线性方程4.伯努利方程5.变量代换,1.可分离变量方程,分离变量,然后两边同时积分,例.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),2.齐次方程:,令,代入原方程得,解法:,注:可化为齐次方程的方程,例.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,3.一阶线性方程:,解法：用通解公式,例.,设F(x)f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(03考研),(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,4.伯努利方程,化为线性方程求解.,例.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,5.变量代换,注:通过适当的变换(函数变换或自变量变换)将一个微分方程化为已知求解步骤的方程,例.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,所求通解:,例:判别下列方程类型:,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,三.可降阶的微分方程,逐次积分,令,令,例:设二阶非齐次方程,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解.,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,复习:一阶线性微分方程通解公式,四.线性微分方程解的结构,主要定理:,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),(89考研),例:,是2阶常系数线性非齐次微分方程的特解,求方程.,解:对应齐次解:,因此特征方程为,故齐次方程为,其通解为,知特征方程有根:,取非齐次微分方程的特解:,故非齐次微分方程的自由项为:,所求方程为:,五.常系数线性微分方程,常系数线性齐次微分方程2.常系数线性非齐次微分方程3.欧拉方程,1.常系数线性齐次微分方程:,(1)写出特征方程:,实根,(3)根据根的不同情况写出通解,若特征方程含k重复根,若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,例:,为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,解:根据给定的特解知特征方程有根:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,2.常系数线性非齐次微分方程：,为特征方程的k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的k(0,1)重根,则设特解为,为特征方程的k重根,则设特解为,为特征方程的k重根,则设特解为,推广:,例.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,1.(填空)设,例.,解:(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,例.,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,思考:设,提示:对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,例.求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,四.欧拉方程,欧拉方程,常系数线性微分方程,第五节,欧拉方程的解法: