复变函数---1课件

课程：复变函数,复变函数简介,研究的问题,简介,复变函数简介,形成的历史过程,萌发于18世纪，19世纪是全面兴起并创立时期数集从实数系扩充为复数系，产生了复数和复变量（为了研究复变量之间的依赖关系复变函数）德国数学家高斯（1777-1855）引入了复变函数概念法国数学家柯西（1789-1857）给出了积分理论和公式德国数学家魏尔斯特拉斯（1815-1897）建立了级数理论德国数学家黎曼（1825-1866）研究了几何理论,研究复变量函数(即定义在复数域上的函数)的连续、解析、积分和级数理论等。,科学家们杰出工作汇集在一起，形成复变函数论这们学科,意义,复变函数简介,主要内容,解析函数的概念与CR条件Cauchy积分理论Weierstrass级数理论Reimann保形变换理论,数学中的重要分支，是数学领域中数论、代数、方程和概率论等理论研究的重要方法。广泛的应用于其它学科中，如：流体力学、电学、天文学、信息学、控制学等方面的研究。为后续课程的学习和扩大数学知识面奠定必要的数学基础,第一章复数与复变函数1-3复数及其代数运算,一、复数的概念,注意：,复数不能比较大小.,第一节复数及其代数运算,二、复数的几种表示方法,1.代数法,2.几何法,第一节复数及其代数运算,3.向量法,复数的模,三角不等式,几何上,第一节复数及其代数运算,复数的辐角：,第一节复数及其代数运算,4.三角法,5.指数法,第一节复数及其代数运算,三、复数的运算,（指集合相等）,第一节复数及其代数运算,特别的,几何意义：,第一节复数及其代数运算,（指集合相等）,第一节复数及其代数运算,4.共轭复数的运算,第一节复数及其代数运算,5.幂与根,幂,（德摩佛公式DeMoivre）,第一节复数及其代数运算,设,方根,第一节复数及其代数运算,则,第一节复数及其代数运算,例1,例2,例3,四、曲线的复数方程,第一节复数及其代数运算,例1指出下列方程表示的曲线,解法1,法2,第一节复数及其代数运算,解,第一节复数及其代数运算,解,解,由向量的性质,第一节复数及其代数运算,解,由几何意义，圆的方程为,第一节复数及其代数运算,例4指出满足下列条件的点z的全体所构成的图形.,解,第一节复数及其代数运算,解,第一节复数及其代数运算,整理得,解,如图:,第一节复数及其代数运算,另解,第一节复数及其代数运算,五、复球面,作一球面与复平面在坐标圆点相切,第一节复数及其代数运算,规定,称球面为复球面,第一节复数及其代数运算,第一节复数及其代数运算,4-6复变函数（概念、极限、连续）,一、区域,1.邻域,第二节复变函数（概念、极限、连续）,2.内点,第二节复变函数（概念、极限、连续）,第二节复变函数（概念、极限、连续）,第二节复变函数（概念、极限、连续）,二、单连通与复连通域,1.平面曲线的几个概念,（1）连续曲线,第二节复变函数（概念、极限、连续）,（2）光滑曲线：,（3）简单曲线：,(直观上为无重点曲线);,第二节复变函数（概念、极限、连续）,则称曲线为简单闭曲线.,2.单连通区域：,若区域B内任何一条简单闭曲线，在B内可以,经过连续的变形而缩成一点，则称B为单连通区域.,多连通区域：,不是单连通的连通区域.,第二节复变函数（概念、极限、连续）,单连通域（无洞）,多连通域（有洞）,B,三、复变函数,1.定义,则称复变量w是复变量z的函数.,第二节复变函数（概念、极限、连续）,2.复变函数与实变函数的关系,第二节复变函数（概念、极限、连续）,例如：,第二节复变函数（概念、极限、连续）,称函数为映射,解,第二节复变函数（概念、极限、连续）,解：,第二节复变函数（概念、极限、连续）,第二节复变函数（概念、极限、连续）,例如：,注：Z平面与W平面重合.,第二节复变函数（概念、极限、连续）,解：,法1.,第二节复变函数（概念、极限、连续）,第二节复变函数（概念、极限、连续）,法2,四、复变函数的极限和连续性,1.极限定义：,第二节复变函数（概念、极限、连续）,几何意义：,说明：,第二节复变函数（概念、极限、连续）,定理1：,第二节复变函数（概念、极限、连续）,注：此定理的意义在于，复变量函数极限问题，可,转化为求实变量二元函数的极限问题.,证明：书上26页,证明：,法1:,第二节复变函数（概念、极限、连续）,k取不同时，极限值不相等.,第二节复变函数（概念、极限、连续）,法2:,第二节复变函数（概念、极限、连续）,定理2（四则运算法则）,第二节复变函数（概念、极限、连续）,2.连续定义：,连续的等价定义：,第二节复变函数（概念、极限、连续）,定理3：,第二节复变函数（概念、极限、连续）,定理4：