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文档简介

1、柯西积分公式,2、解析函数的无穷可微性,3、柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理,4、莫雷拉(Morerra)定理,3柯西积分公式及其推论,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C的,为求这个值,变化而改变.,1柯西积分公式,于是,定理3.11,证,上述不等式表明,只要足够小,左端积分的模就可以任意小.,证毕,即,柯西积分公式,(很重要),关于柯西积分公式的说明:,把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示；,(这是解析函数的一特征),公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),(1),(2),一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,证毕,例1,解,由柯西积分公式,例3,解,由柯西积分公式,由复合闭路定理,得,例4,解,2解析函数的无穷可微性,问题:,解析函数是否具有高阶导数?,若有高阶导数,其定义和求法是否与实函数相同?,解析函数有各高阶导数.(无穷可微性),高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示.(这与实分析完全不同),(1),(2),(1),(2),定理3.13,解析函数的高阶导数公式可理解为：,解析函数的高阶导数公式为某些积分的计算提供了新方法：,注：=z是被积函数F()在C内部的惟一奇点，若F()在C内部有两个以上奇点，则不能直接应用高阶导数公式.,例5,解,根据复合闭路定理,例6,解,由柯西积分定理得,由柯西积分公式得,3、柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理,注：柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，说明解析函数在解析点a的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关.,注：刘维尔定理的逆也真，即：常数是有界整函数；此定理的逆否定理为：非常数的整函数必无界.,注：代数学基本定理，若用纯
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