全国高中数学联合竞赛加试BPDF

2010 年年年年全国全国全国全国高中高中高中高中数学数学数学数学联合竞赛联合竞赛联合竞赛联合竞赛加试加试加试加试 试题参考答案试题参考答案试题参考答案试题参考答案（B 卷卷卷卷） 一一一一、 （、 （、 （、 （本题满分本题满分本题满分本题满分 40 分分分分） 如图，锐角三角形 ABC 的外心为 O，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点） ，D 是线 段 AK 延长线上一点， 直线 BD 与 AC 交于点 N， 直线 CD 与 AB 交于点 M 求证： 若 OKMN， 则 A，B，D，C 四点共圆 证明证明证明证明：用反证法若 A，B，D，C 不四点共圆，设 三角形 ABC 的外接圆与 AD 交于点 E，连接 BE 并延长交 直线 AN 于点 Q， 连接 CE 并延长交直线 AM 于点 P， 连接 PQ 因为 2 PK =P 的幂（关于O）+K 的幂（关于O） () () 2222 POrKOr=+， 同理 () () 22222 QKQOrKOr=+， 所以 2222 POPKQOQK=， 故 OKPQ 由题设，OKMN，所以 PQMN，于是 AQAP QNPM = 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得 1 NB DE AQ BD EA QN =， 1 MC DEAP CDEA PM = 由，可得 NBMC BDCD =， 所以 NDMD BDDC =， 故DMN DCB， 于是DMNDCB= ， 所以BCMN， 故OKBC， 即 K 为 BC 的中点，矛盾！从而, ,A B D C四点共圆. 注 1：“ 2 PK=P 的幂（关于O）+K 的幂（关于O）”的证明：延长 PK 至点 F，使 得 PK KFAK KE=， 则 P，E，F，A 四点共圆，故 PFEPAEBCE= = ， E Q P O N M K D C B A 从而 E，C，F，K 四点共圆，于是 PK PFPE PC=， -，得 2 PKPE PCAK KE= =P 的幂（关于O）+K 的幂（关于O） 注 2：若点 E 在线段 AD 的延长线上，完全类似 二二二二、 （、 （、 （、 （本题满分本题满分本题满分本题满分 40 分分分分） 设m和n是大于 1 的整数，求证： 1 1 111 1 12(1)() . 1 mmn mmmkkjj mm kji nnC nCi m + = +=+ + L 证明证明证明证明： 1 1 1 0 1) m mjj m j qCq + + + = +=由（得到 11 1 0 (1), m mmjj m j qqCq + + = += 1,2,qn=L分别将代入上式得： 1 1 0 21, m mj m j C + + = = 11 1 0 322 , m mmjj m j C + + = = LL 11 1 0 (1)(1) , m mmjj m j nnCn + + = = 11 1 0 (1). m mmjj m j nnCn + + = += n将上面 个等式两边分别相加得到： F E Q P O N M K D C B A 1 1 01 (1)1(), mn mjj m ji nCi + + = + = 1 1 111 (1)(1)1(1), mnn mjjm m jii nnnCimi + = + =+ （） 1 1 111 1 12(1)() . 1 mmn mmmkkjj mm kji nnC nCi m + = +=+ + L 三三三三、 （、 （、 （、 （本题满分本题满分本题满分本题满分 50 分分分分） 设, ,x y z为非负实数, 求证： 222 32222223 ()()()()() 32 xyyzzxxyz xxyyyyzzzzxx + +. 证明证明证明证明：首先证明左边不等式. 因为 22222 11 ()3() () 44 xxyyxyxyxy+=+, 同理,有 222 1 () 4 yyzzyz+, 222 1 () 4 zzxxzx+; 于是 2222222 1 ()()()()()() 64 xxyyyyzzzzxxxyyz zx+ 2 1 ()() 64 xyz xyyzzxxyz=+; 由算术-几何平均不等式, 得 1 ()() 9 xyzxyz xyyzzx+,所以 22222222 1 ()()()() () 81 xxyyyyzzzzxxxyzxyyzzx+ 2222 1 (222)() 81 xyzxyyzzx xyyzzx=+ 3 () 3 xyyzzx+ . 左边不等式获证, 其中等号当且仅当xyz=时成立. 下面证明右边不等式. 根据欲证不等式关于, ,x y z对称, 不妨设xyz, 于是 222222 ()()zzxxyyzzx y+, 所以 2222222222 ()()()()xxyyyyzzzzxxxxyyx y+. 运用算术-几何平均不等式, 得 22 2222222 ()()() 2 xxyyxy xxyyx yxxyyxy xyxy + +=+ 2222 2 ()() 22 xxyyxyxy+ 22222 33 ()() 22 xyxyz+ =. 右边不等式获证, 其中等号当且仅当, ,x y z中有一个为 0,且另外两个相等时成立. 四四四四、 （、 （、 （、 （本题满分本题满分本题满分本题满分 50 分分分分） 设 k 是给定的正整数， 1 2 rk=+记 (1)( ) ( )frf rr r= ， ( )( )l fr= (1) ( ),2 l f frl 证明：存在正整数 m，使得 ()( )m fr为一个整数这里，x 表示不小 于实数 x 的最小整数，例如： 1 1 2 = ，11= 证明证明证明证明： 记 2( ) v n表示正整数 n 所含的 2 的幂次则当 2( ) 1 mv k=+时， ()( )m fr为整数 下面我们对 2( ) v kv=用数学归纳法 当0v =时， k 为奇数，1k +为偶数， 此时() 111 ( )1 222 f rkkkk =+=+ 为 整数 假设命题对1(1)vv成立 对于1v ，设 k 的二进制表示具有形式 12 12 222 vvv vv k + + =+L， 这里，0 i =或者 1，1,2,ivv=+L 于是 () 111 ( )1 222 f rkkkk =+=+ 2 1 22 k kk=+ 112 112 1 2(1) 2() 22 2 vvvv vvv + + =+L