复习指导理数学一轮复习考试说明提点基本脉络贯通达标小题自测典型例题精析第七章数列复习指导理pdf

第七章 数 列 1 1 5 第第第第第 七 七七七七 章 章章章章 数 列 内 容 ABC 数列 数列的概念 等差数列 等比数列 考试说明 对数列部分的要求, 除了数列的概念为A级要 求外, 其余均为C级要求, 故本章是高考考查的重中之重. 数列是函数的延展, 也是中学数学与高等数学的衔接点, 同时还是联系实际的渠道之一, 数列与函数、 方程、 不等式、 三 角函数以及解析几何的联系十分密切, 体现了函数思想、 方程 思想、 归纳思想、 递推方法、 待定系数法等重要的数学思想方 法, 因此,数列常常是综合性问题的交汇点. 1 .考查数列的基本知识.一般在填空题( 常为中档题, 2 0 1 4年江苏卷数列填空题属容易题) 或解答题的前12小 题( 一般每道解答题常分为几个小题) 中考查等差与等比数 列的基本概念、 性质, 通项公式, 前n项和公式等基本知识和 基本性质的灵活运用, 对基本的计算技能要求比较高, 也用 到一些常见的思想方法, 如基本量思想、 方程思想等. 2 .考查数列的实际应用.能在具体的问题情境中, 发现 数列的等差或等比关系, 并能用等差数列、 等比数列知识解 决相应的问题.了解等差数列与一次函数的关系、 等比数列 与指数函数的关系.主要考查的是数学建模以及运用数列知 识解决实际问题的能力. 3 .考查数列与其他知识和思想方法的综合类问题.此类 问题在高考中历来占有重要的地位, 而且由于数列的高考要求 是C级, 所以一般情况下必考一道解答题.解答题大多以数列 为工具, 综合归纳与猜想、 递推思想、 函数与方程思想、 等价转 化、 分类讨论等各种数学思想方法, 考查学生综合运用数学知 识分析问题和逻辑推理的能力. 注意不要认为数列解答题总是很难的压轴题, 如2 0 0 9年 的数列解答题就是一道中档题( 或稍难的中档题) , 因此, 不必 一味钻研数学难题, 也不必一直将其当做压轴题备考. 4 .考查合情推理能力.这是新课程高考的一个重要特 点, 旨在促进学生提高自主学习能力和探究创新能力.数列是 考查学生探究能力的最适合载体. 因此, 高考题中已经透露出考查合情推理、 探究能力的 重要信息和明显特征, 高考复习中对此应给予充分的重视和 必要的强化. 1 .抓好“ 三基” , 确保低、 中档题的成功率 重视准确地理解基本概念和熟练掌握基本公式, 把握思 想方法这条主线和灵魂, 突出对通性通法的理解和熟练运 用, 着眼于低、 中档题的顺利解决.例如, 在运用通项公式、 求 和公式有关的问题中, 要特别重视基本量和方程思想的 领悟. 2 .抓住联系, 重视理解, 事半功倍 ( 1)理解等差与等比数列之间的相互关系和相互转化. 例如各项为正的等比数列, 将各项取对数后得到的数列是等 差数列, 由此将等差数列与等比数列的通项公式和性质进行 类比, 提高复习效率. ( 2)比较等差数列、 等比数列的特性的异同.两者都有 各自的均匀性, 例如对于等差数列,a n-an- 1=d,an= 1 2( an-p+an+p) , 等比数列有类似的均匀性 只要将减法 换成除法; 此外, 要认识当公比大于1时, 正项等比数列往往 增长很快, 不同于等差数列的增长模式.理解和运用等差数 列、 等比数列的性质, 有助于提高解题的速度和正确率. 3 .关于数列的综合与理科加试内容的复习 ( 1)理解解决综合问题中的基本思想方法, 达到化繁为 简、 化整为零的目的.如: 归纳思想 由特殊到一般进行归 纳, 有助于把握规律, 转化思想 把一般数列转化为两种 基本数列, 基本量与方程思想 复杂的数列问题往往归结 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 1 6 为关于基本量的方程( 组) 的求解. ( 2)在数列与其他知识点综合时, 要着重理解不同知识 点之间的联系, 如将数列看做一种特殊的函数, 将通项公式、 求和公式视为方程, 而不等式则可用来估计函数值和数列的 项的大小、 范围. ( 3)理科加试内容的复习宜立足教材, 注重教材例题、 习题的变式, 遵循教学要求和考试说明, 不宜盲目拔高.利用 数学归纳法证明有关自然数的命题, 如等式、 不等式等的证 明, 书写要规范. 第3 9课时 数列的 概念 内 容 要 求 ABC 数列的概念 1 .数列是一种特殊的函数, 定义域为从1开始的全体或 部分自然数. 2 .数列的通项是历年高考在数列中考查的重点, 考查 的题型: 由前几项写通项, 由前n项的和求通项, 由递推关系 式去求通项等. 1 .按照一定次序 排列的一列数称为数列, 数列中的每个数 都叫做这个数列的项.其中a1称为首项, an称为第n项. 2 .如果数列an 的第n项与序号n之间的关系可以用一个 公式来表示, 则这个公式叫做数列的通项公式,数列还可 以用列表或图象表示.并非每一个数列都可以写出通项 公式, 有些数列的通项公式也并非是唯一的. 3 .数列的分类: (1) 按项数分类, 可分为有穷数列、 无穷数 列; ( 2) 按an的增减性分类, 可分为递增数列、 递减数列、 摆动数列、 常数数列. 4 .数 列 前n项 和 公 式Sn与an的 关 系:an= a1 ( n=1) , Sn-Sn- 1 ( n2). 5 .数列可看成特殊函数, 它的定义域是正整数集或它的有 限子集 1,2,3,n , 因此研究数列可联系函数的相 关知识, 如数列的表示法( 列表法、 图象法、 公式法等) 和 数列的分类( 有限和无穷、 有界无界、 单调或摆动等) , 可 分别与函数的表示法及性质相联系.应注意用函数的观 点分析问题. 1 .写出数列 1 1 2 ,- 1 2 3 , 1 3 4 ,- 1 4 5 , 的一个通项公 式: an= (- 1) n- 1 n(n+ 1) . 2 .在数列an 中,an=-2n 2+2 9 n+3, 则此数列的最大项 的值是1 0 8 . 3 .已知数列an 的通项公式为an= 1 n(n+ 2) ( nN *) , 那 么 1 1 2 0 是这个数列中的第1 0项. 4 .已知a1= 1,an= 1 + 1 an- 1( n 2) , 则a5=8 5. 5 .若数列an 的通项公式为an=2n- 1, 将数列an 中第3 项、 第6项、 第9项、 抽取出来并按原顺序排列构成数列 bn , 则数列bn 的通项公式为bn=6n-1 . 6 .若 数 列 an 满 足 n i= 1 ai= 2n 2 +n+1,则an= 4,n=1, 4n-1,n2 . 1 .归纳猜想通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式: ( 1)1,- 3,5,- 7,9,; ( 2)1 2, 2,9 2, 8, 2 5 2,; ( 3)1,0,1 3, 0,1 5, 0,1 7,; ( 4)a,b,a,b,a,b,. 点拨 根据给出的前几项写出数列的一个通项公式, 关键在于 观察给出几项的特点, 找出规律, 归纳出结论, 然后再进 行检验, 注意要找准数列的第n项an与序号n的关系. 解 (1)数列各项的绝对值是1,3,5,7,9,是连续的正 奇数; 再考虑(- 1) n+ 1具有转换符号的作用, 所以该 数列的一个通项公式为an=(- 1) n+ 1( 2n- 1). ( 2)先将数列的各项统一成分数, 再观察: 1 2, 4 2, 9 2, 1 6 2, 2 5 2,所以它的一个通项公式为a n= n 2 2. ( 3)把数列改写成: 1 1, 0 2, 1 3, 0 4, 1 5, 0 6, 1 7, , 分母依次为1,2,3, , 而分子依次为1,0,1,0, 1, , 因 此 数 列 的 通 项 公 式 可 以 表 示 为 an= 1 +(- 1) n+ 1 n . 对其分子: 1,0,1,0,1,0, , 可以联想三角函数 中正弦或者余弦的取值, 可以写成为s i n n 2 , 那 第七章 数 列 1 1 7 么an=1 n s i n n 2 , 也可写成其他形式. ( 4)通项公式可以写成an= a, n为奇数, b, n为偶数. 实际上这是一个摆动数列, 可以寻找其摆动的平衡 位置与振幅, 平衡位置: a+b 2 ,振幅: a-b 2 .用 (- 1) n或( -1) n+ 1去调节, 则通项公式为a n= a+b 2 +(-1) n+ 1a-b 2 . 反思 根据数列的前n项写出通项公式, 关键是由各项的特 点找出它们共同的构成规律, 需要我们全方位观察, 多角度思考, 广泛联想, 并将原数列适当的转化, 化为 规律性明显的特殊数列. 拓展 写出下列数列的一个通项公式: ( 1)- 1,7,- 1 3,1 9,; ( 2)5,0,- 5,0,5,0,- 5,0, ; ( 3)-3 7, 2 5,- 5 1 3 ,3 8,- 7 1 9 ,4 1 1 , ; ( 4)o,o o o, , 中每个图形的圆圈个数. 略解 (1) an=(- 1) n( 6n-5) ,nN *;( 2)an=5 s i n n 2, nN *;( 3)an=(- 1) nn+ 2 3n+ 4 ,nN*;( 4)an=n 2 -n+ 1,nN *. 2 .根据通项公式研究数列的项的特点 例2 在数列 an 中,an=9 n 2-9 n+2 9n 2-1 . ( 1)9 9 1 0 0 是否为该数列的项, 为什么? ( 2)求证:an(0,1) ; ( 3)在区间 1 3, 2 3 内有没有数列 an 的项? 若有, 有几项? 若无, 说明理由. 点拨 数列是特殊的函数, 数列的通项是函数的解析式.判 断是第几项就是求函数定义域的某一个自变量 的值. 解 (1)an=9 n 2-9 n+2 9n 2-1 =3 n-2 3n+1 . 令an= 9 9 1 0 0 , 得3 n-2 3n+1= 9 9 1 0 0 , 即n=2 9 9 3 N *. 9 9 1 0 0 不是数列 an 中的项. ( 2)an=3 n-2 3n+1=1- 3 3n+1 ,nN*, 3 3n+1 ( 0,1) ,an(0,1). ( 3)由 1 3 an 2 3, 得 1 3 3 n-2 3n+1 2 3. 3n+19n-6, 9n-66n+2, 7 6 n 8 3. nN *, n=2, 在区间 1 3, 2 3 内有数列 an 的项, 且为第 2项. 提醒 研究数列的有界、 单调性等本质上是研究函数的性 质, 但要注意定义域为N*或其子集. 变式 求数列 an 中的最小项. 提示 求数列最小项问题常常考虑其单调性. 思路一: 由数列 an 的通项公式an=3 n- 2 3n+ 1=1- 3 3n+ 1 , 从函数的角度易得它是一个单调递增数列; 思路二: 解决数列单调问题的常用方法, 可通过判断 an+ 1-an的 符 号 即 可,也 可 通 过 解 不 等 式 组 anan- 1, anan+ 1 求解. 易得数列 an 中的最小项为a1=1 4. 拓展 若数列n( n+ 4) 2 3 n 中的最大项是第k项, 求实 数k的值. 略解 因为最大项为第k项, 则有 k(k+4) 2 3 k (k+1) (k+5) 2 3 k+ 1 , k(k+4) 2 3 k (k-1) (k+3) 2 3 k- 1 , k 2 1 0, k 2-2 k-90 k1 0或k-1 0, 1-1 0k1+ 1 0 k=4 . 3 .由数列的前n项和求通项公式 例3 已知数列 an 的前n项和公式Sn, 分别求数列an 的 通项公式. ( 1)Sn=2n 2-n; ( 2)Sn=n 2-n+1 . 点拨 利用数列的通项与求和公式之间的关系: an= a1 ( n= 1) , Sn-Sn- 1 ( n 2). 解 (1)由Sn=2n 2-n, 得当n2时, an=Sn-Sn- 1= 2n 2-n-2( n-1) 2+( n-1)=4n-3; 当n=1 时, a1=S1=2 1 2- 1=1, 适合上式. 故an=4n- 3 . ( 2)由Sn=n 2- n+1, 得当n2时,an=Sn-Sn- 1= n 2- n+ 1 -(n- 1) 2+( n-1)-1=2n-2; 当n=1 时,a1=S1 = 1, 不 适 合 上 式.故an = 1 ( n= 1) , 2n- 2 ( n 2). 反思 本例关键是利用Sn与an的关系进行转化. 拓展 (1)已知数列 an 的前n项和Sn=32 n- 3, 求数列 an 的通项公式; ( 2)已知数列an 的前n项和Sn=2 n +1 , 求数列 an 的通项公式; 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 1 8 ( 3)若数列an 满足a 1 1+ a2 2+ a3 3+ an n =n 2, 求 数列 an 的通项公式. 略解 (1)由Sn=32 n -3 , 得当n 2时,an=Sn- Sn- 1= 32 n- 3 - 3 2 n- 1+ 3=3 2 n- 1; 当n=1 时, a1=S1=3 2 -2=3, 适合上式.故an=3 2 n- 1. ( 2)由Sn=2 n+1, 得当n2时, an=Sn-Sn- 1= 2 n + 1 - 2 n- 1- 1=2n- 1; 当n=1时, a1=3, 不适 合上式, 故an= 3 ( n=1) , 2 n- 1 ( n2). ( 3)an=2n 2-n. 提醒 数列前n项的和Sn和通项an是数列中两个重要的 量, 在运用它们的关系式an=Sn-Sn- 1时, 要注意条 件n 2, 求通项时一定要验证a1是否适合. 4 .由数列的递推关系求通项公式 例4 根据数列 an 的首项和递推关系, 求其通项公式. ( 1)a1=1,an+ 1=an+2n(nN *) ; ( 2)a1=1,an+ 1= n n+1 an(nN *) ; ( 3)a1=1,an+ 1= 1 2 an+1(nN *) . 点拨 递推关系式也是给出数列的一种表示方法.可以由特 殊到一般进行归纳. 解 (1)an+ 1=an+2n,an+ 1-an=2n, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an- 1) =1+21+22+2(n-1) =1+n(n-1)=n 2-n+1 . ( 2)方法一: an+ 1 an = n n+1 ,an=a1 a2 a1 a3 a2 an an- 1 =1 1 2 2 3 n-1 n = 1 n . 方法二: 由题意知( n+1)an+ 1=n an对一切正整数 n成立,n an=(n-1)an- 1=1a1=1, an= 1 n . ( 3)an+ 1= 1 2 an+1,an+ 1-2= 1 2( an-2) , an- 2 是首项为a1-2= - 1, 公比为1 2 的等 比数列,a n-2= -1 1 2 n- 1 ,an= 2- 1 2 n- 1 . 反思 (1)本例复习求通项公式的几种方法: 叠加法、 叠乘 法、 转化法( 即转化为一个等差数列或等比数列) ; ( 2)若数列an 满足an= p a n- 1+q, 则数列an- q 1 -p 是公比为p的等比数列. 拓展 已知a1=2,an+ 1=n+1 n an+n+1, 求an. 答案 an=n( n+1). 5 .数列与函数的关系 例5 已知an=n0 . 8 n( nN *) . ( 1)判断数列an 的单调性; ( 2)是否存在最小正整数k, 使得数列an 中的任意 一项均小于k? 请说明理由. 点拨 判断数列的单调性通常有两种方法, 即作差和作商. 解 (1)an+ 1-an=4-n 5 0 . 8 n,n an+ 1. 即a1,a2,a3,a4单调递增;a4=a5; 而a5,a6, 单调递减. ( 2)由(1) 知数列an 的第4项与第5项相等且最大, 最大项是4 5 5 4=1 0 2 4 6 2 5 . 故存在最小的正整数k=2, 使得数列 an中的任 意一项均小于k. 提醒 数列本身就是特殊的函数, 故许多数列问题均可以从 函数的角度去分析、 去思考. 拓展 已知函数f( x)= ( 3-a)x -3,x7, a x- 6, x7, 数列 an 满足an=f(n) ,nN *, 且数列 an 为递增 数列, 则a的取值范围为(2,3). 略解 由3 -a0,a1,f( 7)f(8) , 解得a(2,3). 注意 数列单调性和函数单调性的差别. 1 .数列是按照一定顺序排成的一列数, 它也可以看成 是定义在正整数集或其子集 1,2,3,n 上的一列函数 值, 故常用函数的观点来研究数列问题. 2 .求数列通项公式的常用方法: 归纳猜想( 结果不唯 一) 、 用数列定义和递推公式、 由前n项的和求通项等. 3 .设Sn= n i= 1 ai, 则an= S1,n=1, Sn-Sn- 1,n2 . 要注 意验证S1. 注 1 .如果有递推关系an+ 1-an=f( n) ,nN *, 则 an=a1+ n- 1 i= 1 f(i) ; 如果有递推关系 an+ 1 an =g(n) ,nN *, 则an=a1g(1) g(2)g(3) g(n-1). 2 .根据数列的前几项写出通项公式, 关键是由各项的 特点找出它们共同的构成规律, 需要仔细观察, 善于联想, 并 将原数列适当的转化, 化为规律性明显的特殊数列. 1 .( 根据必修5 P 3 2习题2 . 1第5题改编) 写出下列数列的一 个通项公式: ( 1)3,3 3,3 3 3,3 3 3 3,;(2)1,2,4,7, 1 1,1 6;(3)3,5,9,1 7,3 3,;(4)-1 2, 1 4, 5 8, 第七章 数 列 1 1 9 1 3 1 6 , 2 9 3 2 ,. 答案: ( 1)an=1 0 n-1 3 ; ( 2)an=1 + n(n-1) 2 ; ( 3)an= 2 n+1; ( 4)an= 2 n- 3 2 n 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 2 0 2 .( 根据必修5 P 3 2习题2 . 1第5题改编) 数列an 的前n 项和是Sn, 若数列 an 的各项按如下规则排列: 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 1 6,. 若存在整数k, 使Sk0, 则an 为递增数列; 若d 0,q 1, 则 an 为递增数列; 若a1 1, 则an 为递减数列; 若a1 0,0 q1, 则an 为递减数列; 若a10,0q 1,则an 为递增数列; 若qa8得d1 ,nN*时, 有an0,4anan- 1=an- 1-an. ( 1)求证: 1 an 是等差数列; ( 2)求数列an 的通项公式; ( 3)试问:a1a2是否是数列 an 中的项? 如果是,是 第几项? 如果不是, 请说明理由. 点拨 证明一个数列是等差数列, 有以下两种常用方法: 定 义法: 证明an+ 1-an=d( 常数) ,nN*; 证明an+ 1 +an- 1=2an(a2). 解 (1)4anan- 1=an- 1-an,an0( n1) , 两边同时 除以anan- 1得4= 1 an- 1 an- 1, 即 1 an- 1 an- 1 =4 , 故 1 an 为等差数列. ( 2)由(1) 知 1 an 是以1 a1 =5为首项、4为公差的等差 数列, 1 an= 1 a1+( n- 1)d= 4n+ 1,an= 1 4n+ 1 . 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 2 2 ( 3)因为an= 1 4n+1 , 所以a1a2= 1 5 1 9 = 1 4 5. 设a1a2是数列 an 的第t项,则at= 1 4t+ 1= 1 4 5 , 解得t= 1 1 N*. a1a2是数列an 的第1 1项. 反思 (1)证明一个数列是等差数列或等比数列, 可以运用 定义和有关等价条件. ( 2)证明一个数列不是等差数列或等比数列, 可以从 反面考虑, 找出数列中的连续三项不满足等差数 列或等差数列的定义或性质, 通常找数列的前三 项来说明. 拓展 已知数列 an 满足a1= 1 5, 且当n1 ,nN*时, 有 an- 1 an =2 an- 1+1 1-2an . 求证: 数列 1 an 为等差数列. 略解 当n2时, 由 an- 1 an =2 an- 1+1 1-2an 可得an- 1-an- 4an- 1 an=0, 即转化为例2 . 例3 已知等差数列 an 中, 公差d0, 其前n项和为Sn, 且满足a2a3=4 5,a1+a4=1 4 . ( 1)求数列an 的通项公式; ( 2)设由bn= Sn n+c( c0) 构成的新数列为bn , 求 证: 当且仅当c= -1 2 时, 数列 bn 是等差数列. 点拨 在第(1) 问中通过基本量法可以求得数列的通项, 在 第( 2) 问中必须要证明充分性和必要性. 解 (1)公差d0,a2a3=4 5,a1+a4=1 4, a2a3=4 5, a2+a3=1 4, 故 a2=5, a3=9, 解得d=4, 所以an=4n-3 . ( 2)Sn=n( 1+4n-3) 2 =n(2n-1) , bn= Sn n+c= n(2n-1) n+c . 由2b2=b1+b3, 得 1 2 2+c= 1 1+c+ 1 5 3+c, 化简得2 c 2+c=0 . 又c0,c= -1 2. 反之, 令c= -1 2, 即得b n=2n, 显然数列bn 为 等差数列. 当且仅当c= -1 2 时, 数列 bn 为等差数列. 提醒 若数列的通项公式中含有参数, 在研究数列何时为等 差( 等比) 数列时, 常常通过前几项成等差( 等比) 数 列, 求出参数, 再通过等差( 等比) 数列的定义证明. 拓展 已知数列 an 满足a1=,an+ 1= 2 3 an+n-4, 其 中为实数,n为正整数, 证明: 对任意实数, 数列 an 不是等比数列. 略解 a2= 2 3 - 3,a3= 2 3 a2- 2= 4 9 - 4 .假设存在一 个实数, 使 an 是等比数列, 则有a 2 2=a1a3, 即 2 3 -3 2 = 4 9 -4 4 9 2-4 +9= 4 9 2-4 9=0, 矛盾. 所以对任意实数, an 不是等比数列. 3 .等差数列与等比数列定义的应用 例4 有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比 数列, 且第一个数与第四个数的和是1 6, 第二个数与 第三个数的和是1 2, 求这四个数. 点拨 3个数成等差数列时, 可设为a-d,a,a+d. 解 设这四个数为a-d,a,a+d,( a+d) 2 a , 则 a-d+( a+d) 2 a = 1 6, 2a+d= 1 2, 解得 a= 4, d= 4 或 a= 9, d=- 6, 所以所求的四个数为0,4,8,1 6或1 5,9,3,1 . 反思 若奇数个数成等差数列时, 可设中间三项为a-d,a, a+d; 若偶数个数成等差数列时, 可设中间两项为a- d,a+d, 其余各项再根据等差数列的定义进行对称设 元.若干个数成等比数列时, 设元方法与等差数列类似. 拓展 有4个实数, 前3个数成等比数列, 其积为2 7, 后3个 数成等差数列, 其和为6, 求这4个数. 解 设这4个数为a q ,a, a q ,2 a q -a. 则 a q a a q =2 7, a+ a q +(2 a q -a)=6, a= 3, q=2 3, 这4个数为9 2, 3,2,1 . 提醒 三个数成等比数列时, 可设这三个数为a q ,a, a q . 4 .数列中的探索题 *例5 在公差为d( d 0) 的等差数列an 和公比为q的等 比数列 bn 中, 已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3. ( 1)求数列an 与bn 的通项公式; ( 2)是否存在常数a,b, 使得对于一切正整数n, 都 有an=l o g abn+b成立? 若存在, 求出常数a和 b; 若不存在, 说明理由. 点拨 对于第(1) 问, 已知数列的项求公差、 公比, 可利用通 项公式建立方程组来求解.第(2) 问是存在性探索命 题, 其解题策略: 一般先假设指定的数学对象存在, 再 进行演绎推理, 若推出矛盾, 则假设不成立; 若推出结 果, 则假设成立, 即指定的数学对象存在. 解 (1)设等差数列 an 的公差为d, 等比数列bn 的公比 第七章 数 列 1 2 3 为q.由条件得 1 +d=q, 1 + 7d=q 2, 得 d= 5, q= 6,a n= 5n- 4,bn= 6 n- 1. ( 2)假设存在a,b使an=l o gabn+b成立, 则5n-4=l o g a6 n- 1+ b 5n-4=(n-1)l o ga6+ b(5-l o ga6)n+(l o ga6-b-4)=0对一切正整 数恒成立, l o ga6 = 5, l o ga6 =b+ 4, 即 a= 5 6, b= 1 . 故存在常数a=56,b= 1, 使得对于nN*时, 都有 an= l o gabn+b恒成立. 反思 熟记等差( 比) 数列的通项公式和前n项和公式, 并通 过解方程( 组) 求解等差( 比) 数列的基本量是实施等 差( 比) 数列运算的重要思想方法. 拓展 设数列 an 的前n项和为Sn, 且an+Sn=A n 2+ B n+ 1(A0). ( 1)若a1= 3 2, a2= 9 4, 求证: 数列 an-n 是等比 数列, 并求数列 an 的通项公式; ( 2)已知数列an 是等差数列, 求B-1 A 的值. 解 (1)分 别令n=1,2, 代入条件得 2a1=A+B+1, 2a2+a1=4A+2B+1 . 又a1= 3 2, a2= 9 4, 解得 A= 1 2, B= 3 2, an+Sn= 1 2 n 2+3 2 n+1, an+ 1+Sn+ 1= 1 2( n+1) 2+3 2( n+1)+1, 则an+ 1-( n+1)= 1 2( an-n). a1-1= 1 2, 数列an-n 是以1 2 为首项, 公比为1 2 的等比 数列, an-n= 1 2 n,an=n+ 1 2 n. ( 2)由题意设an=d n+c, 则 Sn= n(d+c+d n+c) 2 = d 2 n 2 +c+d 2 n, an+Sn= d 2 n 2+ c+3 d 2 n+c, 则A= d 2, B=c+3 d 2 ,c=1,B-1 A =3 . 提醒 数列是一种特殊的函数, 其定义域为正整数集, 所以, 在解决数列问题时要注意利用函数的性质或特征( 如 值域、 单调性、 周期性、 最值等) 进行分析. 1 .证明一个数列是等差数列, 有以下两种常用方法: (1) 定 义法: 证明a n+ 1-an=d( 常数) ,nN *; ( 2) 中项法: 证明 an+ 1+an- 1=2an(a2).证明一个数列不是等差数列, 可以从 反面考虑, 找出数列中的连续三项不满足条件, 通常找数列的前 三项来说明.对于等比数列, 可类比总结规律. 2 .研究数列问题常用函数与方程思想.如等差数列的 通项公式形如一次函数an= p n +q(p,q为常数) , 前n项 和公式形如二次函数Sn= n 2+ n( ,为常数).已知五 个量a1,d,n,an,Sn中的三个量, 利用通项公式及求和公 式( 看成方程) 求出其余的两个量, 是等差数列的基本问题; 将已知条件转化为关于基本量a1,d的方程( 或不等式) 是 解决等差数列的基本方法.这里就运用了方程思想与基本量 思想.此外, 结合函数y= p n +p和y=a n 2+ n的性质研 究等差数列常可以事半功倍.对于等比数列, 可类比总结 规律. 3 .等差数列中连续3项可设为a-d,a,a+d; 连续4 项可设为a- 3d,a-d,a+d,a+3d.等比数列也有类似 设元法.这样设元可利用对称性消元, 是常用的小技巧. 1 .( 根据必修5 P 4 4习题2 . 2(2) 第3题改编) ( 1)等差数列an 的前n项和为Sn.若a2=1,a3=3, 则a8=1 3,S4=8; ( 2)若数列an 的前n项和Sn=n 2-1 0 n(n=1,2, 3,) , 则此数列的通项公式an= 2n- 1 1 . 2 .( 根据必修5 P 5 2练习第3题改编) 在等比数列 an (nN *) 中, 若a 1=1,a4= 1 8, 则该 数列的前n项和为2 - 1 2 n- 1 . 3 .( 根据必修5 P 4 9习题2 . 3(1) 第7题改编) 若a是1+2b与1-2b的等比中项, 则a b的最大值为 1 4. 4 .( 根据必修5 P 4 1练习第2题改编) 已知an 为等差数列, 且a3= -6,a6=0 . ( 1)求an 的通项公式; ( 2)若等比数列bn 满足b1=-8,b2=a1+a2+a3, 求 bn 的前n项和. 解 (1)设等差数列 an 的公差为d.因为a3= - 6,a6= 0, 所以 a1+2d= -6, a1+5d=0, 解得a1= - 1 0,d=2, 所 以an= -1 0+( n-1) 2=2n-1 2 . ( 2)设等比数列bn 的公比为q.因为b2=a1+a2+a3= -2 4,b1= - 8 , 所以 -8q= - 2 4 , 即q =3 , 所以 bn 的前n项和Sn=b 1(1-q n) 1-q =4(1-3 n) . 高考复习指导 数学( 教师用书) 1 2 4 第4 1课时 等差数列与 等比数列( 2) 1 .掌握等差数列和等比数列的求和公式, 能灵活运用 公式解题. 2 .求和问题常与求通项一起考查, 也常与函数、 方程、 不等式甚至几何问题交汇命题, 是高考的重点、 热点, 应重点 掌握. 1 .等差数列an 前n项的和为Sn=n( a1+an) 2 =n a1+ n(n-1) 2 d; 其变式Sn= d 2 n 2+ a1-d 2 n是关于n 的二次函数且常数项为0 . 2 .等比数列an 前n项的和为Sn=n a1(q=1时) ;Sn= a1(1-q n) 1-q =a 1-anq 1-q ( q1时).当q1时,Sn= -a1 1-q q n+a1 1-q=a q n+ b, 这里a+b=0, 但a0,b 0, 这是等比数列前n项和公式的一个特征, 据此很容易 根据Sn判断数列 an 是否为等比数列. 3 .若等差数列an , bn 的前n和分别为An和Bn, 且 An Bn =f(n) , 则 an bn = ( 2n-1)an ( 2n-1)bn =A 2n- 1 B2n- 1 =f(2n-1). 4 .若an 是等差数列, 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, 也成 等差数列, 而 a a n 成等比数列; 若 an 是等比数列, 且an 0, 则 l g an 是等差数列. 1 .在等差数列an 中, 首项a1=0, 公差d0 .若ak=a1+ a2+a3+a7, 则k=2 2 . 2 .在数列 an 中,an=an- 1+1 2( n2,nN *) , 第n项 an= 3 2,前n 项和Sn= -1 5 2,则 a1= -3 , n= 1 0 . 3 .设等比数列an 的公比为q(q1) , 前n项和为Sn.若 Sn+ 1,Sn,Sn+ 2成等差数列, 则公比q= -2 . 4 .已知an 是首项为1的等比数列,Sn是an 的前n项 和, 且9S3=S6, 则数列 1 an 的前5项的和为3 1 1 6. 5 .等差数列ak 共有2n+1项(nN *) , 其中所有奇数项 之和为3 1 0, 所有偶数项之和为3 0 0, 则n的值为3 0 . 1 .求等差或等比数列的前n项和 例1 设 an 为等差数列, bn 为等比数列, 且a1=b1=1, a3+a5=b4,b2b3=a8, 分别求出an 及bn 的前 1 0项的和S1 0及T1 0. 点拨 解决等差数列和等比数列的问题时, 通常运用基本 量思想, 即运用条件转化为关于a1和d( 或q) 的 方程. 解 设 an 的公差为d, bn 的公比为q, 则有 2(1+3d)=q 3, 1+7d=q 3,解得d=1,q=2 . S1 0=1 0a1+4 5d= 5 5,T1 0=b 1(1-q 1 0) 1-q =1 0 2 3 . 拓展 1 .已知等比数列 an 中,a1+an=6 6,a2an- 1= 1 2 8,Sn=1 2 6, 求项数n的值. 2 .由正数组成的等比数列an , 若前2n项之和等于 它前2n项中的偶数项之和的1 1倍, 第3项与第4 项之和为第2项与第4项之积的1 1倍, 求数列 an 的通项公式. 答案: 1 .6 . 2 . 1 1 0 n- 2 2 .数列中部分项的和问题 例2 等差数列前1 0项的和为1 4 0, 其中项数为奇数的各项 的和为1 2 5,