吉林实验中学高二数学下学期期末考试理PDF

第 1 页 共 9 页 吉林省实验中学 2015-2016 学年度下学期 高二年级数学（理科）期末考试试题高二年级数学（理科）期末考试试题 第第卷（选择题卷（选择题 共共 6060 分）分） 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 （1）设集合2Sx x ， 2 340Tx xx ，则 R ()ST （A）2,1（B）4,2（C）,1（D）1, （2）已知复数 13 i 22 z ，则|zz （A） 13 i 22 （B） 13 +i 22 （C） 13 +i 22 （D） 13 i 22 （3）已知向量(1,1),(2,2)mn，若()()mnmn， 则 （A）4（B）3 （C）2（D）1 （4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （A）124（B）144 （C）192（D）256 （5）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 s 值为 （A）102（B）410 （C）614（D）1638 （6）若 3 sin ,11 ( ) 2,12 xxx f x x ，则 2 1 ( )df x x （A）0（B）1（C） 2（D）3 （7）用数学归纳法证明“(1)(2)()21 2(21) n nnnnn ” （*nN）时，从“nk到1nk”时，左边应增添的式子是 （A）21k （B）2(21)k （C） 21 1 k k （D） 22 1 k k （8）在ABC中，内角, ,A B C所对的边长分别为, ,a b c已知sincossincosaBCcBA 1 2 b，且ab，则B 第 2 页 共 9 页 （A） 6 （B） 3 （C） 2 3 （D） 5 6 （9）某班有 50 名学生，一次考试的成绩() N服从正态分布 2 (100,10 )N已知 (90100)0.3P ，估计该班数学成绩在 110 分以上的人数为 （A）10（B）20（C）30（D）40 （10）将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002，600，采用系统抽样方法抽取 一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003这 600 名学生分住在三个营区， 从 001 到 300 在第营区， 从 301 到 495 住在第营区， 从 496 到 600 在第营区， 三个营区被抽中的人数依次为 （A）26，16，8（B）25，17，8（C）25，16，9（D）24，17，9 （11）定义域为 R R 的连续函数( )f x，对任意x都有(2)(2)fxfx，且其导函数( )fx 满足(2)( )0 xfx，则当24a时，有 （A） 2 (2 )(2)(log) a fffa（B） 2 (2)(2 )(log) a fffa （C） 2 (log)(2 )(2) a faff（D） 2 (2)(log)(2 ) a ffaf （12）定义在(0,)上的单调递减函数( )f x，若( )f x的导函数存在且满足 ( ) ( ) f x x fx ， 则下列不等式成立的是 （A）3 (2)2 (3)ff（B）3 (4)4 (3)ff （C）2 (3)3 (4)ff（D）(2)2 (1)ff 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）设, x y满足约束条件 1 3 0,0 xy xy xy ，则2zxy的最大值是 （14）天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为 40%，用随机模拟的方法进 行试验，由 1、2、3、4 表示下雨，由 5、6、7、8、9、0 表示不下雨，利用计算器中 的随机函数产生 09 之间随机整数的 20 组如下： 907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989 通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为：_ （15）在平面几何中，有“若ABC的周长为c，面积为S，则内切圆半径 2S r c ”类比 上述结论，在立体几何中，有“若四面体ABCD的表面积为S，体积为V，则其内切球 的半径r ” （16） 已知函数 3 2 , ( ) , xxa f x xxa ， 若存在实数b， 使函数( )yf xb有两个零点，则a的 第 3 页 共 9 页 取值范围是_ 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 10 分） 已知函数 ( )4cos sin()1 6 f xxx （）求( )f x的最小正周期； （）求( )f x在区间, 6 4 上的最大值和最小值及相应的x值 （18） （本小题满分 12 分） 在某次大型活动中，为了搞好接待工作，在某大学招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿 者，将这 30 名志愿者的身高编成如下图所示的茎叶图（单位：cm） 若身高在 175cm 以 上（包括 175cm）定义为“高个子”，身高在 175cm 以下（不包括 175cm）定义为“非高个 子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” （） 如果把志愿者分成“高个子”和“非高个子”两层， 用分层抽样的方法从中选取 5 人， 再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? （）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的 人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望 （19）（本小题满分 12 分） 各项均为正数的等比数列 n a的首项 1 2a ， n S为其前n项和， 且 132 5,3S SS成等差数列 （）求数列 n a的通项公式； （） 设 2 log nn ba， 1 1 n nn c b b ， 记数列 n c的前n项和为 n T 若对*n N，(4) n Tk n 恒成立，求实数k的取值范围 男女 91577899 9816124589 86501723456 74211801 119 第 4 页 共 9 页 （20） （本小题满分 12 分） 如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE平面ABCD， 90BADADC ， 1 2 ABADCDa，2PDa （）若M为PA中点，求证：AC平面MDE； （）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小 （21） （本小题满分 12 分） 已知圆心为C的圆经过点( 3,0)A 和点(1,0)B两点，且圆心C在直线1yx上 （）求圆C的标准方程； （）已知线段MN的端点M的坐标示(3,4)，另一端点N在圆C上运动，求线段MN 的中点G的轨迹方程； （）是否存在斜率为 1 的直线l，使l被圆C截得的弦PQ，且以PQ为直径的圆经过坐 标原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 （22） （本小题满分 12 分） 已知函数( )()lnf xx xax，其中a为常数 （）当1a 时，求( )f x的极值； （）若( )f x在区间 1 ( ,1) 2 上单调函数，求实数a的取值范围； （）过坐标原点可以作几条直线与曲线( )yf x相切？请说明理由 第 5 页 共 9 页 吉林省实验中学 2015-2016 学年度下学期 高二年级数学（理科）期末考试试题（参考答案）高二年级数学（理科）期末考试试题（参考答案） 一、选择题： 题号123456789101112 答案CDBCBCBAABDA 二、填空题： （13）3（14）0.25（15） 3V S （16）0a 或1a 三、解答题： （17） 【解析】 （）因为1cos2cossin321)cos 2 1 sin 2 3 (cos4)( 2 xxxxxxxf ) 6 2sin(22cos2sin3 xxx4 分 所以)(xf的最小正周期为5 分 （）因为 46 x,所以 3 2 6 2 6 x6 分 于是，当 26 2 x，即 6 x时，)(xf取得最大值 2； 当 66 2 x，即 6 x时，)(xf取得最小值110 分 （18）【解析】 （）5S1，S3，3S2成等差数列，2S3=5S1+3S22 分 即 2（a1+a1q+a1q 2）=5a 1+3（a1+a1q）， 化简得 2q 2q6=0 3 分 解得：q=2 或 2 3 q4 分 因为数列an的各项均为正数，所以 2 3 q不合题意，舍 所以an的通项公式为： n n a26 分 （）由bn=log2an得bn=n，7 分 1 11 ) 1( 11 1 nnnnbb c nn n ，8 分 11 1 1 n n n Tn9 分 第 6 页 共 9 页 )4( 1 nk n n ，即 n n nn n nn n k 4 5 1 45)4)(1( 2 对 Nn恒成立， 由于 9 1 4 5 1 n n （当且仅当 n n 4 ，即 n=2 时等号成立），11 分 k 的取值范围 , 9 1 12 分 （17） 【解析】 （）根据茎叶图，有“高个子”12 人，“非高个子”18 人1 分 用分层抽样，每人被抽中的概率是 6 1 30 5 2 分 选中的“高个子”有 2 人，“非高个子”3 人，3 分 用事件 A 表示“选中的至少一人是高个子”，则 10 7 10 3 11)( 2 5 2 3 C C AP， 故至少一人是高个子的概率是 10 7 6 分 （）高个子 12 人中，女高个子 4 人，男高个子 8 人，X 的取值为 0,1,2,37 分 55 12 )2(, 55 28 ) 1(, 55 14 )0( 3 12 1 8 2 4 3 12 2 8 1 4 3 12 3 8 C CC XP C CC XP C C XP， 55 1 )3( 3 12 3 4 C C XP9 分 因此，X 的分布列为： X0123 P 55 14 55 28 55 12 55 1 10 分 1 55 1 3 55 12 2 55 28 1 55 14 0EX12 分 （20） 【解析】 （）证明：连结PC，交DE与N，连结MN， 在PAC中，,M N分别为两腰,PA PC的中点，/MNAC， MN 面MDE，又AC 面MDE，/AC平面MDE， 5 分 （）法 1：设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为， 以D为空间坐标系的原点，分别以,DA DC DP所在直 线为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，则 (0,0,2 ), ( , ,0),(0,2 ,0)Pa B a aCa ( , ,2 ),(, ,0)PBa aa BCa a 7 分 第 7 页 共 9 页 设平面PAD的单位法向量为 1 n ，则可设 1 (0,1,0)n 设面PBC的法向量 2 ( , ,1)nx y ，应有 2 2 ( , ,1) ( , ,2 )0 ( , ,1) (, ,0)0 nPBx ya aa nBCx ya a ， 即： 20 0 axaya axay ，9 分 解得： 2 2 2 2 x y ，所以 2 22 (,1) 22 n ，10 分 12 12 2 1 2 cos 212 n n nn ，所以平面PAD与PBC所成锐二面角为 60 12 分 法 2： 延长DA,CB,设DA与CB交于F,连接PF,则PF是平面PAD与平面PBC的交线， 做DG 垂直于PF于G，连接CG,则CGPF,则DGC是所求锐二面角的平面角， 8 分 在 RtPDF中，DF=2a，PD=a2，PF=a6，于是，DG= 3 2a ，10 分 在 RtCGD中， tanDGC=3 DG DC ,DGC= 60，11 分 所以平面PAD与PBC所成锐二面角为 6012 分 （21） 【解析】 （）圆方程C：4) 1( 22 yx3分 （）设 A（ 11, y x） ，M（yx,） ，由中点公式得 y y x x 2 4 2 3 1 1 42 32 1 1 yy xx ， 因为A在圆C上，所以44222 22 yx，即12) 1( 2 2 yx6分 点M的轨迹是以2 , 1为圆心，1为半径的圆 （）设存在这样的直线l：bxy，7分 设),(),( 2211 yxQyxP，则 ) 1 (0)(20)(0 2 212121212121 mxxmxxbxbxxxyyxxOQOP 8分 联立 03)22(2 41 22 2 2 bxbx bxy yx ， 第 8 页 共 9 页 21210)3(8) 1(4 22 bbb， 2 3 ),1 ( 2 2121 b xxbxx，10 分 代入（1） ，得03 2 bb，解得： 2 131 b， 经检验存在两条这样的直线l： 2 131 xy12 分 （22） 【解析】 （）当1a时，xxxxfln) 1()(，定义域为), 0( ， x xx x xxf ) 1)(12(1 12)( ， 由0)( xf得1x，由0)( xf得10 x， )(xf的增区间为), 1 ( ，减区间为) 1 , 0(， 当1x时，)(xf取得极小值为0) 1 (f，无极大值3 分 （）当)(xf是增函数时，0 121 2)( 2 x axx x axxf 在) 1 , 2 1 (x上恒成立，即012 2 axx在) 1 , 2 1 (x上恒成立， x x a2 1 在) 1 , 2 1 (x上恒成立， x x y2 1 在) 1 , 2 1 (上是减函数1y1a5 分 当)(xf是减函数时，0 121 2)( 2 x axx x axxf 在) 1 , 2 1 (x上恒成立，即012 2