天津第一中学数学导数的应用资料理pdf

高三数学（理） 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 8 第二学期 第二周第二学期 第二周 课程内容 导数的应用 2014-2015 学年 高三数学（理） 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 / 8 本周将复习导数的应用。其中包括函数的单调性、可微函数的极值，函数的最大值和 最小值. 这一单元首先在高一学过的函数单调性的基础上，给定判断可导函数增减性的方法.然 后展开对函数极值的讨论，由极值的意义，结合图象得到利用导数判别可导函数极值的方 法.最后，在可以确定函数极值的条件下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法，并编 排了一些实际问题. 本单元的重点是可导函数极值的判定，通过判定可导函数的极值，可以使大家加深对 可导函数单调性与其导数的关系的认识；并且掌握了可导函数极值的判别法，再学习可导 函数最大（小）值的判定，就不成问题了. 求一些实际问题的最大值与最小值是本部分的难点.这里关键是能根据实际问题，建立 适当的函数关系. 通过本周的学习，同学们应做到以下几点：会从几何直观了解可微函数的单调性与其 导数的关系；掌握函数极值的定义，了解可微函数的极值点的必要条件和充分条件；会求 一些实际问题的最大值与最小值. 1.函数的单调性 设 y=f(x)在区间(a,b)可导, （1）若对于任意 ) , ( b a x ,均有 f (x)0,则 f (x)是增函数; （2）若对于任意 ) , ( b a x ,均有 f (x)0,右侧 f (x)0,(或 f (x)1 时, 0 y y 在 ) , 1 ( + 内是单调增函数, 又 x=1 时,y=0. 1 x 时 0 ) 1 ( ) ( = f x f 4 4 高三数学（理） 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 8 . 1 3 2 0 ) 1 3 ( 2 x x x x 即 例 5.已知 x1,求证:2x 3 9x 2 +12x21 证: 设 f(x)=(2x 3 9x 2 +12x2)1,则 ) 2 )( 1 ( 6 12 18 6 ) ( 2 = + = x x x x x f 令 , 0 ) ( = x f 则 x=1,2, x (1,2) 2 (2,+) y 0 + y 极小 在区间 ) , 1 ( + . 0 1 3 2 12 2 9 2 2 ) 2 ( 2 3 = + = = f y 极小值 当 x1 时, 0 1 f(2) f(x) = 即 f(x)在 x1 时，f(x)最小值为 f(2)=1 0 1 ) 2 12 9 2 ( 2 3 + x x x . 1 2 12 9 2 2 3 + x x x 例 6.求函数 x e x f x = ) ( 的极值. 解: x e x f x = ) ( 的定义域为 ) , 0 + , x x e x f x 2 ) 2 1 ( ) ( = 令 0 ) ( = x f 则 2 1 = x 为驻点. 对任意 0 2 , 0 ), , 0 ( + x e x x ) ( x f 在 2 1 = x 点从正变负, e f y 2 1 ) 2 1 ( = = 极大值 例 7.已知 c bx ax x y + + + = 3 3 2 3 在 x=2 有极值,它的图象在 x=1 点的切线平行于直线 6x+2y+5=0,则 y 的极大值比 y 的极小值大多少? 解: , 3 6 3 2 b ax x y + + = = + + = = + + = = = 3 3 6 3 | 0 3 12 12 | 1 2 b a y b a y x x 即： = + = + 2 2 4 4 b a b a 解之: = = 0 1 b a ) 2 ( 3 6 3 ) ( 2 = = x x x x x f 令 0 ) ( = x f .则驻点为 x=0,2. X ) 0 , ( 0 (0,2) 2 ) , 2 ( + y + 0 0 + 高三数学（理） 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 8 Y 极大 极小 4 ) 4 ( 4 12 8 2 3 2 3 2 ) 2 ( 0 3 0 3 0 ) 0 ( 2 3 2 3 = + = + = + = + + + = = = + + + = = c c y y c c b a f y c b a f y 极小值 极大值 极小值 极大值 y 的极大值比 y 的极小值大 4. 例 8.求函数 f(x)=x+2sinx 在区间 2 , 0 的极值. 解: 2 , cos 2 1 ) ( = + = T x x f 令 0 ) ( = x f ,则驻点为 ) 2 , 0 ( , 3 4 , 3 2 = x x x ) 3 2 , 0 ( 3 2 ) 3 4 , 3 2 ( 3 4 ) 2 , 3 4 ( y + 0 0 + y 极大 极小 , 3 3 2 3 2 sin 2 3 2 ) 3 2 ( + = + = = f y 极大值 . 3 3 4 3 4 sin 2 3 4 ) 3 4 ( = + = = f y 极大值 说明: 对可导函数求极值的步骤: 求导数 ) ( x f 令 ) ( x f =0,求出 ) (x f 的驻点; 考察 ) ( x f 在驻点左右的符号,若 y 左正右负则取极大值;若左负右正则取极小值. 例 9.求函数 3 1 2 3 2 ) 1 ( ) ( = x x x f 在区间2,2上的最大值及最小值. 解: x x x x f 2 ) 1 ( 3 1 3 2 ) ( 3 2 2 3 1 = ) 1 , 0 ( ) 1 ( ) 1 ( 3 2 3 2 2 3 1 3 4 3 2 2 = x x x x x 令 0 ) ( = x f .则驻点为 , 2 2 = x 在点 x=0, 1 处 ) ( x f 不存在, 可解的极值点为 . 1 , 2 2 , 0 , 2 2 , 1 ) (x f 为偶函数, 只须计算 , 1 ) 1 ( , 4 ) 2 2 ( , 1 ) 0 ( 3 = = = f f f 及端点的函数值 3 3 3 4 ) 2 ( = f . , 4 3 4 , 4 , 1 max 3 3 3 3 = = 最大值 y 3 3 3 3 3 3 4 3 4 , 4 , 1 min = = 最小值 y 注:除驻点可能是极值点外,奇异点(即使 ) ( x f 不存在的点)也可能是极值点. 例 10.求函数 ) 10 ( x x y = 的最大值和最小值. 高三数学（理） 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 8 解: ) 10 , 0 ( ) 10 ( 5 ) 10 ( 2 10 2 = + = x x x x x x x y 函数 ) 10 ( x x y = 的定义域为 10 0 x ,令 0 = y ,则驻点为 x=5,f(x)=5,端点 x=0.x=10 的 函数值为 f(0)=f(10)=0, 5 5 , 0 max = = 最大值 y 0 5 , 0 min = = 最小值 y . 例 11.把一定长为a的铁丝分成两段,一段围成正三角形,另一段围成正六边形,为使它们的面 积之和最小,铁丝应怎样分法? 解:设正三角形边长为 x,则正六边形边长为 ) 3 ( 6 1 x a ,它们的面积和为: 2 2 ) 3 ( 6 1 4 3 6 4 3 x a x S + = ) 0 ( ) 6 15 ( 24 3 ) 3 ( 6 24 3 2 2 2 2 a x a ax x x a x + = + = ) 5 ( 4 3 ) 6 30 ( 24 3 a x a x S = = 令 0 = S ,则驻点为 5 a x = , x ) 5 , 0 ( a 5 a ) , 5 ( a a S 0 + S 极小 5 a x = 为极小值点,此时 15 ) 3 ( 6 1 a x a = , ) (x S 在 ) , 0 ( a 内可导,且有唯一的极小值. 也是最小值.正三角形用去 5 3a ,正六边形用去 5 2a 答: 用长为 5 3a 的一段做正三角形,用长为 5 2a 的一段做正六边形. 例 12.设以 AB=2a为直径的半圆上有一点 P 如图所示.从 P 向 AB 引垂线,垂足为 Q,求 Q AP 绕 AB 旋转一周,所得立方体的最大值. 解:设 AQ=x,则 QB= a 2 x. PQ 2 =x( a 2 x) 则所求旋转体的体积 ) 2 ( 3 1 2 x a x V = ) 2 0 ( ) 2 ( 3 1 3 2 a x x ax = ) 3 4 ( 3 ) 3 4 ( 3 1 2 x a x x ax V = = 令 0 = V ，则驻点为 ) 0 .( 3 4 = x a x A Q B P 高三数学（理） 第二学期 新课预习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 8 x ) 3 4 , 0 ( a 3 4a ) 2 , 3 4 ( a a V + 0 V 极大 ) (x V 在 ) 2 , 0 ( a 内有唯一的极大值. (当 3 4a x = 时) 也是最大值. 81 32 ) 3 4 2 ( ) 3 4 ( 3 1 ) 3 4 ( 3 2 a a a a a V V = = = 最大值 例 13.一渔船停泊在距岸 9 公里处,今需派人送信给距渔船 34 3 公里处的海岸渔站.若送信 人步行每小时 5 公里,船速为每小时 4 公里.问应如何登岸再步行才可使抵达渔站的时间最 省? 解:设登岸点选在距海岸渔站的 x 公里处,则乘船距离为 81 ) 15 ( 2 + x ,步行距离为 x,所用时 间为: , 0 5 1 81 ) 15 ( ) 1 ( ) 15 ( 2 2 1 4 1 ) 15 0 ( 5 4 81 ) 15 ( ) ( 2 2 = + + = + + = x x t x x x x t 令 0 = t . 即： 81 ) 15 ( 4 ) 15 ( 5 2 + = x x 解之,x=3. X (0,3) 3 (3,15) t 0 + T 极小 ) (x t 在 ) 15 , 0 ( x 只有唯一极小值点, 也是最小值点. 登岸点应选在距海岸渔站 3 公里处 高三数学（理） 第二学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 /10 一、选择题一、选择题 1函数 f(x)=xlnx, x(0,5)下列判断正确的是（ ） （A）在（0，5）上是增函数； （B）在（0，5）上是减函数； ) 5 , 1 ( , ) 1 , 0 ( ) ( ) 5 , 1 ( , ) 1 , 0 ( ) ( 上是减函数 上是增函数 在 上是增函数 上是减函数 在 e e D e e C 2已知函数 f(x)=x 3 -3x 2 -9x (-20 是 f(x)在此区间上为增函数的充分条件； 在区间（a,b）内，若 f(x)=0，则 f(x)为常数； 在区间（a,b）内 f(x) 求 a 的值； 证明 f(x)在（0，+）上是增函数. 6.设 f(x)=ax 3 +x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求其单调区间. 7.证明:当 x0 时,xln(1+x). . ) 5 2 ( . 8 3 2 的极值点与极值 求 x x y = 9.求函数 y=x 4 -2x 2 +5 在区间-2,2上的最大值与最小值. 10.某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其它三 边需要砌建新的墙壁,问堆料场的长和宽各为多少时,才能使砌壁所用的材料最省? 高三数学（理） 第二学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 /10 一、选择题一、选择题 1对于函数 f(x)=x 3 -3x 2 ，给出命题： f(x)是增函数； f(x)是减函数，无极值. f(x)是增函数的区间为（-,0）,(2,+ );是减函数的区间为（0，2）； f(0)=0 是极大值，f(2)=-4 是极小值. 其中正确的命题有（ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 2已知 f(x)=(x-1) 2 +2,g(x)=x 2 -1,则 fg(x)（ ） （A）在（-2，0）上递增 （B）在（0，2）上递增 上递增 在 上递增 ) 2 , 0 ( ) ( ) 0 , 2 )( ( D C 二、填空题二、填空题 _ _, 5 ) 1 ( ) ( . 3 3 2 极小值为 的极大值为 函数 + = x x f 4设函数 f(x)=x 3 -3x 2 -3mx+4,当 f(x)取得极大值 5 时，m=_ 三、解答题三、解答题 5将数 8 分成两数之和，使其立方和最小，求这两个数. 6已知 x、y 为正实数，且 x 2 -2x+4y 2 =0，求 xy 的最大值. 7已知函数 32 ( )39 f xxxxa = + . （1）求 ( ) f x 的单调递减区间； （2）若 ( ) f x 在区间 2,2 上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 8设函数 + + + = a ax x a x x f 其中 , 8 6 ) 1 ( 3 2 ) ( 2 3 R R. （1）若 3 ) ( = x x f 在 处取得极值,求常数 a 的值； （2）若 ) 0 , ( ) ( 在 x f 上为增函数,求 a 的取值范围. 一选择题： 1已知 f (x)=x 3 -ax 在1，+）上是单调增函数，则 a 的最大值是（ ） A0 B1 C2 D3 2设 aR，若函数 y=e ax +3x，xR 有大于零的极值点，则（ ） Aa 3 1 Ca-3 3函数 f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数 f(x)在（a，b）内的图象如图所示， 则函数 f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 高三数学（理） 第二学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 /10 二填空题： 4函数 f（x）=x 3 -15x 2 -33x+6 的单调减区间为_ 5已知函数 f（x）=x 3 -12x+8 在区间-3，3上的最大值与最小值分别为 M，m，则 M- m=_。 三解答题 6设 ( ) ( ) 2 56ln fxa xx =+ ,其中aR ,曲线 ( ) yf x = 在点 ( ) ( ) 1,1 f 处的切线与 y 轴相交于点( ) 0,6 . （1）确定a的值; （2）求函数 ( ) fx 的单调区间与极值. 7已知函数 2 l ( ) n f xx x = . （1）求函数 ( ) f x 的单调区间; （2）证明: 对任意的t0, 存在唯一的s, 使 ( ) tf s = . （3） 设(2)中所确定的s关于t的函数为 ( ) sg t = , 证明: 当 2 e t 时, 有 2ln( )1 5ln2 g t t a ，若函数 ) (x f 和 ) (x g 在区间 ) , 1 + 上单调性一致,求实数 b 的取值范 围； （2）设 , 0 a 且 b a ，若函数 ) (x f 和 ) (x g 在以 a，b 为端点的开区间上单调性一致， 求|a-b|的最大值。 9、设 ( ) f xxxax 32 11 = +2 32 （1）若 ( ) f x 在( , 2 + 3 ） 上存在单调递增区间，求a的取值范围； （2）当 a 0 x x x x f x 有 时 由于 又由于 f 在 x=0 处连续,所以 f 在0,)上严格递增,从而当 x0 时,有 f(x)=x- ln(1+x)f(0)=0 即 xln(1+x) 8.x=0 为 f 的极大值点,极大值 f(0)=0,x=1 为 f 的极小值点,极小值 f(1)=-3. 9.最大值 13,最小值 4. 10.要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,如图所示, 2 512 2 ), 0 ( 512 2 , , 512 , x L x x x L x x = + = 新墙总长度为 因此 米 则长为 米 设场地宽度为 令 L=0,得 x=-16,x=16 x0 x=16 则当 x=16 时,L 取最小值,且这个极小值为 L 在(0,+ )上的最小值,Lmin=64(米) . , 32 16 512 , 16 : 省 可使砌墙所用的材料最 米时 长为 米 当堆料场的宽为 即 = 提高拓展题提高拓展题 高三数学（理） 第二学期 巩固练习 第二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 /10 一、选择题一、选择题 1B 2.C 二、填空题二、填空题 3无极大值，极小值为 f(1)=5 4 4 5 = m 三、解答题三、解答题 5这两数为 4，4 6 8 3 3 ) ( max = xy 7解：（1）由 0 ) ( + ，从而 2 ln ( )lnlnln lnln( )ln(ln )3lnlnln2ln g tsssu tf sssssuu = + ， 其中 ln us = .要使 2 ln( )1 5ln2 g t t 成立，只需0ln 2 u u ，即 1 u ，从而ln0 u 成立. 另一方面，令 ( )ln,1 2 u F uuu = . 11 ( ) 2 F u u = ,令 ( )0 F u = ，得 2 u = . 当12 u 时， ( )0 F u ， ( )(2)0 F uF .因此 ln 2 u u 时，有 2 ln( )1 5ln2 g t t 得 所以，当 12 ,( )(,) 93 af x + 时 在 上存在单调递增区间 （2）令 12 118118 ( )0,. 22 aa fxxx + = 得两根 所以 12 ( )(,),(,) f xxx + 在 上单调递减，在 12 (,) x x 上单调递增 当 12 02,14,( ) axxf x 时 有 所以 在1，4上的最大值为 2 () f x 又 27 (4)(1)60,(4)(1) 2 ffaff = + 即 所以 ( ) f x 在1，4上的最小值为 4016 (4)8 33 fa = 得 2 1,2 ax = ，从而 ( ) f x 在1，4上的最大值为 10 (2). 3 f = 10、解：解：（） x x x x x x f 1 ln 1 ln 1 ) ( + = + +