天津第一中学数学三角函数资料理pdf

高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 1 / 9 9 第一学期 第十一周 第一学期 第十一周 课程内容 三角函数概念、同角三角函数关系、诱导公式 2014-2015 学年 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 3 / 9 9 1、准备知识要点： 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式。 2、本阶段知识要点： 理解三角函数概念，熟练使用同角三角函数的基本关系式和诱导公式进行相关计算。 三角函数的概念 三角函数的概念 知识要点 知识要点 1角的有关概念： （1）正角、负角和零角、终边相同的角、象限角等概念. （2）角的度量：包括角的角度制与弧度制及换算关系. 2任意角的三角函数： 包括三角函数的定义，三角函数线的意义，任意角的三角函数值在各象限中的符号、 特殊角的三角函数值，同角的三角函数的基本关系式及诱导公式.进一步的，应掌握两角 和、差、倍、半的公式.详细内容如下： （1）设 P（x,y）是角终边上任一点，且|PO|=r(r0)，则有 y r r y = = csc sin x r r x = = sec cos y x x y = = cot tan （2）三角函数的符号如下表 象限 符号 函数 csc,sin + + - - sec,cos + - - + cot,tan + - + - 3弧度制以及弧度与角度的互换公式 圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小为 1 弧度，因此周角的大小为 2弧 度，依此建立起角度与弧度之间的换算： 2radrad 180 1 ,) 180 (1 ,180,360 = oooo 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 4 / 9 9 4弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为)(rad，半径为 r，则l=r扇形的面积为 2 2 1 2 1 rlrS= 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知识要点 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 知识要点 1同角三角函数的三个基本关系式 1cottan tan cos sin 1cossin 22 = = =+ 说明：新教材对于同角三角函数只有这三个基本关系式，而老教材除此之外，还有如下五 个关系式： 1cscsin 1seccos sin cos cot csccot1 sectan1 22 22 = = = =+ =+ a 可见，新教材在三角部分降低了难度，但是，若能掌握这补充的五个关系式，对做题肯定 是有帮助的，这五个关系式，用定义很容易给予证明，在此略。 2诱导公式 诱导公式是指角的三角函数与诸如，180 o ，90 o ，270 o ， 360 o ，360 o k+等同角的三角函数之间的关系，其内容相似，极易混淆。 10 k3600+, -, 1800, 3600-的三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一 个把看作锐角时原函数在相应象限的符号； 20 900， 2700的三角函数值等于的相应余函数的值，前面加上一个把看作 锐角时，原函数在相应象限的符号； )( 2 :Zk k 综合记之 其记忆规律是：奇变偶不变、符号看象限。 利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是： 任意角的三角函数 正角的三角函数 0 o 360 o 的角的三角函数 锐角三角函数 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 5 / 9 9 1函数 y= x x x x x x x x cot cot tan tan cos cos sin sin +的值域是（ ） A-2，4 B-2，0，4 C-2，0，2，4 D-4，-2，0，2，4 解 当 x 在第一象限时，各种三角函数值均为正值： y=4 cot cot tan tan cos cos sin sin =+ x x x x x x x x 当 x 在第二象限时，只有 sinx0，其他函数值为负值： y=2 cot cot tan tan cos cos sin sin = + + + x x x x x x x x 同理，当 x 分别在第三、四象限时，函数值分别为 0 和-2； 函数值域为-2，0，4。故选 B 2已知一扇形的周长是 c(c0)，当扇形的中心角为多大时，它有最大的面积？ 分析 首先将扇形的面积表示成中心角的函数，然后求该函数取得最大值时的中 心角即可。 解 设扇形的半径为 r，中心角为，扇形的面积为 S，则 c=2r+r，r= +2 c S= 2 2 1 r = 8 8 2 882 2 2 2 + = + cc 16 8 8 22 22 cc = + 当 2= 8 ，即扇形中心角=2rad 时，扇形有最大面积 Smax= 16 2 c 3若角的终边与函数 y=-2|x|的图象重合，求的各三角函数值。 解 角的终边与函数 y=2|x|的图象重合 为第三、四象限的角 若为第三象限的角，取终边上一点 P（-1，-2），|OP|=r=5，则的各三角函数值分 别为： 5sec 2 1 2 tan 5 52 5 2 sin = = = = = x r x y r y 2 5 csc 2 1 2 1 cot 5 5 5 1 cos = = = = = y r y x r x 若在第四象限，可取点 P（1，-2），易得的各三角函数值： 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 6 / 9 9 2 5 csc5sec 2 1 cot 2tan 5 5 cos 5 52 sin = = ， ， 4已知角为第一象限的角。确定角 2 所在的象限，并画出其变化区别。 解首先写出角的一般形式：2k)( 2 2Zkk+ ，两边同时除以 2，得 k 2 )( 4 Zkk+ ，运用分类讨论的数学思想，讨论 k 为奇数和 k 为偶数两种情况。 （1）当 k 奇数时，设 k=2m+1(mZ)，则(2m+1) 2 (2m+1) 4 +(mZ)，此 时角 2 是第三象限的角； （2）当 k 为偶数时，设 k=2m（mZ），则 2m 2 2m+)( 4 Zm ，此时角 2 是第一象限的角。 综上，角 2 的第一象限或第三象限的角。 其变化区域如图 162 中阴影部分，这样的区域称为一、三象限的前半区域。 5解答下列问题： （1）若在第四象限，试判断 sin(cos)cos(sin)的符号； （2）若 tan(cos)cot(sin)0，试指出所在象限。 解显然要用到三角函数在各象限内取值符号的结论，其中还应注意 cos、sin本身的 取值限制。 （1）在第四象限 0cos1 2 ， 2 -1sin0 sin(cos)0，cos(sin)0，sin(cos)cos(sin)0 （2）即 )cot(sin )tan(cos 或 )cot(sin )tan(cos 0cos1， 或 -1cos0 0sin1； -1sin0 0 即在第一或第三象限。 6学科内综合已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 x 轴的正半轴上，终边 经过点 P（-1，2），求 sin（2 3 2 +）的值。 （上海高考题） 解 P（-1，2）是角终边上一点，由此求得 r=|OP|=52) 1( 22 =+ 0 0 0 0 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 7 / 9 9 sin5 5 2 5 2 = cos5 5 1 5 1 = = 10 334 2 3 ) 5 3 () 2 1 ( 5 4 3 2 sin2cos 3 2 cos2sin) 3 2 2sin( 5 3 )5 5 2 ()5 5 1 (sincos2cos 5 4 )5 5 1 (5 5 2 2cossin22sin 2222 =+= +=+ = = 那么 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1化简： ) 1sec 1sec 1sec 1sec () sin1 sin1 sin1 sin1 ( + + + + 分析“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数 的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标。 解 原式) tan ) 1(sec tan ) 1(sec )( cos )sin1 ( cos )sin1 ( ( 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = ) |tan| |1sec| |tan| |1sec| )( |cos| sin1 |cos| sin1 ( + + = = = + = )(4 )(4 |sin| cos2 |cos| sin2 ) |sin| cos1 |cos| cos1 ( |cos| sin2 四象限时在第二 三象限时在第一 、 、 2已知f() )sin()cot( ) 2 3 tan()2cos()sin( + = a a （1）化简 f()； （2）若是第三象限的角，且 5 1 ) 2 3 cos(= ，求f()的值； （3）若= o 1860，求f()的值。 解（1）f()= cos sin)cot( cotcossin = （2） sin) 2 3 cos(=Q， 6 5 2 )(,6 5 2 5 15 cos, 5 1 sin 2 = =f （3） ooo Q30036061860+=， 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 / 9 9 2 1 60cos)3003606cos( )1860cos()1860( =+= = ooo oo f 3已知 sin(+)= 2 1 ，求 sin(2)cos)cot(的值。 解 2 1 sin, 2 1 )sin(=+Q 2 sin 1 sin cossin sin cos sin coscotsin cos)cot(sin cos)cot()2sin( 22 2 = + = = = += 4已知 tan=2，则 （1）= cos9sin4 cos3sin2 。 （2）= 22 22 cos9sin4 cos3sin2 。 （3）4sin2-3sincos-5cos2= 。 解（1）注意到分式的分子与分母均关于 sin、cos的一次齐次式，将分子、分母同 除以 cos（0cosQ），然后整体代入 tan=2 的值。 1 924 322 9tan4 3tan2 cos9sin4 cos3sin2 = = = 1应填 （2）注意到分子、分母都是关于 sin、cos的二次齐次式，Qcos20，分子、分 母同除以 cos2，有 7 5 7 5 944 342 9tan4 3tan2 cos9sin4 cos3sin2 2 2 22 22 应填 = = = （3）要注意到 sin2+cos2=1 4sin2-3sincos-5cos2 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 9 / 9 9 1 1 5 5 14 52344 1tan 5tan3tan4 cossin cos5cossin3sin4 2 2 22 22 应填 = + = + = + = 点评这是一组在已知 tan=m 的条件下，求关于 sin、cos的齐次式之问题，解这 类问题须注意以下两点： （1）一定是关于 sin、cos的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式； （2）0cosQ，可用 cosn（nN+）除之，这样可以将被求式化为关于 tan的表 达式，可整体代入 tan=m 的值，从而完成被求式的值。 5学科内综合如图 171，ABCD 是一块边长为 100m 的正方形地皮，其中 AST 是一半 径为 90m 的扇形小山，其余部分都是平地。一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使 矩形的一个顶点 P 在 ST上，相邻两边 CQ、CR 落在正方形的边 BC、CD 上。求矩形停场 PQCR 面积的最大值和最小值。 （2002 年西安市联考试题） 解 设=PAB（0 o 90 o ），延长 RP 交 AB 于 M，则 AM=90cos，MP=90sin sin90100 cos90100 = = MPMRPR MBPQ S矩形 PQCR=PQPR =(100-90cos)(100-90sin) =10000-9000(sin+cos)+8100sincos 令 t=sin+cos(1t2)，则 sincos= 2 1 2 t S矩形 PQCR=10000-9000t+8100 2 1 2 t =950) 9 10 ( 2 8100 2 +t 故当 t= 9 10 时，S矩形 PQCR的最小值 950m2 当 t=2时，S矩形 PQCR有最大值（14050-90002）m2 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 10 三角函数的概念 三角函数的概念 1若角，为终边相同的二个角，则-的终边在（ ） Ax 轴的正半轴 By 轴的正半轴 Cx 轴的负半轴 Dy 轴的负半轴 2在下列各角中与-19900终边相同的角是（ ） A1900 B1700 C2700 D-1700 3若=2m+，=2n-.（m,nN）则角，的终边位置的关系是（ ） A重合 B关于原点对称 C关于 x 轴对称 D关于 y 轴对称 4已知点 P(4，-3)是角终边上一点，则下列三角函数中正确的是（ ） 5 4 cos. 5 4 sin. 3 4 cot. 3 4 tan. = = DC BA )(?, 2 1 cos. 5终边上的一点则下列哪一点是角如果= )3, 1(.) 1, 3(. ) 1 , 3(.)3, 1 (. PDPC PBPA 6下面四个选项中正确的是（ ） 035cos.0) 3 11 sin(. 0)2150cos(.01005sin. 00 DC BA _,coscos . 7 2 的范围是则角若= 8如果角 2的终边在 x 轴上方，那么的范围是（ ）。 A第一象限角的集合 B第一或第二象限角的集合 C第一或第三象限角的集合 D第一或第四象限角的集合 9已知锐角终边上一点 A 的坐标为（2sin3，-2cos3），则角的弧度数为（ ）。 A3 B3 C 2 3 D3 2 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 10 10已知角的终边以过点 P（2t，-3t），其中 t0，求角的正弦、余弦和正切值。 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 11已知 tan100 o =k，则 sin80 o 的值等于（ ）。 A 2 1k k + B 2 1k k + C k k 2 1+ D k k 2 1+ 12计算 ._) 4 29 cos() 3 11 sin()2( ._) 6 7 tan( 4 9 cos) 1 ( = = )690cot(270sin)300tan(180cos750cot90sin405tan)4( ) 3 11 cos() 6 23 sin(3 6 25 cos 3 7 sin) 3( 0000000 + 13化简 )(cos)tan( )2cot()cos()(sin 3 2 + + 14已知2，cos(-7)= 5 3 ，求 sin(3+)与 tan) 2 7 ( 的值 15已知 sin+cos=m，求下列各式的值： （1）sincos （2）tan+cot （3）sin3+cos3 .cossin,. 4 5 2 4 3 2|.16的大小和试比较时当 Zkkk+ 17对任意角求证|sin|+|cos|1 三角函数的概念 三角函数的概念 1确定 lg(cos6-sin6)的符号。 同角三角函的基本关系式与诱导公式 同角三角函的基本关系式与诱导公式 )()cos(, 3 1 sin, . 2 的值等于则中已知在三角形CBAABC+= 9 8 . 3 22 . 3 22 . 3 22 .DCBA )( sin1 sin1 cos1 cos1 , 3 1 cossin,. 3 的值等于 则函数且是第二象限角已知角 x x x x yxxx + + =+ 17. 2 3 . 3 17 . 4 17 .DCBA 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 10 cos cos1 sin1 sin ,2 . 4 2 2 + =yxy则函数上的终边落在直线已知角的 值等于（ ） A0 B1 C-1 D2 )(cossin, 2 cos3sin cos2sin . 5 的值等于则满足如果角 = + 以上都不对. 65 8 . 65 8 . 65 8 .DCBA )(, 2 , 0 1 12 cos, 1 3 sin . 6 的取值范围是则且已知a a a a a + = + = .), 1() 1,( . ), 1 . 3 5 , 1 . DC BA + + 7已知 sin3+cos3=1，则 sin+cos=_ 8且知 cos+cos2=1，则 sin2+sin6+sin8的值是_ _)(, cossin 1 )(tan)( . 9 22 的解析式为则满足已知函数xf xx xfxf= . 2 cos 2 sin)(,.10 22 的值恒等于函数为何值时试问当x ba xbayba + += . 2 , 1 sin sin cos cos .11 2 4 2 4 ZkkAkA B A B A +=+ 及且已知 1 sin sin cos cos : 2 4 2 4 =+ A B A B 求证 12当)( cotcos tansin ,)( 2 的值是时 xx xx Zk k x + + A恒正 B恒负 C非负 D不能确定 13已知和求的两个实根是方程且k，kkxx、01cossin)2 , 0( 2 =+ 14（1）已知 tan=3，求的值 22 cos 4 1 sin 3 2 +； （2）求证： cos1 sin sin1 cos cossin1 )sin(cos2 + + = + a 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式和诱导公式 1如果 111 ABC的三个内角的余弦值分别等于 222 A B C的三个内角的正弦值，则（ ） A 111 ABC和 222 A B C都是锐角三角形 B 111 ABC和 222 A B C都是钝角三角形 C 111 ABC是钝角三角形， 222 A B C是锐角三角形 D 111 ABC是锐角三角形， 222 A B C是钝角三角形 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 10 2已知=+ tan, 2 |, 2 3 ) 2 cos(则且 （A） 3 3 （B） 3 3 （C）3 （D）3 3已知0tancos+而时当Zkkk 2 2 cos, 0sin 2 2 ,. 4 5 22 .cossin1cos . 0 sin,2 +=+= 而时有当 时当 Zkkk k 时恒有当综上故,. 4 5 2 4 3 2|,.cossinZkkk+cos. 17对于(|sin|+|cos|)2=sin2+2|sin|cos|+cos2=1+2|sin|cos|1. 又|sin|0 |cos|0 |sin|+|cos|1. 提高拓展题答案： 三角函数的概念 提高拓展题答案： 三角函数的概念 1正 2C 3 22 )cos(. 3 1 sin . 1 )(cossin 22 =+=+CBACBA 3C 2 3 4 9 3 2 9 4 3 1 1 9 4 cossin 9 1 cossin21. 3 1 cossin cossin cossin1 cossin coscossinsin cos sin1 sin cos1 sin1 sin1 cos1 cos1 22 = = =+=+ = + = = + + = y xxxxxx xx xx xx xxxx x x x x x x x x y 且 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 10 4A 0 cos sin cos sin 2 0 cos sin cos sin 1 2 cos |sin| |cos| sin 0 0 = += =+= =+= 则原式 在第四象限若 则原式 在第二象限若 在第二或第四象限上的终边在原式xyQ 5B . 65 8 cossin 65 1 cos 65 8 sin 1cossin.cos8sin cos6sin2cos2sin . 2 cos3sin cos2sin 22 = = =+= += + m 且 由 6D 1) 1 12 () 1 3 ( 1 1 12 0 1 1 3 0 22 = + + + + + a a a a a a a a 且由已知可得 a2-6a+9+4a2-4a+1=a2+2a+1 4a2-12a+9=0 (2a-3)2=0 不存在可知aa 2 3 = 71 sin3+cos3=1. (sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=1 (sin+cos)(1-sincos)=1 令 t=sin+cos. 则 t2=1+2sincos 2 1 cossin 2 = t 1) 2 1 1 ( 2 = t t t3-3t+2=0 (t-1)(t2+t-2)=0 (t-1)(t+2)(t-1)=0 t=1 即 sin+cos=1 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第十一周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 10 81 sin2+sin6+sin8=(sin2+sin4)(1+sin4)-sin4 cos+cos2=1 cos=sin2 cos2=sin4 原式=(sin2+cos2)(1+sin4)-sin4 =(1+sin4)-sin4=1 2 1 . 9 2 2 +x x 2 1 )( tan tan 1 2tancot2tancottancot1 )tan1)(cot1 (seccsc cossin 1 )(tan 2 2 2 2 222222 2222 22 += +=+=+= += x x xf x x xxxx