天津第一中学数学数列2资料文pdf

高三数学(文) 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 7 第二学期 第五周第二学期 第五周 课程内容 数列专题等差数列与等比数列综合 2014-2015 学年 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 / 7 本阶段知识要点：等差、等比数列与函数、方程、不等式等内容结合起来，仍将作为 考查重点。要注意转化这种数学方法的使用。 数列部分主要是等差等比型数列与非等差等比型数列两个问题。等差等比型问题是学 习的重点，更是解题的基础.它包括等差等比数列 an, Sn, d, q, n 的关系式，和性质应用。 特别是性质的推广及灵活应用已成为考试的热点，请同学注意选择填空部分中的此类练习. 非等差等比型数列的解题关键是转化，象我们所熟悉的 an=Sn-Sn-1 (n2) ( ) ( )即知和求差 n n n n n a a a V n V V a . 2 2 1 1 = = 、知积求商；又如递推公式，求和中的 错位相减法及倒序相加法等其手段各有不同.但其中的思想实质就是把没有公式可用的非等 差等比数列转化为等差等比数列.此外，一些特殊的数学方法如反证法也常常是解决这部分 问题的常用方法.另外数列问题与三角、不等式、函数、解析、复数等均有广泛联系。所以 在高考中还把等差、等比数列与函数、方程、不等式等内容结合起来，考查与数列有关的 实际问题，热点如分期付款、增长率等问题，这些问题比较符合学生实际，易为学生接 受，今后高考仍将作为重点考查，大题、小题都有可能。 例 1等差、等比数列的综合应用 一个等差数列an（公差 d 不为零）中的部分项构成公经为 q 的等比数列 n k a ，已知 k1=2，k2=4，k3=12。 （1）求数列kn的通项公式； （2）求数列kn的前 n 项和 Sn。 分析：（1）利用 k1,k2,k3 得出数列的前三项，然后利用定义求出公比。 （2）利用等比数列求和公式。 解析：（1）解法一： n k a 是数列an的第 kn 项,又是 n k a 的第 n 项, n k a =a1+(kn- 1)d= n k a q n-1 =a2q n-1 。 q q a q a q a q a a a a a n n n n k k k k n n n n = = + + + + 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 3 k k k k a a a a q = 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 7 4 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 2 2 3 1 1 2 1 2 1 3 1 = = + + + + = k k k k d k a d k a d k a d k a kn+1-kn是以 k2-k1 为首项，公比为 4 的等比数列 kn+1-kn=(k2-k1)4 n-1 =24 n-1 递推可得 kn-kn-1=24 n-2 ，k2-k1=24 0 ，上述 n-1 个等式累加可得 3 4 4 3 2 1 + = n n k 解法二：由 a2,a4,a12 成等比数列，得 12 2 2 4 a a a = ，即（a1+3d） 2 =(a1+d)(a1+11d). 6a1d+2d 2 =0 d=0 或 d=-3a1 由 d=-3a1 知 4 2 4 = = q a a 下同解法一。 （2）由 3 4 4 3 2 1 + = n n k ，可得 9 2 12 4 2 + = n S n n 评析：等比数列an的公比 q1 时，有 q a a a a n n n n = + + + 1 1 2 ，q-1 时，有 q a a a a n n n n = + + + + + 1 1 2 其 中 nN+，该性质在解等差、等比数列交汇问题时往往能起到独特作用。 例 2数列与方程、不等式的综合应用 若 , 是方程 ) 0 ( 0 10 2 2 = + m m x x 的两实根，而且 ， ， 成等比数列。 （1）求 m 的值； （2）数列an的通项公式为 ) 1 ( 1 + = n n a n ，且 Sn 是它的前 n 项和， 求证：log2mSn = + m m x x 的两实根， 0 4 ) 10 ( 2 2 = m 2 10 2 10 m ，且 2 , 10 m = = + 又 ， ， 成等比数列， ( ) 2 = ( + ) 2 -5 =0 5m 2 =10 m= 2 （2）证明： 1 1 1 ) 1 1 1 ( ) 3 1 2 1 ( ) 2 1 1 ( ) 1 ( 1 3 2 1 2 1 1 2 1 + = + + + + = + + + + = + + + = n n n n n a a a S n n ? ? ? 又 m= 2 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 7 1 2 log 2 1 2 log 2 1 , 2 1 2 log log 2 2 2 = = = = m m 要证 2 log 2 1 log 2 m n S m ，只要证 n S 2 1 1 即可。 nN * 0 1 1 2 1 2 1 1 1 0 + + n n 1 1 1 1 2 1 0 时单调递增， 而 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 ) 2 ( 2 4 2 3 + + + + + + + = + + = + n n n n n n n n x x x x x x x x 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 7 2 1 , 2 1 1 + + n n n n x x x x 即 因此 1 1 2 2 1 1 ) 2 1 ( = n n n n n n x x x x x x x ? 又 ) ( 2 1 2 1 2 + + + + n n n n x x x x 2 1 , 1 2 + = + n n n n n y y x x y 则 令 y1= 2 1 2 1 = + x x 2 1 1 ) 2 1 ( ) 2 1 ( = n n n y y 因此 xn 2 2 ) 2 1 ( + n n n x x 故 2 1 ) 2 1 ( ) 2 1 ( n n n x 评析：递推数列与不等式的综合是高考压轴题的一个热点，处理的基本策略是类比“相等” 问题的处理方法，但涉及不等式的放缩，常有很强的技巧性，需要扎实的基本功。 例 4数列与解析几何的综合应用 已知点 M（1，2），An(2， an)，Bn ) 3 , 1 ( n n n 为直角坐标平面上的点（nN*） （1）若点 M，An,Bn 在同一直线上，求数列an的通项公式； （2）设 1 1 + = n n n a a d ，Dn 为dn的前 n 项和，求证： 2 1 3 1 n D 分析：（1）由 k n MA =k n MB ，求 an （2）用裂项相消法求出 Dn 解析：（1）M，An，Bn 三点共线， 1 1 2 2 3 1 2 2 = n n a n 1 2 = n a n （2）证明： ) 1 2 1 1 2 1 ( 2 1 1 1 + = = + k k a a d k k k ，k=1,2,3,n, ) 1 2 1 1 2 1 ( ) 5 1 3 1 ( ) 3 1 1 ( 2 1 + + + + = n n D n ? = ) 1 2 1 1 ( 2 1 + n ，显然，Dn是一递增数列， 2 1 3 1 +=+ + 为不等的正数 且 成等差数列 成等比数列 则 关系不确定 12. 13. 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 29 14在自然数数列中，前 50 个偶数的平方和与前 50 个奇数的平方和的差是（ ） （A）0 （B）2525 （C）5050 （D）-5050 （二）综合题 1 ( ) ( ) ( ) 2 log 2 1 log : , 1 1 2 1 . , , , 0 10 , 2 2 2 t n n n n S t n a S n n a t q q p p t x x q p + = = + 求证 项和 的前 为数列 设 的值 求正数 成等比数列 且 的两实根 是方程 若 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 123 112212 2312 1 111 2 nn n n nnnnnn n aaaanan nnnN, a S. aaaaaa S + +=+ =+ + ? ? 已知数列 满足 求通项公式 若 求 3 在等差数列中,Sm=p,Sn=q,(mn). ) ( : q p n m n m S n m + = + 求证 4 已知函数 f(x)=3x 2 +bx+1 是偶函数，g(x)=5x+c 是奇函数，正数数列an满足 a1=1, 2 11 1 1 1 22 nnnnn nnn nnnn f(aa )g(aaa) ( )a nS ,S ()bf(a )g(a),b . + + += = 若 前 项的和为 求 若 求 中项的最大值和最小值 5 ) 2 , 1 ( ) , 2 ( ), 2 , 1 ( , , n n n B a A M b a n n n n n 是 为两个数列 为直角坐标平面上的点. (1)对 nN * ,若点 M,An,Bn 在一直线上,求数列an的通项公式. (2)若数列bn满足 n n n n a a a b a b a b a C + + + + + + = ? ? 2 1 2 2 1 1 2 log ，其中Cn是第三项为 8，公比为 4 的等比数列，求证：点列(1,b1),(2,b2),(n,bn)在同一直线上，并求出此直线方程 一、选择题 1、正项的等差数列 n a 中， 2 3711 220 aaa += ，数列 n b 是等比数列，且 77 ba = ，则 68 b b = （ ） A.2 B.4 C.8 D.16 2、已知数列 n a 为等差数列，且 = + + 15 8 1 a a a ，则 ) cos( 12 4 a a + 的值为 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 29 A 2 1 B. 2 3 C 2 1 D 2 3 3、等差数列 n a 中,公差为d , , 72 15 8 1 = + + a a a 则 = + d a 3 5 （ ） A24 B22 C20 D 8 4、已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S2=10，S5=55，则过点 P（n，an），Q （n+2，an+2）（nN*）的直线的斜率为（ ） A4 B 4 1 C4 D 4 1 5、设等差数列 n a 的前n项和为 n S ，若 285 15 aaa += ，则 9 S 等于（ ） A18 B36 C45 D60 二、填空题 1、等差数列 n a 中， n S 是其前n项和， 1 2008 a = ， 20072005 2 20072005 SS = ，则 2008 S 的值 为_ 2、已知等差数列 n a 的前n项和为 104 , 36 13 9 = = S S ,在等比数列 n b 中, = 5 b 5 a , 7 7 a b = ,则 6 b = . 3、已知数列 n a 是等比数列，且 45678910 128, aaaaaaa = 则 2 15 10 _ a a a = 4、已知数列 n a 是递减数列，且对任意 N n ，都有 n n a n + = 2 恒成立，则实数 的 取值范围是 . 三、解答题 1、已知数列 n a 满足条件 1 21 16 a = ， 1 1 3 23 2 nn n aa + = ， 2 n 求数列 n a 的通项公式； 已知m为正整数，当2 nm 时，证明： 1 2 3 31 () (1) 2 m n n m a m mn + + + ； 已知当正整数 2 m 时，有 1 31 ( )1 22 m m n b 的首项为 c ，且前 n 项和 n S 满足 n S 1 n S = n S + 1 + n S （ 2 n ）. （1）求数列 n a 和 n b 的通项公式； （2）若数列 1 1 + n n b b 前 n 项和为 n T ，问 n T 2009 1000 的最小正整数 n 是多少? 2.设 n S 为数列 n a 的前 n 项和， 2 n Sknn =+ ， * nN ，其中 k 是常数 （I） 求 1 a 及 n a ；（II）若对于任意的 * mN ， m a ， 2m a ， 4m a 成等比数列，求 k 的值 3.设数列 n a 的通项公式为 (,0) n apnq nNP =+ . 数列 n b 定义如下：对于正整数 m， m b 是使得不等式 n am 成立的所有 n 中的最小值. （）若 11 , 23 pq = ，求 3 b ； （）若 2,1 pq = ，求数列 m b 的前 2m 项和公式； （）是否存在 p 和 q，使得 32() m bmmN =+ ？如果存在，求 p 和 q 的取值范围； 如果不存在，请说明理由. 4.设 n a 是公差不为零的等差数列， n S 为其前 n 项和，满足 2222 23457 ,7 aaaaS +=+= 。 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 29 （1）求数列 n a 的通项公式及前 n 项和 n S ； （2）试求所有的正整数 m ，使得 1 2 mm m a a a + + 为数列 n a 中的项。 5.等比数列 n a 的前 n 项和为 n S ， 已知对任意的 n N + ，点 ( , ) n n S ，均在函数 (0 x ybr b =+ 且 1, , bb r 均为常数)的图像上. （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 1 () 4 n n n bnN a + + = 求数列 n b 的前 n 项和 n T 6.已知等差数列 n a 中， , 0 , 16 6 4 7 3 = + = a a a a 求 n a 前 n 项和 n s . 7.已知数列 的前 n 项和 ，数列 的前 n 项和 （）求数列 与 的通项公式； （）设 ，证明：当且仅当 n3 时， 8.数列 n a 的通项 222 (cossin) 33 n nn an = ，其前 n 项和为 n S . (1) 求 n S ; (2) 3 , 4 n n n S b n = 求数列 n b 的前 n 项和 n T . 9.已知等差数列 n a 的公差 d 不为 0，设 1 2 1 + + + = n n n q a q a a S ? * 1 1 2 1 , 0 , ) 1 ( N n q q a q a a T n n n n + + = ? （）若 15 , 1 , 1 3 1 = = = S a q ,求数列 n a 的通项公式； （）若 3 2 1 1 , , , S S S d a 且 = 成等比数列，求 q 的值。 （）若 * 2 2 2 2 , 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 , 1 N n q q dq T q S q q n n n = + ） 证明（ 10.设数列 n a 的前 n 项和为 n S ，对任意的正整数 n ，都有 51 nn aS =+ 成立，记 * 4 () 1 n n n a bnN a + = 。 （I）求数列 n a 与数列 n b 的通项公式； （II）设数列 n b 的前 n 项和为 n R ，是否存在正整数 k ，使得 4 n Rk 成立？若存在，找 出一个正整数 k ；若不存在，请说明理由； （III）记 * 221 ( ) nnn cbbnN = ，设数列 n c 的前 n 项和为 n T ，求证：对任意正整数 n 都有 3 2 n T ，证明: 1 a , 2 a , 1 n a 是等差 数列。 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 29 17. 设 n S 为数列 n a 的前项和,已知 0 1 a ,2 n n S S a a = 1 1 , n N ()求 1 a , 2 a ,并求数列 n a 的通项公式; ()求数列 n na 的前n项和. 18.数列an的通项 an=n 2 (cos 2 3 sin 3 2 n n )，其前 n 项和为 Sn. （1）求 Sn； （2）令 bn= n n n S 4 3 ，求数列bn的前 n 项和 Tn. 19.已知an为等差数列，且 3 6 a = ， 6 0 a = . （1）求| n a 的通项公式； （2）若等比数列 bn满足 1 8 b = ， 2123 baaa =+ ，求bn的前 n 项和公式. 20.设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 S5S6+15=0. （1）若 S5=5，求 S6 及 a1； （2）求 d 的取值范围. 21.成等差数列的三个正数的和等于 15，并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数 列bn中的 b3、b4、b5。 （1）求数列bn的通项公式； （2）数列bn的前 n 项和为 Sn，求证：数列 + 4 5 n S 是等比数列. 22.在数 1 和 100 之间插入n个实数，使得这 2 n+ 个数构成递增的等比数列，将这 2 n+ 个数的乘积记作 n T ，再令 , lg nn aT = 1 n . （1）求数列 n a 的通项公式； （2）设 bn=tanantanan+1，求数列 n b 的前n项和 n S . 23.已知等比数列an中，a1= 3 1 ，公比 q= 3 1 . （1）Sn 为an的前 n 项和，证明：Sn= 2 1 n a ; （2）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列bn的通项公式. 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 29 24.设an是等比数列，公比 2 q = ，Sn 为an的前 n 项和。记 * 2 1 17 ,. nn n n SS TnN a + = 设 0 n T 为数列 n T 的最大项，则 0 n = 。 25.设an是公比为正数的等比数列，a1=2，a3=a2+4。 （1）求an的通项公式； （2）设bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列an+bn的前 n 项和 Sn. 26.已知an是首项为 19，公差为-2 的等差数列，Sn为an的前 n 项和。 （1）求通项 an 及 Sn； （2）设bn-an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列bn的通项公式及其前 n 项和 Tn. 必会基础题答案必会基础题答案 ( ) 1 ax . Afx bxc = + 利用 的单调性 1391 13 2 16 3 .a ,a ,aGPad .D = 由 成 可得 20 4 2 3 5 4 . . ( ) ( ) 15 15 1 1 15 6 7 11 8 33 1 1 9 4085 11 .D . . n aq aq .S,. qq + = + 又 二式相乘即可 10 67 n .a 注意 是从第二项起的等差数列 ( )( ) 22 2222 22 22 121121 11 21111 11 1 12 22 nn nnnnn mnmmnn mnmn . Aa, bxyab nmnmmn mmn mnmmnnmn mn aabb .Cabbbbb + + + =+=+=+= + + + = 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 29 ( ) ( ) 22 22 12 12 1 2 1 2 2 134 aaxy aaxy xyxy .C bbxy bbxyxy +=+ + + = = ( ) ( ) ( ) ( ) 22222222 1421436510099 37111995050 .C =+ =+= ? ? 原式 （二）综合题 1解： （二）综合题 1解： ( ) , , 1 为方程的两实根 q p ( ) ( ) ( ) 2 0 2 10 5 0 5 , , , 10 2 10 2 10 0 4 10 2 2 2 2 2 2 = = = = + = = = + = t t t t pq q p pq q p GP q q p p t q p q p t t 又 成 又 且 ( ) ( ) 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 : 2 2 log 2 1 2 log log 2 2 2 2 + + = + + + + = + + + + = = = = = n N n n n n n n S S t t n n t ? ? 故只要证 1 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 mmm mn mnmnm (2) m ， 所以 11 (1)32 ( )( )1(1)( ) ( )23 mm f n f nf n f n + =+ 当 = mn时， ( ) f n 为常函数，所以 2 max 3 ( )(2)( ) (1) 2 = m f nfm 于是原不等式等价于 2 2 31191 ( )(1) 2(1)4 m m mm m mmm + =+ ， 而 2 m 时 012 22 1111(1)9 (1)1 1 24 m mmm m m CCC mm mm += + + 法二：令 3 ( )( ) (1) 2 =+ m f xmx (2) xm ， 则 3133313 ( )( )ln( )( ) ln1 22222 xxx mmm mxmx fx mm + = ，而 1 1 + mx m ， 313 ( ) ln10 22 x m mx m + ， 所以 3 ( )( ) (1) 2 =+ x m f xmx (2) xm 是单调递减（后同法一略） 法三： 3 ( )( ) 2 = x f x 是下凸函数， 3 ( )1 22 + x x ， 0,1 x ， 32 ( ) 22 + n m nm m 下证 2 21 2(1) + + nmm mm mn （*） 2 220 + mmnnnn 显然，20 mmn ， 2 20 + nn (2) n （*）成立，即 2 31 ( ) 2(1) + n m m m mn 成立 由（2）知，当2 nm 时，有 1 2 3 31 () (1) 2 m n n m a m mn + + + 成立， 而 (1) 3 ( ) 2 n m m mm ，所以 1(1) 2 3 321 () ( ) 31 2 n m mm n n m am mn + + + 成立 故下面只需证明：当 1 = n 时命题成立 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 14 / 29 此时的原不等式等价为 1111 22 3213231 ( ) ( )( ) ( ) 23232 m mmmm mm mm mm 令 1 3 ( ) 2 = m t ，则原不等式等价于 22 2 2121 () 33 mm t mtmtt mm 令 2 2 3 = ymtt ，由 113 11 224 + + tm m ，知函数 2 2 3 = ymtt 为增函数 而 1 31 ( )1 22 + m t m ，所以 22 21211 (1)(1) 32322 +=+ mttmm mm 22 33 m 2 1 6 m 2 1111 36 6 =+ m mm m 22 1111 36 + mm mmm (2) m 即得当 1 = n 时命题成立，综合以上命题得证. 2、解：（I）解：（I） 123 23.2 , n n aaana += 当 2 n 时， 1 1231 23. (1)2, n n aaana += 将得 1 11 2 222,(2). n nnn nn naan n = 在中，令 1, n = 得 1 2. a = 1 2(1) . 2 (2) n n n a n n = = （II）由 2 nn bn a = 得 = = ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 1 n n n b n n 则当 1 n = 时， 1 2, S = 当 2 n 时, Sn=2+22 1 +32 2 +n2 n-1 则 231 24223 2.(1) 22 , nn n Snn =+ + ii 231 2(222.2)(1)22(2). nnn n Snnn =+=+ i 又 1 2, S = (1)22(*). n n SnnN =+ 3、解：解： ) 1 ( ) 1 ( 1 + + + = + n cn a n na n n c n a n a n n + = + + 1 1 即 c n a n a n n = + + 1 1 从而数列 n a n 是首项为 1，公差为 C 的等差数列 c n n a n + = ) 1 ( 1 即 n c cn a n ) 1 ( 2 + = n n n n n c cn a b 2 ) 1 ( ) 2 1 ( 2 + = = 是递减数列 数列 n b 0 2 1 ) 1 3 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 2 2 1 2 1 + + = + + + + = + + + n n n n n n c cn n c cn n c n c b b 0 1 ) 1 3 ( 2 + + n c cn 即 1 ) 3 ( 2 n n n c 当 n=1 时，由得：c + + = + + = + + + = + n n n n n n n n n n n n n n n n n c c n n 时是递增数列 在 数列 4 n c n （11 分） 则 4 3 16 4 3 1 4 = n c 又 n lim = n c n lim 0 3 1 2 = n n n 0 4 3 = n n 14 , 0 15 15 14 n n ，即取 15 n 时， 1 + , 0 n S , 1 1 nn SS = ； 数列 n S 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列， ( ) 11 1 n Snn = + = ， 2 n Sn = 当 2 n ， ( ) 2 2 1 121 nnn bSSnnn = ； 21 n bn = ( * nN )； （2） 1 223341 1111 n nn T bbb bb bb b + =+ ? ( ) 1111 1 33 55 7(21)21 nn =+ + 111 111 11111 1 232 352 572 2121 nn =+ + 11 1 22121 n nn = + ； 由 1000 212009 n n T n = + 得 1000 9 n ，满足 1000 2009 n T 的最小正整数为 112. 2. 解析解析：（）当 1 , 1 1 1 + = = = k S a n ， 1 2 ) 1 ( ) 1 ( , 2 2 2 1 + = + + = = k kn n n k n kn S S a n n n n （） 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第五周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 17 / 29 经验， , 1 = n （）式成立， 1 2 + = k kn a n （） m m m a a a 4 2 , , 成等比数列， m m m a a a 4 2