天津第一中学数学三角资料文pdf

高三数学(文) 第二学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 10 第二学期 第六周第二学期 第六周 课程内容 三角函数专题 2014-2015 学年 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 2 / 10 本阶段知识要点： 掌握三角函数的相关知识定义、三角函数公式、三角函数性质与 图像等，解决三角函数相关问题 本章知识结构本章知识结构： ： 重点知识回顾重点知识回顾 1、终边相同的角的表示方法：凡是与终边相同的角，都可以表示成 k360 0 +的形 式，特例，终边在 x 轴上的角集合|=k180 0 ，kZ，终边在 y 轴上的角集合| =k180 0 +90 0 ，kZ，终边在坐标轴上的角的集合|=k90 0 ，kZ。在已知三角函数 值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算； 角度制与弧度制的互化： 弧度 ? 180 = ， 180 1 = ? 弧度，1弧度 ? ) 180 ( = 18 57 ? 弧长公式： R l = ；扇形面积公式： Rl R S 2 1 2 1 2 = = 。 2、任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三 角函数的关系式、诱导公式： 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 10 （1）三角函数定义：角 中边上任意一点P 为 ) , ( y x ，设 r OP = | | 则： , cos , sin r x r y = = x y = tan （2）三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦； （3）同角三角函数的基本关系： x x x x x tan cos sin 1 cos sin 2 2 = = + （4）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限 ）: 3、两角和与差的三角函数 （1）和（差）角公式 sin cos cos sin ) sin( = sin sin cos cos ) cos( = tan tan 1 tan tan ) tan( = （2）二倍角公式 二倍角公式： cos sin 2 2 sin = ； 2 2 2 2 sin 2 1 1 cos 2 sin cos 2 cos = = = ； 2 tan 1 tan 2 2 tan = （3）经常使用的公式 升（降）幂公式： 2 1cos2 sin 2 = 、 2 1cos2 cos 2 + = 、 1 sincossin2 2 = ； 辅助角公式： 22 sincossin() abab +=+ （ 由 , a b具体的值确定）； 正切公式的变形：tantantan()(1tantan) +=+ . 4、三角函数的图象与性质 （一）列表综合三个三角函数 sin yx = ， cos yx = ， tan yx = 的图象与性质，并挖 掘： 最值的情况； 了解周期函数和最小正周期的意义会求 sin() yAx =+ 的周期，或者经过简单 的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，了解加了绝对值后的周期情况 ； 会从图象归纳对称轴和对称中心； sin yx = 的对称轴是 2 xk =+ () kZ ，对称中心是(,0) k () kZ ； cos yx = 的对称轴是xk = () kZ ，对称中心是(,0) 2 k + () kZ tan yx = 的对称中心是(,0)() 2 k kZ 注意加了绝对值后的情况变化. （二）了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和 函数 sin() yAx =+ 的简图，并能由图象写出解析式 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 10 “五点法”作图的列表方式； 求解析式 sin() yAx =+ 时 的确定方法：代（最高、低）点法、公式 1 x = . （三）正弦型函数 sin() yAx =+ 的图象变换方法如下： 先平移后伸缩先平移后伸缩 sin yx = 的图象 0)或向右(0) 平移 个单位长度 得 sin() yx =+ 的图象 () 横坐标伸长(0 纵坐标伸长(1)或缩短(0 纵坐标伸长 或缩短 为原来的 倍(横坐标不变) 得 sin yAx = 的图象 (01)(1) 1 ( ) 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 10 考点一：三角函数的概念考点一：三角函数的概念 【内容解读】三角函数的概念包括任意角的概念和弧度制，任意三角函数（正弦、余 弦、正切）的定义，能进行弧度与角度的互化，会由角的终边所经过点的坐标求该角的三 角函数值。在学习中要正确区分象限角及它们的表示方法，终边相同角的表示方法，由三 角函数的定义，确定终边在各个象限的三角函数的符号。在弧度制下，计算扇形的面积和 弧长比在角度制下计算更为方便、简洁。 【命题规律】在高考中，主要考查象限角，终边相同的角，三角函数的定义，一般以 选择题和填空题为主。 例 1例 1、若角 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2 的值为 . 解解： 2 22tan4 tan2,tan2. 11tan3 = = 点评点评：一个角的终边经过某一点，在平面直角坐标系中画出图形，用三角函数的定义来求 解，或者不画图形直接套用公式求解都可以。 考点二：同角三角函数的关系考点二：同角三角函数的关系 【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，用同角三角函数定义反复证明 强化记忆，在解题时要注意 22 sincos1 += ，这是一个隐含条件，在解题时要经常能 想到它。利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是否需要分类讨论。 【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标 系分类讨论是关键。 例、例、若cos2sin5, += 则tan =( ) （A） 2 1 （B）2 （C） 2 1 （D） 2 解解：由cos2sin5 += 可得：由cos52sin = ， 又由 22 sincos1 += ，可得： 2 sin （ 52sin ） 2 1 可得 sin 5 5 2 ，cos52sin = 5 5 ， 所以，tan cos sin 2。 点评点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件： 22 sincos1 += ， 与它联系成方程组，解方程组来求解。 例 3例 3、 是第四象限角， 5 tan 12 = ，则sin =（ ） A 1 5 B 1 5 C 5 13 D 5 13 解解：由 5 tan 12 = ，所以，有 = + = 1 cos sin 12 5 cos sin 2 2 ， 是第四象限角， 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 10 解得：sin = 5 13 点评点评：由正切值求正弦值或余弦值，用到同角三角函数公式： cos sin tan = ，同样要能 想到隐含条件： 22 sincos1 += 。 考点三： 诱导公式考点三： 诱导公式 【内容解读】诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符 号看象限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin与 cos对偶，“奇”、“偶” 是对诱导公式中 2 k +的整数 k 来讲的，象限指 2 k +中，将看作锐角时， 2 k + 所在象限，如将 cos( 2 3 +)写成 cos（ 2 3 +），因为 3 是奇数，则“cos”变为对偶 函数符号“sin”，又 2 3 +看作第四象限角，cos( 2 3 +)为“+”，所以有 cos( 2 3 +)=sin 。 【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角函数 值，也有些大题用到诱导公式。 例 4、例 4、sin330等于（ ） A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 解解：sin330sin(36030 ) = ? 1 sin30 2 = ? 点评点评：本题是对诱导公式和特殊角三角函数值的考查，熟练掌握诱导公式即可。 答案： 7 25 例 5、例 5、若 = = + 2 cos , 5 3 ) 2 sin( 则 . 解：由 3 sin() 25 += 可知， 3 cos 5 = ；而 22 37 cos22cos12 ( )1 525 = = = 。 点评点评：本小题主要考查诱导公式及二倍角公式的应用，难度不算大，属基础题，熟练掌握 公式就能求解。 考点四：三角函数的图象和性质考点四：三角函数的图象和性质 【内容解读】理解正、余弦函数在0，2，正切函数在（- 2 ， 2 ）的性质，如单调性、 最大值与最小值、周期性，图象与 x 轴的交点，会用五点法画函数函数 sin() yAxx =+R ， 的图象，并理解它的性质：的图象，并理解它的性质： （）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为 其函数的半个周期； （）函数图象与 x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个 周期； 高三数学(文) 第二学期 新课预习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 10 （）函数取最值的点与相邻的与 x 轴的交点间的距离为其函数的 1 4 个周期。 注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移。 【命题规律】主要考查三角函数的周期性、单调性、有界性、图象的平移等 ，以选择题、 解答题为主，难度以容易题、中档题为主。 例 6、例 6、设 5 sin 7 a = ， 2 cos 7 b = ， 2 tan 7 c = ，则（ ） Aabc Bacb Cbca Dbac 解： 2 sin 7 a = ，因为 2 472 ，所以 22 0cossin1tan 777 2 ，选 D 点评点评：掌握正弦函数与余弦函数在0， 4 ， 4 ， 2 的大小的比较，画出它们的 图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：0,1，也要掌握。 例 7例 7、函数函数 lncos 22 yxx = 的图象是（ ） 解 的图象是（ ） 解： lncos () 22 yxx =cot 2 （B）tan 2 cos 2 （D）cos 2 sin 2 2.设角是第二象限的角，且 2 cos 2 cos = ，试问 2 是第 象限的角 3角的终边上有一点 P(a, a)，aR,且 a0, 则 sin的值是（ ）。 （A） 2 2 （B） 2 2 （C） 2 2 或 2 2 （D）1 4.若tan()3 4 = ，则cot 等于（ ） A 2 B 1 2 C 1 2 D2 5. 若 1 cos() 5 += ， 3 cos() 5 = ，则 = tan tan _ 6若 sinx 5 m 3 m + ，cosx 5 m m 2 4 + , 则 m 的值是（ ）。 （A）0 （B）8 （C）0 或 8 （D）3m + = w R x wx x f 的最小正周期为 ，将 ) (x f y = 的图像 向左平移 | | 个单位长度，所得图像关于 y 轴对称，则 的一个值是（ ） 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 22 A 2 B 8 3 C 4 D 8 11. 已知函数 ) )( 2 sin( ) ( R x x x f = ，下面结论错误 的是 A. 函数 ) (x f 的最小正周期为 2 B. 函数 ) (x f 在区间0， 2 上是增函数 C.函数 ) (x f 的图象关于直线x0 对称 D. 函数 ) (x f 是奇函数 12. 已知tan2 = ，则 22 sinsincos2cos += （A） 4 3 （B） 5 4 （C） 3 4 （D） 4 5 13. o 585 sin 的值为 (A) 2 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 3 2 14. 已知 tana=4,cot = 1 3 ,则 tan(a+ )= (A) 7 11 (B) 7 11 (C) 7 13 (D) 7 13 15. 如果函数 3cos(2) yx =+ 的图像关于点 4 (,0) 3 中心对称，那么 的最小值为 (A) 6 (B) 4 (C) 3 (D) 2 16. 若tan2 = ,则 2sin cos sin2cos + 的值为 （A）0 (B) 3 4 (C)1 (D) 5 4 17. “sin = 2 1 ”是“ 2 1 2 cos = ” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 18. 函数 x x x y sin cos + = 的图象大致为 19. 有四个关于三角函数的命题： 1 p ：xR, 2 sin 2 x + 2 cos 2 x = 1 2 2 p : , x yR , sin()sinsin xyxy = 3 p : x 0, , 1 cos2 sin 2 x x = 4 p : sincos 2 xyxy =+= 其中假命题的是 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 22 （A） 1 p ， 4 p （B） 2 p ， 4 p （C） 1 p ， 3 p （D） 2 p ， 3 p 20. 若函数 ( )( ) sin0= yx =+ 的部分图像如图，则 （ ） A5 B4 C3 D2 二、填空题 1. 若 4 sin,tan0 5 = ，则cos = . 2. 函数 sin() yAx =+ （ , A 为常数， 0,0 A ）在闭区间,0 上的图象如 图所示，则 = . 3. 在锐角 ABC 中， 1,2 , BCBA = 则 cos AC A 的值等于 ， AC 的 取值范围为 . 4. 已知函数 ( )2sin() f xx =+ 的图像如图所示，则 7 12 f = 。 5. 函数 2 ( )2cossin2 f xxx =+ 的最小值是 。 6. 已知函数 ( )sintan f xxx =+ 。项数为 27 的等差数列 n a 满足 , 22 n a 且公差 0 d ,若 1227 ()().()0 f af af a += ，则当 k= 时， ()0. k f a = 。 6. 已知函数 ( )sin()(0) f xx =+ 的图象如图所示，则 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 22 解答题 1.已知向量 ) 2 , (sin = a 与 ) cos , 1 ( = b 互相垂直，其中 ) 2 , 0 ( （1）求 sin 和 cos 的值 （2）若 cos 5 3 ) cos( 5 = ， 0 2 ,求 cos 的值 2. 已知函数 (1) 求 2 () 3 f 的值; (2) 求使 1 ( ) 4 f x 成立的 x 的取值集合 3.已知函数 ( )2sin()cos f xxx = . （）求 ( ) f x 的最小正周期； （）求 ( ) f x 在区间 , 6 2 上的最大值和最小值. 4. 设向量 (4cos,sin),(sin,4cos),(cos, 4sin) abc = ? （1）若a ? 与 2 bc ? 垂直，求tan() + 的值； （2）求| bc + ? 的最大值; （3）若tantan16 = ，求证：a ? b ? . 5. 设函数 f(x)=2 ) 0 ( sin sin cos 2 cos sin 2 + x x x 在 = x 处取最小值. (1) 求 .的值; (2) 在ABC 中, c b a , , 分别是角 A,B,C 的对边,已知 , 2 , 1 = = b a 2 3 ) ( = A f ,求角 C. 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 22 6. 已知函数 ( )2cos, 12 f xxxR = . (1) 求 3 f 的值; (2) 若 33 cos,2 52 = ,求 6 f . 7. 已知向量 1 (cos ,),( 3sin ,cos2 ), 2 xxx x = ab R, 设函数 ( ) f x = a b. () 求 f (x)的最小正周期. () 求 f (x) 在 0, 2 上的最大值和最小值. 8. 在 ABC 中， , A B C所对的边分别为 , , a b c， 6 A = ，(13)2 cb += （1）求C ； （2）若 13 CB CA = + ? ? ? ? ，求a,b ，c 9.在 ABC 中， A C AC BC sin 2 sin , 3 , 5 = = = （）求 AB 的值。 （）求 ) 4 2 sin( A 的值。 10. 在 ABC 中，AB 、 为锐角，角ABC 、 、 所对的边分别为abc 、 、 ，且 510 sin,sin 510 AB = （I）求AB + 的值； （II）若 21 ab = ，求abc 、 、 的值。 11. 已知向量 (sin ,cos2sin ),(1,2). ab = ? （）若 / / ab ? ，求tan 的值； （）若| |,0, ab = ，而 D 不符合 要求，它的振幅大于 1，但周期反而大于了2 4. 【答案】【答案】A 【解析】【解析】本题主要考查本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属 于基础知识、基本运算的考查. 当 6 = 时， 1 cos2cos 3 2 = ， 反之，当 1 cos2 2 = 时，有 ( ) 22 36 kkkZ =+=+ ， 或 ( ) 22 36 kkkZ = ，故应选 A. 5. 【答案】A 【解析】:将函数 sin2 yx = 的图象向左平移 4 个单位,得到函数 sin2() 4 yx =+ 即 sin(2)cos2 2 yxx =+= 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 2 1 cos22cos yxx = += ,故选 A. 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 6. 【答案】D D 【解析】本题考查同角三角函数关系应用能力，先由 cotA= 12 5 知 A 为钝角，cosA ，故 4 p 假命题， 选.A。 20.【答案】B 二、填空题 1.【答案】【答案】 3 5 【解析】【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算. 属于基础知识、基本运算的考查. 由已知， 在第三象限， 2 2 43 cos1 sin1 55 = = = ，应填 3 5 . 2.【解析】 考查三角函数的周期知识。 3 2 T = ， 2 3 T = ，所以 3 = ， 3. 2 ，( 2, 3) . 【解析】设 ,2 . AB = 由正弦定理得 ,12. sin2sin2coscos ACBCACAC = = 由锐角 ABC 得 0290045 ? ， 又01803903060 ? ，故 23 3045cos 22 ? ， 2cos ( 2, 3). AC = 4. 【答案】0 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 15 / 22 【解析】由图象知最小正周期 T 3 2 （ 4 4 5 ） 3 2 2 ，故 3，又 x 4 时， f（x）0，即 2 + 4 3 sin( ）0，可得 4 = ，所以， 7 12 f = 2 ) 4 12 7 3 sin( + 0。 5. 【答案】12 【解析】 ( )cos2sin212sin(2)1 4 f xxxx =+ =+ ，所以最小值为：12 6. 【答案】14 【解析】函数 x x x f tan sin ) ( + = 在 () 2 2 ， 是增函数，显然又为奇函数，函数图象关 于原点对称，因为 14 26 2 27 1 2a a a a a = = + = + ， 所以 12722614 ()()()()()0 f af af af af a +=+= = ，所以当 14 k = 时， 0 ) ( = k a f . 7. 【答案】 2 3 【解析】由图象可得最小正周期为 4 3 T 2 4 3 2 3 链接高考题答案：链接高考题答案： 1. 【解析】（） b a , 0 cos 2 sin = = b a ,即sin2cos = 又 2 sincos1 += , 22 4coscos1 += ,即 2 1 cos 5 = , 2 4 sin 5 = 又 2 5 (0,)sin 25 = , 5 cos 5 = (2) 5cos()5(coscossinsin ) =+ 5cos2 5sin =+ 3 5cos = cossin = , 222 cossin1 cos = ,即 2 1 cos 2 = 又 0 2 , 2 cos 2 = 2. 【解析】(1) 4 1 ) 2 1 2 cos 2 3 2 (sin 2 1 ) 3 sin sin 3 cos (cos cos ) ( + + = + = x x x x x x f 4 1 ) 3 2 ( . 4 1 4 1 2 3 sin 2 1 ) 3 2 ( 4 1 ) 6 2 sin( 2 1 = = + = + + = f f x 所以 . (2)由(1)知, ) 2 , 2 ( ) 6 2 ( 0 ) 6 2 sin( 4 1 4 1 ) 6 2 sin( 2 1 ) ( f k k x x x x + + + + = . ), 12 , 12 7 ( . ), 12 , 12 7 ( Z k k k Z k k k x 所以不等式的解集是： 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 16 / 22 3.【解析】【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区 间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力 （） ( ) ( ) 2sincos2sincossin2 fxxxxxx = ， 函数 ( ) f x 的最小正周期为 . （）由 2 623 xx ， 3 sin21 2 x ， ( ) f x 在区间 , 6 2 上的最大值为 1，最小值为 3 2 . 4. 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍 角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。 5【解析】（1） 1cos ( )2sincos sinsin 2 f xxxx + =+ sinsincoscos sinsin xxxx =+ sincoscos sin xx =+ sin() x =+ 因为函数 f(x)在 = x 处取最小值，所以sin()1 += ,由诱导公式知sin1 = ,因为 0 ,所以 4 = B 或 4 3 = B . 当 4 = B 时, 7 6412 C = ;当 4 3 = B 时, 3 6412 C = . 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数 的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 6. (1) 2cos2cos1 33124 f = (2) 33 cos,2 52 = , 2 4 sin1cos 5 = = , 高三数学(文) 第二学期 巩固练习 第六周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 17 / 22 1 = 2cos2 coscossinsin 64445 f =+= . 7. () ( ) f x = a b= ) 6 2 sin( 2 cos 2 1 2 sin 2 3 2 cos 2 1 sin 3 cos = = x x x x x x . 最小正周期 = = 2 2 T . 所以 ), 6 2 sin( ) ( = x x f 最小正周期为 . () 上的图像知， 在 ，由标准函数 时， 当 6 5 , 6 sin 6 5 , 6 ) 6 2 ( 2 , 0 x y x x = . 1 , 2 1 ) 2 ( ), 6 ( ) 6 2 sin( ) ( = = f f x x f . 所以,f (x) 在 0, 2 上的最大值和最小值分别为 2 1 , 1 . 8. 【解析】（1）由(13)2 cb += 得 13sin 22sin bB cC =+= 则有 55 sin()sincoscossin 666 sinsin CCC C