天津第一中学数学函数3资料理pdf

高三数学(理) 第一学期 新课预习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 1 / 1313 第一学期 第八周第一学期 第八周 课程内容 第一章 集合与函数概念-二次函数与方程、不等式函数的图像 2014-2015 学年 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 3 / 1313 本阶段知识要点：二次函数与方程、不等式；函数的图象 （一）二次函数与方程、不等式 1二次函数的基本知识 （一）二次函数与方程、不等式 1二次函数的基本知识 （1）二次函数的解析式的三种形式： 一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)； 顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a0)； 双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). 求二次函数解析式的方法：待定系数法，根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或 双根式中的一种来求. 利用已知条件求二次函数解析式.常用的方法是待定系数法，但可根据相同的条件选用适当 形式 f(x). 已知三个点坐标时，宜用一般式； 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式； 若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用双根式求 f(x)更方便. （2）二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为 x= a b 2 ，顶点 坐标是). 4 4 , 2 ( 2 a bac a b 当 a0 时，抛物线开口向上，函数在 2 ,( a b 上递减，在), 2 + a b 上递增，当 x=; 4 4 f(x), 2 2 min a bac a b =时 当 a0 时，图象与 x 轴有两个交点 M1(x1, 0)、M2(x2, 0)，|M1M2|=|x1-x2|= | a 2实系数二次方程 ax2实系数二次方程 ax2 2+bx+c=0(a0)的实根的符号与二次方程系数之间的关系，有如下 结论： +bx+c=0(a0)的实根的符号与二次方程系数之间的关系，有如下 结论： （1）方程有两个不等正根 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 4 / 1313 = =+ = ; 0 0 04 21 21 2 a c xx a b xx acb （2）方程有两个不等负根 = = ; 0 0 04 21 21 2 a c xx a b xx acb （3）方程有一正根一负根 ac0，因为 ac0. 3已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求参数的范 围.这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图象. 3已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求参数的范 围.这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图象. 例如函数 f(x)=ax2+4(a+1)x-3 在2, +)上递减，则 a 的取值范围是_. 解析 f(x)的对称轴为)0( ) 1(2 + =a a a x， 且 f(x)在2, +)上递减， . 2 1 -a 2 2 ) 1(2 0 + 0）的两实根，下面列出几种常见 根的分布情况. +bx+c=0（a0）的两实根，下面列出几种常见 根的分布情况. 根的分布 图象 充要条件 x1x2 k a b kf 2 0)( 0 k k a b kf 2 0)( 0 x1kx2 f(k)0 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 5 / 1313 x1、x2（k1, k2） 21 2 1 2 0)( 0)( 0 k a b k kf kf 5二次函数在闭区间上的最值 5二次函数在闭区间上的最值 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)在区间m, n上的最值问题.一般情况下，需要分 n a b n a b mm a b 0)在区间m, n上的最值问题，有以下结论： （1）若 km, n，则 ymin=f(k)=h，ymax=maxf(m), f(n)； （2）若 km, n，则 ymin=minf(m), f(n), ymax= maxf(m), f(n)， （a0，即 x2-20 x+490，所以 10-51x0)的图象，可由 y=f(x)的图象向上（+）或向下（-）平移 b 个单位而得到. 2对称变换 2对称变换 （1）y=f(-x)与 y=f(x)关于 y 轴对称； （2）y=-f(x)与 y=f(x)关于 x 轴对称； （3）y=-f(-x)与 y=f(x)关于原点对称； （4）y=f-1(x)与 y=f(x)关于直线 y=x 对称； （5）y=|f(x)|的图象可将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上 方，其余部分不变. （6）y=f(|x|)的图象：可将 y=f(x)，x0 的部分作出，再利用偶函数的图象关于 y 轴的对 称性，作出 x0)的图象，可将 y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的 A 倍，横坐标 不变而得到. （2）y=f(ax)(a0)的图象，可将 y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 a 1 倍，纵坐标 不变而得到. 4简单复合函数图象的画法： 4简单复合函数图象的画法： 直接画当函数表示式是熟悉的函数（如一次函数，二次函数，反比例函数，基本初 等函数）或解析几何中熟悉的曲线（如圆，椭圆，双曲线，抛物线的一部分），就可以直 接画. 利用图象变换若函数的图象可由某个熟悉函数的图象经过平移、翻折、对称得到 时，可用此法. 描点法当上两种方法都失效时，那就只好用描点法，不过描点之前，最好先讨论函 数图象的对称性、范围、截距等以求对函数图象有大致的了解，在这个基础上，再适当地 描几个点即可画出比较精确的图象. 5高考常见的两类题型 5高考常见的两类题型 （1）已知解析式，判断其对应的图象； （2）已知图象，求其解析式. 例如函数 y=tan) 3 1 2 1 (x在一个周期内的图象是（ ） 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 7 / 1313 解当 x= 3 1 时，y=tan( 6 )0，排除 C、D；当 x= 6 时，y=tan( 4 1 )有确定值， 排除 B，选 A. 6函数图象的应用 6函数图象的应用 （1）判断方程解的个数. （2）解不等式. （3）求参数的范围. 例如求方程0|2sin|1 2 =xx的解的个数. 解由原方程得 2 1x=|sin2x|.作出函数 y= 2 1x与 y=|sin2x|的图象.如图，有两个交 点，故原方程有 2 个解. （一）二次函数与方程、不等式 考题 1 （一）二次函数与方程、不等式 考题 1已知：二次函数 f(x)满足 f(2)= -1，f(-1)= -1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二 次函数. 解法 1利用二次函数一般式. 设 f(x)=ax2+bx+c (a0), 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 8 / 1313 = = = = =+ =+ 7c 4b -4a 8 4 b-4ac -1cb-a -1c2ba4 2 解之得由题意得 a 所求二次函数为 y= -4x2+4x+7. 解法 2利用二次函数顶点式. 设 f(x)=a(x-m)2+n. f(2)=f(-1), . 1 8) 2 1 2(, 1)2( . 8 ) 2 1 -a(xf(x)y 8,n, 2 1 . 2 1 2 (-1)2 x 2 2 =+= += = = + = af m Q 值为又根据题意函数有最大 抛物线对称轴为 解之得 a=-4. f(x)= -4(x- 2 1 )2+8= -4x2+4x+7. 解法 3利用双根式. 由已知，f(x)+1=0 的两根为 x1=2，x2= -1， 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值 ymax=8. , 8 4 a-1)-4a(-2a 2 = a 即 解之得 a= -4 或 a=0(舍)， 所求函数解析式为 f(x)= -4(x- 2 1 )2+8= -4x2+4x+7. 考题 2考题 2方程 x2-2ax+4=0 的两根均大于 1，求实数 a 的取值范围. 解法 1运用韦达定理 设 x1，x2为方程 x2-2ax+4=0 的两根，则有 x1+x2=2a，x1x2=4 要使原方程 x2-2ax+4=0 的两根 x1、x2均大于 1，则需满足 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 9 / 1313 + 0 0) 1)(1( 0) 1() 1( 21 21 xx xx 将代入上述不等式时，解之得. 2 5 a2即可 解之得. 2 5 a20， 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1010 / 1313 , 1 2 3 -, 2 3 2 3 - 1m3- -1m3m , 2 3 2 2 1-m -0 0 , 0(2) = mm m m f 或 或 或 或 m(-, -1. 点评有关根的分布问题可有四种方法选择：如考题 2中的韦达定理，求根公式；还 有此题中利用图象列出充要条件；分离系数利用函数求值域。 考题 5考题 5（学科内综合）已知 f(x)=x2+ax+3-a，若 x-2,2时，f(x)0 恒成立，求 a 的取 值范围. 解设 f(x)的最小值为 g(a)，则只需 g(a)0 . 2 7, . 4 7-4,a, 7a, 0a7f(2)g(a),-4a, 2 2 )3( ; 24- , 44-, 26-, 0 4 a -a-3g(a),44, 2, 2 2 a -(2) ;a4,a, 3 7 a0,3a-7f(-2)g(a),4a, 2 2 a -) 1 ( 2 = a a a a aaa 得综上 故又得时即当 故 又得时即当 不存在故此时又得时即当 考题 6考题 6（学科间综合）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用下左图的一条折线表示，西红柿的种植成 本与上市时间的关系用下右图的抛物线段表示. （1）写出上左图表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t)； 写出上右图表示的种植成本与时间的函数关系式 Q=g(t)； （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天） 解（1）由上左图可得市场售价与时间的函数关系为 = ;300200,3002 ,2000,300 )( tt tt tf 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1111 / 1313 由上右图可得种植成本与时间的函数关系为 .3000,100)150( 2 1 )( 2 +=tttg （2）设 t 时刻的纯收益为 h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)-g(t)， + + = .300200, 2 1025 2 7 200 1 ,2000, 2 175 2 1 200 1 - h(t) 2 2 ttt ttt 即 当 0t200 时，配方整理得 h(t)= 200 1 (t-50)2+100, 所以，当 t=50 时，h(t)取得区间0, 200上的最大值 100； 当 20087.5 可知，h(t)在区间0，300上可以最大值 100，此时 t=50，即从 二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大. （二）函数的图象 考题 1 （二）函数的图象 考题 1设函数 y=f(x)定义在实数集上，则函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象关于（ ） A直线 y=0 对称 B直线 x=0 对称 C直线 y=1 对称 D直线 x=1 对称 解函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称.y=f(1-x)=f-(x-1).把 y=f(x)与 y=f(-x) 的图象同时都向右平移一个单位，就得到 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象，对称轴 y 轴向右平 移一个单位得直线 x=1，故选 D. 考题 2 考题 2分别画出下列函数的图象： （1）y=|lgx|；（2）y=2x+2；（3）y=x2-2|x|-1. = 1)x(0lgx- 1)(xlgx y) 1(解 （2）将 y=2x的图象向左平移 2 个单位. 0 时，y2；当 x0 时，y-2；当 x(0, 1)时函数为减函数，且急剧递减；当 x1, +)时函数为增函数， 且缓慢递增，又 x0，y0，图象与坐标轴无交点，且 y 轴是渐近线，作出第一象限函 数的图象，再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如上图所示. 考题 5考题 5如图，函数的图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式. 解依图，设左侧的射线对应的解析式为 y=kx+b(x1)， 因为点(1, 1)、(0, 2)在此射线上， = =+ 2.b 1,bk 所以 解得 k=-1, b=2， 所以左侧射线对应的函数的解析式 y=-x+2(x1). 同理，x3 时，函数的解析式为 y=x-2(x3). 高三数学(理) 第一学期 新课预习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1313 / 1313 再设抛物线对应的二次函数的解析式为 y=a(x-2)2+2(1x3, a0），则 因为点（1，1）在抛物线上， 所以 a+2=1，所以 a= -1. 所以抛物线对应的函数的解析式为 y= -x2+4x-2(1x3). 综上所述，函数的解析式为 + + = ).3(2 ),31 (24 ),1(2 2 xx xxx xx y 点评写结论时，区间的端点一般放在区间的左端，不要重复. 考题 6考题 6（学科内综合）若关于 x 的方程12 +x=x+m 有两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围. 解析画出 y=12 +x和 y=x+m 的图象，当直线 y=x+m 过点（- 2 1 , 0）即 m= 2 1 时，两图象有两个交点. 得又由 += += mxy ,12xy x2+(2m-2)x+m2-1=0. 令=0，得 m=1，所以当 2 1 m1 时，两图形有两个交点，方程有两个不等实根. 点评本题应用图象法求解，比较直观、运算量小，用图象法解题时，图象间的交点 坐标应通过方程组求解.用图象法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情 形. 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 13 （一）二次函数与方程、不等式 1求下列函数的值域： 112 2 1 ) 1 ( 2 +=xxyx4 1 4 1 3)2( 2 +=xxyx 2 1 2已知函数 y=f(x)=x2+ax+3 在区间 x-1,1时的最小值为-3，求实数 a 的值 3若函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-, 4上是减函数，那么实数 a 的取值范围是 （ ） Aa3 Ba-3 Ca5 Da-3 4关于 x 的方程 2kx2-2x-3k-2=0 的两实根一个小于 1，另一个大于 1，则实数 k 的取值 范围是_. 5不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40 对一切 xR 恒成立，则 a 的取值范围是_ _. 6已知二次函数 f(x)同时满足条件： （1）f(1+x)=f(1-x)； （2）f(x)的最大值为 15； （3）f(x)=0 的两根立方和等于 17. 求 f(x)的解析式. （二）函数的图象 7对函数baxxxf+= 2 3)(作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 ( ) Attg 2 1 log)(= B t tg) 2 1 ()(= Cg(t)=(t1)2 Dg(t)=cost 8方程f(x,y)=0 的曲线如图所示，那么方程f(2x,y)=0 的曲线是 ( ) 9已知命题 p：函数)2(log 2 5 . 0 axxy+=的值域为 R，命题 q：函数 x ay)25( = 是减函数。若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，则实数a的取值范围是 Aa1 Ba2 C1a2 Da1 或a2 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 13 10若 0a 2 1 1 2 16设f（x）是定义在 R R 上的增函数，f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求解不等 式f（x）f（x2）1 17 已知 f(x+199)=4x 2 4x+3(xR)，那么函数 f(x)的最小值为_ 1已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数 m 的取值区间是（ ） A(0, 1 B(0, 1) C(-, 1) D（-, 1 2.关于 x 的方程 sin 2xcosxa0 有实根，则实数 a 的取值范围是_。 3. 建造一个容积为 8m 3 ，深为 2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米 分别为 120 元和 80 元，则水池的最低造价为_。 4已知函数( )f x满足：()( )( )f abf af b+=，(1)2f=，则 2222 (1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8) (1)(3)(5)(7) ffffffff ffff + += 。 5已知, ,a b c为正整数，方程 2 0axbxc+=的两实根为 1212 ,()x x xx，且 12 | 1,| 1xx0，S130 。 .求公差 d 的取值范围； .指出 S1、S2、S12中哪一个值最大，并说明理由。 1函数 lncos 22 yxx = 。 若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，故 p 和 q 中只有一个是真命题，一个是假命题。 若 p 为真，q 为假时，无解；若 p 为假，q 为真时，结果为 1 =+ = =，从而5a ，所以 2 420bac，又5 16b ，所以5b , 又5acb+,所以 6ac+,所以11abc+,综上可得:abc+的最小值为 11。 6f(x)= -(x+4)2+1 7解：由题意，1+2x+4xa0 xx x x a) 4 1 () 2 1 ( 4 12 = + 这个函数在（-，1）上为，极大值为 4 3 a 4 3 本题特别体现了函数中的辩证思想和独立参数的解题策略。 8根 x 的取值范围是.18 4 9 x 9a 的取值范围是-3a1. 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 13 10证 设 P(x0, y0)是 y=f(x)图象上任意一点，则 y0=f(x0)，又 P 点关于 x=m 的对称点为 P，则 P的坐标为(2m-x0,y0)，由已知 f(x+m)=f(m-x)，得 f(2m-x0)=fm+(m-x0)=fm- (m-x0)=f(x0)=y0，即 P(2m-x0, y0)在 y=f(x)的图象上，y=f(x)的图象关于直线 x=m 对 称. 11解：（I） 22 ( )8(4)16.f xxxx= += +/1/分 当14,t + 即3t 时，( )f x在,1t t +上单调递减， 2 ( )( )8 .h tf ttt= +/4/分 综上， 2 2 67,3, ( )16,34, 8 ,4 ttt h tt ttt + 12分析：欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(-x)=-f(x)成立在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求 f(0)的值令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明 (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0 令 y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 成立，所以 f(x)是奇函数 (2)解：f(3)=log230，即 f(3)f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是增函 数，又由(1)f(x)是奇函数 f(k3 x )-f(3 x -9 x -2)=f(-3 x +9 x +2)， k3 x -3 x +9 x +2， 3 2x -(1+k)3 x +20 对任意 xR 成立 令 t=3 x 0，问题等价于 t 2 -(1+k)t+20 对任意 t0 恒成立 说明：说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在 xR 上是增函数，把问题 转化成二次函数 f(t)=t 2 -(1+k)t+2 对于任意 t0 恒成立对二次函数 f(t)进行研究求 解本题还有更简捷的解法： 高三数学(理) 第一学期 巩固练习 第八周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 13 上述解法是将 k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖 13分析: :这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函 数，把 f(x)分解为 u=ax 2 +2x+1 和 y=lgu 并结合其图象性质求解 当 a0 时不合题意； a=0 时，u=2x+1，u 能取遍一切正实数； a0 时，其判别式=22-4a10，解得 0a1 所以当 0a1 时 f(x)的值域是 R R 14分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而，若变换 一个角度以 m 为变量，即关于 m 的一次不等式(x 21)m(2x1)0 在-2,2上恒成立 的问题。对此的研究，设 f(m)(x 21)m(2x1)，则问题转化为求一次函数（或常数 函数）f(m)的值在-2,2内恒为负值时参数 x 应该满足的条件 f f ( ) () 20 20 。 解：问题可变成关于 m 的一次不等式：(x 21)m(2x1)0 在-2,2 恒成立，设 f(m) (x 21)m(2x1), 则 fxx fxx ( )()() ()()() 221210 221210 2 2 =m(x 21)在-2,2上恒成立时求 m 的范围。 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关 系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函 数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。 15分析： 问利用公