第9章常微分方程

1,第九章常微分方程,9.1微分方程的基本概念,9.2可分离变量的微分方程,9.3一阶线性微分方程,2,利用函数关系可以对客观事物作定量分析.,但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观,含有未知函数的导数或微分的关系式,关系式称为,对它进行研究确定出未知,实际上就解决了最,不能直接找出所需要的函数关系,只能列出,把这样的,牛顿和莱布尼茨,求解问题.,微分方程.,规律,函数的过程就是,确定的微积分运算的互逆性,简单的微分方程,解微分方程.,3,解,例几何问题,平面上一条曲线,任意一点切线的斜率等于,这点的纵坐标,求这曲线的方程.,9.1微分方程的基本概念,设所求曲线为,可以验证,满足这个方程,其中C为任意常数.,4,解,设所求函数为,例自由落体运动一个物体在没有空气阻力的情况下,从某一高处放手下落时的速度与下落时间成正比,求该物体下落距离与时间的函数关系.,则有,其中k为常数，,进一步有,5,如,含有未知函数的导数(或微分)的方程称为,未知函数是一元函数的方程为,方程中所出现的导数的最高阶数称为,微分方程.,常微分方程;,未知函数是多元函数的方程为,偏微分方程.,微分方程的阶.,一阶,一阶,二阶,一阶,一般的n阶微分方程为,或已解出最高阶导数,定义9.1,6,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为,微分方程的解.,微分方程的解的分类,(1)通解,微分方程的解中含有任意常数,且任意,常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解,确定了通解中任意常数以后的解.,如方程,通解,通解,特解,特解,7,初始条件,用来确定任意常数的附加条件.,如前例,一阶方程,二阶方程,的初始条件表示为,的初始条件表示为,即为初始条件，,8,对于方程：,(或),左右两端同时求不定积分，得到通解：,对于,不易求积分，,两端同时求积分，,则,启示：如果方程可以化为两端只含一个变量的形式，则可以两端分别积分求解方程.,9.2可分离变量的微分方程,引例：,9,如果一阶微分方程可以写为：,特点：方程的一端只含有变量y，一端只含有变量x,方程称为可分离变量的方程。,可分离变量的微分方程,10,如果函数g(y)和f(x)都连续，则可以左右两端同时求不定积分.,其中，G(y)、F(x)是g(y)、f(x)的原函数,C为常数。,分离变量法,得到：,称为微分方程的隐式通解.,可分离变量的微分方程的解法:,11,解,通解为,例,12,例求微分方程,的特解.,解：,分离变量，得,两边积分，得,即,方程的通解,13,把,代入通解，,整理后得到特解:,方程的通解:,得到,例求微分方程,的特解.,14,分析,有两种方法,其一，,将所给选项代入关系式直接验算，,(B)正确.,其二，,对积分关系式两边求导化为微分方程,并注,意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程,所应满足的初始条件.,练习,考研数学3分,15,解,可分离变量方程,两边积分,由原关系式,得,得,分离变量,16,一阶线性微分方程的标准形式,上面方程称为,上面方程称为,如,线性的;,非线性的.,齐次的;,非齐次的.,线性,一阶,自由项,9.3一阶线性微分方程,17,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),(C1为任意常数),18,2.线性非齐次方程,线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.,设想,非齐次方程,待定函数,线性齐次方程的通解是,的解是,19,从而C(x)满足方程,20,即,一阶线性非齐次微分方程的通解为,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为,待定函数的方法.,21,用常数变易法解一般的一阶线性非齐次方程,得到通解公式：,注解一阶线性微分方程，可以直接利用这个公式，,也可以用常数变易法.,22,解,例,23,解,例,第一步：先解对应的齐次线性方程,分离变量,两端积分,即：,第二步：将常数变易为函数,两端求导,代入得,积分得,第三步：代入,令,得通解,24,解,积分方程,例,如图所示,平行于y轴的动直线被曲线y=f(x),阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程,即,截下的线段PQ之长数值上等于,求曲线y=f(x).,25,所求曲线为,26,9.4微分方程的应用问题,例把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度处的气压成正比”所含关系表示出来.,解：,设大气压P和高度x之间的函数关系为,第一步，设未知函数：,大气压随高度变化的速率为,第二步，根据条件写出方程,第三步，取比例系数为正：,27,用微分方程解决实际问题，是微积分的重要应用.,用实际问题检验该模型，如果存在问题，则需研究，改进模型.,（1）分析问题，根据实际问题的规律建立微分方程，,并提出初始条件.这个过程称为,这一步要求掌握和利用相关的自然科学知识及基本规律.,（2）求微分方程的通解，然后利用初始条件求特解.,（3）检验改进模型，,具体步骤是：,建立数学模型.,观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，,28,例冷却问题将一个温度为50的物体，放在20的恒温环境中冷却，求物体温度变化的规律.,解冷却定律：,设物体的温度T与时间t的函数关系为,根据冷却定律，有,为比例常数.,因为在温度大于20时，温度随时间t的增加,而降低，,得到,初始条件是,29,可分离变量的微分方程,求出通解：,代入上式，,求出,得到物体温度的变化规律是,30,例一电动机开动后，每分钟温度提高10，同时按温度冷却规律散发热量.假设电动机在一个保持15恒温的房子里，求电动机温度与时间的函数关系.,解：设电动机温度与时间的函数关系是,电动机温度增高的速率电动机温度降低的速率.,电动机温度增高的速率,降低的速率,初始条件为,得微分方程及初始条件,一阶线性非齐次微分方程,31,关于物质总量问题的模型,物质总量变化率=,物质进入容器的速率物质离开容器的速率,研究一个容器内物质总量随时间变化的情况，目标是测定某一时刻t，物质在容器中的总量.,此类模型的依据：,32,解：设任一时刻t池内盐的总量为,则盐的总量随时间变化的速率为,盐进入容器的速率为,在任一时刻t,池内盐的含量为,盐离开容器的速率：,则浓度是,混合溶液以3的速率离开，,所以盐离开池内的速率是,33,解得,初始条件是,代入求出,因此池内盐关于时间t的函数是,根据上面所述模型的依据，得到,盐进入容器的速率为,盐离开池内的速率,34,一、可降阶的高阶微分方程,9.7二阶微分方程简介,1、型的方程,特点,左端为二阶导数，右端不含有y.,解法,将这两个等式,则方程变为,这是一个关于变量x,z的一阶微分方程.,如果其通解为,则由,再积分一次,可求出原方程的通解,代入到方程,令,35,例解微分方程,该二阶微分方程的特点是缺含未知函数的项.,解法：,代入原方程得到,可分离变量的微分方程,求出解,再积分，得,-通解,设,先降阶为一阶微分方程，,解,36,特点,解法,方程缺自变量x,2、型的方程,则,方程变成,这是关于变量y,z的一阶方程.,设它的通解为,分离变量并积分,得通解为,设,将z看成是以y为中间变量的x的函数.,37,例解微分方程,特点：,缺含自变量的项，,解法：,先降阶为一阶微分方程.,设,这时,成为中间变量，,有,38,设,得到,求出解,即,再积分，,即为所求的通解.,的解）.,得到,（通解包含了,39,二、二阶常系数线性方程,1、二阶常系数线性方程的定义,二阶常系数齐次线性方程,形如,的方程，称为,其中是常数.,定义：,二阶常系数非齐次线性方程,形如,的方程，称为,其中是常数.,40,2、二阶常系数线性方程的解法,(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解,(1)写出相应的特征方程,(2)求出特征根,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,称为,由常系数齐次线性方程的特征方程的根,确定其通解的方法,特征方程法.,41,解,特征方程,故所求通解为,例,特征根,42,解,特征方