第七章微分方程课题二十六一阶微分方程

难点：正确求解可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程的通解或特解，由实例讲解方法。,【授课时数】总时数：4学时.,1、知道微分方程的相关概念；2、会求可分离变量的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的通解或特解；3、会用一阶微分方程解简单的实际应用问题。,【学习目标】,【重、难点】,重点：微分方程的相关概念，可分离变量的微分方程、齐次方程和一阶线性微分方程的定义、解法，由微积分知识引出。,解,一、微分方程的基本概念,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例如,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,1.微分方程的定义,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.,(1)按自变量个数分类:常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,(2)按阶数分类:,(3)按是否是线性分类:线性与非线性微分方程.,(4)按方程个数分类:单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,微分方程解的分类：,2.求微分方程的解,通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,特解:确定了通解中任意常数以后的解.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,解,所求特解为,解微分方程:初等积分法.,求解微分方程,求积分,思考题,思考题解答,中任意常数的个数小于此方程的阶数,故为该微分方程的特解.,二、可分离变量的微分方程,称为可分离变量的微分方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,1.定义,例4求微分方程,解,分离变量,两端积分,方程为可分离变量微分方程，分离变量得,解,故所求通解为,两边同时积分得,三、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,例6求解微分方程,微分方程的通解为,解,例7求解微分方程,解,微分方程的解为,有的微分方程可利用变量代换求解.,解,代入原方程,原方程的通解为,(微分方程，微分方程的阶，微分方程的解（通,解、特解），初始条件）,小结,1.微分方程的基本概念,2.可分离变量的微分方程,3.齐次微分方程,练习题,3,2,上方程称为一阶线性齐次微分方程.,上方程称为一阶线性非齐次微分方程.,四、一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,定义,这样的方程称为,一阶线性微分方程.,齐次方程的通解为,1.一阶线性齐次微分方程的解法,分离变量法,2.一阶线性非齐次方程的解法,分析,两边积分,非齐次方程通解与齐次方程通解相比:,象这种把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称为常数变易法.,方法:,设,是一阶线性非齐次,微分方程的解.,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程的通解,该非齐次方程的特解,解法一（常数变易法）,例1,解法二（公式法）,例1,设所求曲线方程为,，由题意得,解,将,代入上式得，,.,因此所求曲线的方程为,.,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,*五、伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将代入即得,代入上式,解,*例4,*例5用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,*例5用适当的变量代换解下列微分方程:,另解,所求通解为,*例5用适当的变量代换解下列微分方程:,思考题,求微分方程的通解.,思考题解答,练习题,通过本课题学习，学生应该达到：1会求可分离变量的微分方程、一阶齐次微分方程