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安徽宿城一中安徽宿城一中 20192019 届高三届高三 1212 月质检月质检 数学（理）试卷数学（理）试卷 第第卷（选择题卷（选择题 共共 5050 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分，在每小题给出的四个选分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的项中，只有一项是符合题目要求的. . 1.已知集合lnAx yx，集合2, 1,1,2B ，则AB A.(1,2)B.1,2C.1, 2 D.(0,) 2对于事件 A，P（A）表示事件 A 发生的概率。则下列命题正确的是 A如果()( )( )P ABP AP B，那么事件 A、B 互斥 B如果()( )( )1P ABP AP B，那么事件 A、B 对立 C()( )( )1P ABP AP B是事件 A、B 对立的充要条件 D事件 A、B 互斥是()( )( )P ABP AP B的充分不必要条件 3把函数xsin3xcos)x(f的图象向左平移 m 个单位, 所得图象关于 y 轴对称, 则 m 的最小值为 A. 6 5 B. 3 2 C. 3 D. 6 4一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为 A9B10 C11D 23 2 5对于平面和共面的两直线m、n，下列命题中是真命 题的为 A若m，mn，则/n B若/m，/n，则/mn C若m，/n，则/mn D若m、n与所成的角相等，则/mn 6等比数列 n a中512 1 a，公比 2 1 q，记 12nn aaa （即 n 表示 数列 n a的前n项之积） ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 中值为正数的个数是 22 1 3 1 正视图侧视图 俯视图 第 4 题图 A1B2C3D4 7设x、y均是实数，i 是虚数单位，复数+i 12 xyi i 的实部大于 0，虚部不小于 0，则复数 izxy 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的 设集合 012 ,SA A A，在S上定义运算： ijk AAA ，其中k为i j 被 3 除的余 数，,1,2,3i j，则使关系式 0 () iji AAAA 成立的有序数对( , )i j总共有 A对B对C对D对 9已知 A，B，C，D，E 为抛物线 2 1 4 yx上不同的五点，抛物线焦点为 F，满足 0FAFBFCFDFE ，则|FAFBFCFDFE A5B10C 5 16 D 85 16 10一支人数是 5 的倍数且不少于 1000 人的游行队伍，若按每横排 4 人编队，最后差 3 人； 若按每横排 3 人编队，最后差 2 人；若按每横排 2 人编队，最后差 1 人则这只游行队伍的 最少人数是 A1025B1035C1045D1055 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 100 分）分） 考生注意事项：考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答，在试题卷上答题无效 . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置. 11. 输入正整数n（2n）和数据 1 a， 2 a， n a， 如果执行如图 2 的程序框图，输出的s是数据 1 a， 2 a， n a的平均数，则框图的处理框中应填写的 是_; 12. 已知函数sin()(0,0)yx 为偶 函数,其图象与直线 y=1 的交点的横坐标为 12 ,x x.若 12 xx 的最小值为p,则的值为 _; 13设 0 (sincos )axx dx ，则二项式 6 1 ()ax x 的展开式中常数项_; 14函数 2 2 |log|,04 ( ) 270 8,4 33 xx f x xxx ，若, , ,a b c d互不相同，且 ( )( )( )( )f af bf cf d，则abcd的取值范围是_; 15有以下四个命题 xsin 3 xsiny 2 2 的最小值是 32 已知 10 x 11x )x(f , 则)3(f)4(f ) 1a, 0a ()a2(logy x a 在 R 上是增函数 函数) 6 x2sin(2y 的图象的一个对称中心是)0, 12 ( 其中真命题的序号是_ (把你认为正确命题的序号都填上) 三三.解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在解答写在 答题卡上的指定区域内答题卡上的指定区域内. 16 （本题满分 12 分） （1）证明： 2 cos 2 sin2sinsin yxyx yx （2）三角形 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边，若 a，b，C 成等差数列，求证 2 tantantan 222 ACB 。 17 （本小题 12 分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教 师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训现知全市教 师中，选择心理学培训的教师有 60%，选择计算机培训的教师有 75%，每位教师对培训项目的 选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响 (1)任选 1 名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率； (2)任选 3 名教师，记为 3 人中选择不参加培训的人数，求的分布列和期望 18 （本小题 12 分）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点， 且 1 3 ADDB，点C为圆O上一点，且 3BCAC 点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PDDB （1）求证：PACD； （2）求二面角CPBA的余弦值 19 （本小题 13 分）已知函数 22 ( )ln(1),f xxxa xaR， （1）当0a 时，求( )f x的最小值； （2）当1x 时，( )0f x 恒成立，求a的取值范围。 20 （本小题 13 分）数列 n a的各项均为正值， 1 1a ，对任意 nN*， 2 12 14(1),log (1) nnnnn aa aba 都成立 （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）当 k7 且 kN *时，证明：对任意 nN*都有 121 11113 2 nnnnk bbbb 成立 21（本小题 13 分）过椭圆 C：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 外一点 A（m，0）作一直线 l 交椭圆于 P、Q 两点，又 Q 关于 x 轴对称点为 1 Q，连结 1 PQ交 x 轴于点 B。 （1）若 AQAP ，求证： 1 BQPB ； （2）求证：点 B 为一定点)0,( 2 m a 。 数学（理）答案数学（理）答案 答案：1。B2。D3。B4C5C6B7A8C9B10C 11 i asi s i ) 1( 122 2 13. 160 14 （32，35） ， 15 16解： （1） sinsinsin()sin() 2222 2sincos5 22 xyxyxyxy xy xyxy 分 （2）由正弦定理得sinsin2sinACB，又由（1）可知 2sincos2sin2sin()4sincos 2222 cos2cos,coscos3sinsin, 222222 1 tantan10 223 ACACACAC BAC ACACACAC AC 分 由余弦定理得： 222 22222 2 () 3321 2 cos 2282 1 ,tan 323 ac ac acbacac B acacac B B 所以 2 tantantan 222 ACB 。12 分 17 （本小题满分 12 分） 解：任选 1 名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件A， “该教师选择计算机培训”为事 件B，由题设知，事件A与B相互独立，且 ( )0.6P A ， ( )0.75P B 1 分 （1）任选 1 名，该教师只选择参加一项培训的概率是 1 ()()0.6 0.250.4 0.750.45PP ABP AB 4 分 （2）任选 1 名教师，该人选择不参加培训的概率是 0 ()= ( ) ( )0.4 0.250.1PP ABP A P B 5 分 因为每个人的选择是相互独立的， 所以 3 人中选择不参加培训的人数服从二项分布 (3 0.1)B ， ，6 分 且 3 3 ()0.10.9 kkk PkC ， 012 3k ， ， ， 8 分 即的分布列是 0123 P0.7290. 2430.0270.001 10 分 所以，的期望是 1 0.2432 0.0273 0.0010.3E 12 分 （或的期望是 3 0.10.3E ） 18解析： （）法 1：连接CO，由3AD DB 知， 点D为AO的中点， 又AB为圆O的直径，AC CB ， 由 3ACBC 知， 60CAB ， ACO 为等边三角形，从而CD AO -3 分 点P在圆O所在平面上的正投影为点D， PD 平面ABC，又CD 平面ABC， PD CD ，-5 分 由PD AOD 得，CD 平面PAB， 又PA平面PAB，PA CD -6 分 （注：证明CD 平面PAB时，也可以由平面PAB 平面ACB得到，酌情给分 ） 法 2：AB为圆O的直径，AC CB ， 在Rt ABC 中设 1AD ， 由3AD DB ， 3ACBC 得， 3DB ， 4AB ， 2 3BC ， 3 2 BDBC BCAB ，则 BDCBCA ， BCABDC ，即CD AO -3 分 点P在圆O所在平面上的正投影为点D， PD 平面ABC，又CD 平面ABC， PD CD ，-5 分 由PD AOD 得，CD 平面PAB， 又PA平面PAB，PA CD -6 分 法 3：AB为圆O的直径，AC CB ， 在Rt ABC 中由 3ACBC 得， 30ABC ， 设 1AD ，由3AD DB 得， 3DB ， 2 3BC ， 由余弦定理得， 222 2cos303CDDBBCDB BC ， 222 CDDBBC ，即CD AO -3 分 点P在圆O所在平面上的正投影为点D， PD 平面ABC，又CD 平面ABC， PD CD ，-5 分 由PD AOD 得，CD 平面PAB， 又PA平面PAB，PA CD -6 分 （）法 1： （综合法）过点D作DE PB ，垂足为E，连接CE-7 分 由（1）知CD 平面PAB，又PB 平面PAB， CD PB ，又DE CDD ， P AB D C O E PB 平面CDE，又CE 平面CDE， CE PB ，-9 分 DEC 为二面角C PBA 的平面角 -10 分 由（）可知 3CD ， 3PDDB ， （注：在第（）问中使用方法 1 时，此处需要设出线段的长度，酌情给分 ） 3 2PB ，则 93 2 23 2 PD DB DE PB ， 在Rt CDE 中， 36 tan 33 2 2 CD DEC DE ， 15 cos 5 DEC ，即二面角C PBA 的余弦值为 15 5 -12 分 法 2： （坐标法）以D为原点，DC 、DB 和DP 的方向分别为x轴、 y 轴和z轴的正向，建 立如图所示的空间直角坐标系-8 分 （注：如果第（）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ，酌情给分 ） 设 1AD ，由3AD DB ， 3ACBC 得， 3PDDB ， 3CD ， (0,0,0)D ， ( 3,0,0)C ， (0,3,0)B ， (0,0,3)P ， ( 3,0, 3)PC ， (0,3, 3)PB ， (3,0,0)CD ， 由CD 平面PAB，知平面PAB的一个法向量为 (3,0,0)CD 设平面PBC的一个法向量为 ( , , )x y zn ，则 0 0 PC PB n n ，即 330 330 xy yz ，令 1y ，则 3x ， 1z ， ( 3,1,1)n ，-10 分 设二面角C PBA 的平面角的大小为， 则 315 cos 5|53 CD CD n |n| ， 二面角C PBA 的余弦值为 15 5 -12 分 19解： 0a 时， 2 ( )ln ,( )(2ln1),f xxx fxxx 2 分 1 2 (0,)xe 时， ( )f x 单调减， 1 2 (,)xe 时， ( )f x 单调增，4 分 所以当 1 2 xe 时， ( )f x 有最小值 1 2e 5 分 （2）由已知，即 1x 时， min ( )0f x 6 分 ( ) (2ln1 2 ),1fxxxa x 8 分 当1 2 0,a 即 1 2 a 时， ( ) 0fx 恒成立，所以 ( )f x 单调增 min ( )(1)0f xf ，即 1 2 a 时满足 ( )0f x 恒成立；10 分 当120a即 1 2 a 时，由 ( ) 0fx 得 1 2 1 a xe ， 所以 1 2 (1,) a xe 时， ( )f x 单调减，即 1 2 (1,) a xe 时 ( )(1)0f xf 与题设矛盾， 即 1 2 a 时，不能满足 ( )0f x 恒成立。12 分 综上，所求a的取值范围是 1 2 a 。13 分 20解： （1）由an+1214an(an+1)， 得（an+1+2an+1） （an+1-2an-1）=0， 数列an的各项为正值，an+1+2an+10， an+1=2an+1， an+1+1=2（an+1） ， a1+1=20， 数列an+1为等比数列 an+1(a1+1)2n12n，an2n1， 即为数列an的通项公式 bn=log2（an+1） ， bnlog2(2n1+1)n6 分 （2）求证的的问题即：当k7 且 kN*时，对任意 * 11113 , 1212 nN nnnnk 方 法一：令 1111 121 S nnnnk ，则 1111 121 S nknknn 111111 2()()() 1121 S nnknnknkn 114 0,0,()xyxy xyxy 时有当且仅当时等号成立 4444 (1) 2 11211 n k S nnknnknknnnk 2(1)2(1)223 2(1)2(1) 1 117 12 1 kk S kk k n 13 分 方法二： 11111111111 ()() 12112221223 111111 ()() 61627717281 1111111 ()() 12221223 111111 () 61627237 1111223 23471 nnnnknnnnnnn nnnnnn nnnnnnn nnn nnnnnn 3 13 402 分 方法三（利用定积分放缩同样给分。要作出( )lnf xx大致图象并指出小矩形面积之和大于曲边 梯形面积） 111113 ln|lnln7 1212 nk nk n n dxxk nnnnkx 13 分 21证明： （1）连结 1 AQ ，因为 Q 与 1 Q 关于 x 轴对称，而 A 在 x 轴上， 则在 1 APQ 中，AB 平分 1 PAQ ， 由内角平分线定理可知： 11 :APAQPBBQ ， 而 AQAP ， AQAP与 同向，故 0 且 | 1 AQAQ ， 则 | : | 1 BQPB ，又 P、B、 1 Q 在同一直线上且PB与 1 BQ 同向， 于是有：PB= 1 BQ 。（6 分） （2）设过 A（m，0）的直线 l 与椭圆 C： ),(,),(1 2211 2 2 2 2 yxQyxP b y a x 交于 1 Q 与 Q 关于 x 轴对称，则 ),( 221 yxQ ，由 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 及 1 2 2 2 2 2 2 b y a x 相减得 0 )()( 2 2121 2 2121 b yyyy a xxxx ， 21 21 2 2 21 21 yy xx a b xx yy kPQ ， PQ 直线方程： )( )( )( 1 21 2 21 2 1 xx xxa xxb yy ，而 PQ 过 A（m，0） ，则有： )()( )( 21 2 21 2 21 222 21 2 211 2 1 xxb yyaxxbba xxb yyya xm ， 而 )0,( 1B xBPQ 过 ，同理可求得： )( 21 2 21 2 21 222