安徽芜湖高三模拟考试数学理

芜湖市 学年度第二学期高三模拟考试 数学（ 理科）试题 一、 选择题（ 本题共 小题， 每小题 分， 共 分 ） 题 号 答 案 二、 填空题（ 本题共 小题， 每小题 分， 共 分） 三、 解答题（ 本大题共 小题， 共 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤） （ 本小题满分 分） （ ） 由题设及 ， 得 ， 故 （ ） 上式两边平方， 整理得 ， 解得 （ 舍去） ， 分 （ ） 由 得 ， 又 则 由余弦定理， （ ） （ ） （ ） 所以 槡 分 （ 本小题满分 分） （ ） 由频率分布直方图可知， 各区间对应的频数分布表如下： 分值区间 ， ） ， ） ， ） ， ） ， ） ， 频 数 （ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 分 （ ） 由（ ） 知 服从正态分布 （ ， ） ， 且 ， （ ） 分 依题意， 服从二项分布， 即 （ ， ） ， 则 分 ）页共（页第案答考参）理（学数级年三高 （ 本小题满分 分） （ ） 方法一： 当 时， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则有 （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， （ ， ， ） （ ， ， ） ， （ ， ， ） 设平面 的法向量为 （ ， ， ） ， 则 ， 可取 ， 得 （ ， ， ） ， （ ， ， ） ， 所以直线 平面 分 方法二： 在正方形 中， ， ， ， 平面 ， 又 平面 所以 ， 又 ， ， ， 平面 所以直线 平面 分 （ ） 当 时， 以 所在直线为 轴， 过点 与 垂直的直线为 轴， 所在的直线 为 轴建立空间直角坐标系， 可得 （ ， 槡 ， ） ， 所以 （ ， 槡 ， ） ， 设平面 的法向量为 （ ， ， ） ， 则 （ 槡 ） ， 可取 ， 得 （ ， ， ） ， 又平面 的一个法向量为 （ ， ， ） ， 则 ， 槡 所以二面角 的余弦值为 槡 分 （ 本小题满分 分） （ ） 设 （ ， ） ， （ ， ） ， 因点 在椭圆上， 所以 ， 故 （ ） 又 （ ， ） ， （ ， ） ， 所以 ， 即 ， 又 ， 所以 槡 ）页共（页第案答考参）理（学数级年三高 故椭圆 的方程为 分 （ ） 设直线 的方程为： （ ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， 联立方程组 （ ） ， 消去 并整理得， （ ） ， 则 ， 直线 的方程为 （ ） ， 令 得 ， 同理， ；分 所以 （ ） （ ） （ ） （ ） ， 代入化简得 ， 即点 （ ， ） ， 又 （ ， ） ， 所以 ， 所以 分 （ 本小题满分 分） （ ） 因 （ ） 在上单调递减， 所以 （ ） （ ） 恒成立 令 （ ） （ ） （ ） ， 则 （ ） （ ） 因 ， 当 时， （ ） ； 当 时， （ ） ， 所以 （ ） 在（ ， ） 上单调递增， 在（ ， ） 上单调递减， 所以 （ ） （ ） ， 即 分 （ ） 方法一： 由（ ） 知当 时， （ ） 在（ ， ） 上单调递减， 则 （ ） （ ） ， 即（ ） ， 又 时， ， 由 （ ） 单调性得 （ ） （ ） ， 即（ ） ， 从而（ ） （ ） ， 即（ ） （ ） ， 也即（ ） （ ） 令 ， 则（ ） （ ） ， 即 时， （ ） （ ） 分 方法二： 由（ ） 知当 时， （ ） 在（ ， ） 上单调递减， 则 （ ） （ ） ， 即（ ） ， 令 （ ） （ ） （ ） ， ）页共（页第案答考参）理（学数级年三高 则 （ ） （ ） （ ） ， 令 （ ） （ ） （ ） ， 则 （ ） ， 所以 （ ） （ ） ， （ ） ， 即 （ ） 在（ ， ） 上单调递 减， （ ） （ ） ， 即 时， （ ） （ ） 分 （ 本小题满分 分） （ ） ： （ ） 槡 槡 （ ） 槡 ， 即 分 由 ： ， ， 消去参数 得 的普通方程： （ ） 又 ， 的极坐标方程为： （ ） （ ） 即 的极坐标方程为 分 （ ） 曲线 的直角坐标方程为 （ ） ， 由 得 （ ， ） 槡 ， 槡 即点 的极坐标为（槡 ， ） 代入 ， 得 槡 分 （ 本小题满分 分） （ ） 当 时， （ ） ， ， ， ， ， （ ） 等价于 ， ， 或 ， 或 解得 ， 所以不等式 （ ）