广东佛山高三数学一轮模拟专项练习函数单调性pdf含解析

广东省佛山市广东省佛山市 2016 届高三数学一轮复习模拟专项练习届高三数学一轮复习模拟专项练习函数函数 单调性单调性（PDF含解析含解析） 一一解答题解答题（共共 21 小题小题） 1函数 （1）试求 f（x）的单调区间； （2）当 a0 时，求证：函数 f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是 a=1； （3）求证：不等式对于 x（1，2）恒成立 2设 a 为非负实数，函数 f（x）=x|xa|a （）当 a=2 时，求函数的单调区间； （）讨论函数 y=f（x）的零点个数，并求出零点 3已知 f（x）=lnx，（aR） （1）求 f（x）g（x）的单调区间； （2）若 x1 时，f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）当 nN*，n2 时，证明： 4在区间 D 上，如果函数 f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数 f（x） 为“弱增函数”已知函数 f（x）=1 （1）判断函数 f（x）在区间（0，1上是否为“弱增函数”； （2）设 x1，x20，+） ，且 x1x2，证明：|f（x2）f（x1）|； （3）当 x0，1时，不等式 1ax1bx 恒成立，求实数 a，b 的取值范围 5对于定义域为 D 的函数 y=f（x） ，如果存在区间m，nD，同时满足： f（x）在m，n内是单调函数； 当定义域是m，n时，f（x）的值域也是m，n 则称m，n是该函数的“和谐区间” （1）证明：0，1是函数 y=f（x）=x2的一个“和谐区间” （2）求证：函数不存在“和谐区间” （3）已知：函数（aR，a0）有“和谐区间”m，n，当 a 变 化时，求出 nm 的最大值 6已知函数且 x2） （1）求 f（x）的单调区间； （2）若函数 g（x）=x22ax 与函数 f（x）在 x0，1时有相同的值域，求 a 的值； （3）设 a1，函数 h（x）=x33a2x+5a，x0，1，若对于任意 x10，1，总存在 x00， 1，使得 h（x0）=f（x1）成立，求 a 的取值范围 7设函数 （）求函数的定义域，并求 f（x）的单调区间； （）是否存在正实数 a，b（ab） ，使函数 f（x）的定义域为a，b时值域为， 若存在，求 a，b 的值，若不存在，请说明理由 8设 kR，k0，函数 f（x）=，F（x）=f（x）kx （I）试讨论函数 F（x）的单调性； （II）设 0k，求证：F（x）=0 有三个不同的实根 9已知函数在（1，+）上是增函数 （1）求实数 a 的取值范围； （2）在（1）的结论下，设，求函数 g（x）的最 小值 10已知函数 f（x）=x21，g（x）=a|x1| （）若|f（x）|=g（x）有两个不同的解，求 a 的值； （）若当 xR 时，不等式 f（x）g（x）恒成立，求 a 的取值范围； （）求 h（x）=|f（x）|+g（x）在2，2上的最大值 11已知函数 f（x）=exax（e 为自然对数的底数） （1）若 f（x）1 在 xR 上恒成立，求实数 a 的值； （2）若 nN*，证明： 12已知函数 f（x）=x|xa|+2x （1）若函数 f（x）在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围； （2）求所有的实数 a，使得对任意 x1，2时，函数 f（x）的图象恒在函数 g（x）=2x+1 图象的下方； （3）若存在 a4，4，使得关于 x 的方程 f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实 数 t 的取值范围 13对于定义在区间m，n上的两个函数 f（x）和 g（x） ，如果对任意的 xm，n，均有 不等式|f（x）g（x）|1 成立，则称函数 f（x）与 g（x）在m，n上是“友好”的，否则称 “不友好”的现在有两个函数 f（x）=loga（x3a）与（a0，a1） ， 给定区间a+2，a+3 （1）若 f（x）与 g（x）在区间a+2，a+3上都有意义，求 a 的取值范围； （2）讨论函数 f（x）与 g（x）在区间a+2，a+3上是否“友好” 14定义域为 R 的偶函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）=lnxax（aR） ，方程 f（x）=0 在 R 上恰有 5 个不同的实数解 （1）求 x0 时，函数 f（x）的解析式； （2）求实数 a 的取值范围 15设函数 f（x）=x（xa）2（xR） ，其中 aR （）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程； （）当 a0 时，求函数 f（x）的极大值和极小值； （）当 a3 时，证明存在 k1，0，使得不等式 f（kcosx）f（k2cos2x）对任意 的 xR 恒成立 16设 a0，函数 f（x）=x3ax 在1，+）上是单调函数 （1）求实数 a 的取值范围； （2）设 x01，f（x0）1，且 f（f（x0） ）=x0，求证：f（x0）=x0 17 已知函数 y=x+ 有如下性质： 如果常数 a0， 那么该函数在 （0，上是减函数， 在， +）上是增函数 （）如果函数 y=x+（x0）的值域为6，+） ，求 b 的值； （）研究函数 y=x2+（常数 c0）在定义域内的单调性，并说明理由； （）对函数 y=x+ 和 y=x2+（常数 a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特 例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明） ，并求函数 F（x）=（x2） n+（ ）n（n 是正整数）在区间 ，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 18已知函数有如下性质：如果常数 a0，那么该函数在上是减函数， 在上是增函数 （1）如果函数在（0，4上是减函数，在4，+）上是增函数，求 b 的 值 （2）设常数 c1，4，求函数的最大值和最小值； （3）当 n 是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由 19函数 f（x）和 g（x）的图象关于原点对称，且 f（x）=x2+2x （）求函数 g（x）的解析式； （）解不等式 g（x）f（x）|x1| （）若 h（x）=g（x）f（x）+1 在1，1上是增函数，求实数的取值范围 20已知函数 f（x）=lnx，g（x）= ax2+bx，a0 （）若 b=2，且 h（x）=f（x）g（x）存在单调递减区间，求 a 的取值范围； （）设函数 f（x）的图象 C1与函数 g（x）图象 C2交于点 P、Q，过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线分别交 C1， C2于点 M、 N， 证明 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行 21已知函数 f（x）=|xa|，g（x）=x2+2ax+1（a 为正常数） ，且函数 f（x）与 g（x）的图 象在 y 轴上的截距相等 （1）求 a 的值； （2）求函数 f（x）+g（x）的单调递增区间； （3）若 n 为正整数，证明： 广东省佛山市广东省佛山市 2016 届高三数学一轮复习模拟专项练习届高三数学一轮复习模拟专项练习函数函数 单调性单调性（PDF含解析含解析） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一解答题解答题（共共 21 小题小题） 1函数 （1）试求 f（x）的单调区间； （2）当 a0 时，求证：函数 f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是 a=1； （3）求证：不等式对于 x（1，2）恒成立 【考点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；函数的零点菁优网版 权所有 【专题】常规题型；证明题；综合题；压轴题 【分析】 （1）函数的定义域是（0，+） ，求出导数，分 a0 和 a0 两种情况讨论导数的符 号，得到单调区间 （2）由函数的单调性知，函数 f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当 f（a）=0 （3）将要证的不等式等价转化为 g（x）0 在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出 g（x） 的最小值， 只要最小值大于 0 即可 【解答】解： （1）函数的定义域是（0，+） ，导数 f（x）= ， 若 a0，导数 f（x）在（0，+）上大于 0，函数的单调增区间是（0，+） ； 若 a0，在（a，+）上，导数大于 0，函数的单调增区间是（a，+） ， 在（a，+）上，导数小于 0，单调减区间是（0，a） （2）由第一问知道，当 a0 时候，函数 f（x）在（0，a）上递减，在（a，+）上递增， 所以要使得函数 f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当 f（a）=0，即 a=1 （3）要证，即证，即证 设恒成立 g（x）ming（1）=0，g（x）0，即 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间即单调性，函数的零点及函数恒成立问题，要 证 g（x）0，只要证 g（x） 的最小值大于 0 2设 a 为非负实数，函数 f（x）=x|xa|a （）当 a=2 时，求函数的单调区间； （）讨论函数 y=f（x）的零点个数，并求出零点 【考点】函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理；分段函数的应用菁优网版 权所有 【专题】计算题；压轴题 【分析】 （I）先讨论去绝对值，写成分段函数，然后分别当 x2 时与当 x2 时的单调区间； （II）讨论 a 的正负，利用二次函数的单调性以及函数的极小值与 0 进行比较，进行分别判 定函数 y=f（x）的零点个数 【解答】解： （）当 a=2 时，当 x2 时，f（x）=x22x2=（x1）23， f（x）在（2，+）上单调递增； 当 x2 时，f（x）=x2+2x2=（x1）21， f（x）在（1，2）上单调递减，在（，1）上单调递增； 综上所述，f（x）的单调递增区间是（，1）和（2，+） ，单调递减区间是（1，2） （） （1）当 a=0 时，f（x）=x|x|，函数 y=f（x）的零点为 x0=0； （2）当 a0 时， 故当 xa 时，二次函数对称轴， f（x）在（a，+）上单调递增，f（a）0； 当 xa 时，二次函数对称轴， f（x）在上单调递减，在上单调递增； f（x）的极大值为， 1当，即 0a4 时，函数 f（x）与 x 轴只有唯一交点，即唯一零点， 由 x2axa=0 解之得函数 y=f（x）的零点为或（舍去） ； 2当，即 a=4 时，函数 f（x）与 x 轴有两个交点，即两个零点，分别为 x1=2 和 ； 3当，即 a4 时，函数 f（x）与 x 轴有三个交点，即有三个零点， 由x2+axa=0 解得， 函数 y=f（x）的零点为和 综上可得，当 a=0 时，函数的零点为 0； 当 0a4 时，函数有一个零点，且零点为； 当 a=4 时，有两个零点 2 和； 当 a4 时，函数有三个零点和 【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及函数零点问题，同时考查了分类讨论的数学思 想和计算能力，属于中档题 3已知 f（x）=lnx，（aR） （1）求 f（x）g（x）的单调区间； （2）若 x1 时，f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）当 nN*，n2 时，证明： 【考点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题菁优网版 权所有 【专题】计算题；证明题；压轴题；分类讨论 【分析】 （1）先求，求导函数 ，分类讨论即可求出函数的单调区间 （2）x1 时，恒成立，等价于 axlnxx2max，构造新的函数 k（x）=xlnxx2 造求出函数的最大值即可求出 a 的取值范围 （3）方法一：由（2）可知当 a=1 时，x1 时，恒成立所以 nN*，n2 时， 有，进而可证 方法二：利用数学归纳法证明当 n=2 时，显然成立假设 n=k（nN*，n2）成立，即 那么当 n=k+1 时，下面只需证 ， （k+1）ln（k+1）k（k+2）即可得证 【解答】解： （1） （1 分） 当=1+4a0， 即时，F（x）0， 所以 F（x）在（0，+）上单调递减（2 分） 当=1+4a0，即时， ， 时， x10，x20， 单调增区间为（0，+） （3 分） a0 时， x10，x20， 单调增区间为（x1，x2） ， 单调减区间为（0，x1） ， （x2，+） （5 分） 综上：时，F（x）在（0，+）上单调递减（只要写出以上三种情况即得 5 分） 时， x10，x20， 单调增区间为（0，x2） ，单调减区间为（x2，+） a0 时， x10，x20， 单调增区间为（x1，x2） ， ，单调减区间为（0，x1） ， （x2，+） （2）恒成立， 等价于 axlnxx2max（6 分） k（x）=xlnxx2，k（x）=1+lnx2x， k（x）在1，+）上单调递减， k（x）k（1）=10， k（x）在1，+）上单调递减， 所以 k（x）的最大值为 k（1）=1，所以 a1（18 分） （3）证法一：由（2）知当 a=1 时，x1 时，恒成立 所以 nN*，n2 时，有（10 分） 所以， ， 相乘得（12 分） 方法二：数学归纳法 当 n=2 时，显然成立（9 分） 假设 n=k（nN*，n2）成立，即 那么当 n=k+1 时， 下面只需证， （k+1）ln（k+1）k（k+2） 设 t=k+13，所以设 k（t）=tlntt2+1 由（2）知当 a=1 时，x1 时，恒成立， 即 k（t）=tlntt2+10 在 t=k+13 恒成立，所以 综合（1） （2）命题成立（12 分） 【点评】此题主要考查函数单调性的判断及函数的恒成立问题 4在区间 D 上，如果函数 f（x）为增函数，而函数为减函数，则称函数 f（x） 为“弱增函数”已知函数 f（x）=1 （1）判断函数 f（x）在区间（0，1上是否为“弱增函数”； （2）设 x1，x20，+） ，且 x1x2，证明：|f（x2）f（x1）|； （3）当 x0，1时，不等式 1ax1bx 恒成立，求实数 a，b 的取值范围 【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质菁优网版 权所有 【专题】计算题；综合题；压轴题；新定义 【分析】 （1）根据弱增函数的定义，只需证明函数 f（x）在区间（0，1上是增函数，而函 数为减函数，即可； （2）证法 1：要证|f（x2）f（x1）|，不妨设 0x1x2，构造函数 g（x） =f（x），利用导数证明该函数在（0，+）单调递减即可证明结论； 证法 2：把 f（x）=1代入|f（x2）f（x1）|，利用分母有理化，即可证明结论； （3）要解）当 x0，1时，不等式 1ax1bx 恒成立，利用分离参数转化为当 x（0，1时，等价于恒成立，即可求得实数 a，b 的取值范围 【解答】解： （1）显然 f（x）在区间上为增函数（0，1， 因为 = ， 所以在区间（0，1上为减函数 所以 f（x）在区间（0，1上为“弱增函数” （2）证法 1：要证|f（x2）f（x1）|，不妨设 0x1x2， 由 f（x）=1在0，+）单调递增， 得 f（x2）f（x1） ， 那么只要证 f（x2）f（x1）， 即证 f（x2）f（x1） 令 g（x）=f（x），则问题转化为只要证明 g（x）=f（x）在0，+）单调递减 即可 事实上，g（x）=f（x）=1， 当 x0，+）时，g（x）= 0， 所以 g（x）=f（x）在0，+）单调递减， 故命题成立 证法 2：|f（x2）f（x1）|= =， 因为 x1，x20，+） ，且 x1x2，2， 所以|f（x2）f（x1）| （3）当 x0，1时，不等式 1ax1bx 恒成立 当 x=0 时，不等式显然成立 当 x（0，1时，等价于恒成立 由（1）知为减函数，1 ， 所以 a 且 b1 【点评】此题是个难题考查基本初等函数的单调性，以及构造函数证明不等式和恒成立问 题，综合性强，方法灵活，很好的考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问 题的能力 5.对于定义域为 D 的函数 y=f（x） ，如果存在区间m，nD，同时满足： f（x）在m，n内是单调函数； 当定义域是m，n时，f（x）的值域也是m，n 则称m，n是该函数的“和谐区间” （1）证明：0，1是函数 y=f（x）=x2的一个“和谐区间” （2）求证：函数不存在“和谐区间” （3）已知：函数（aR，a0）有“和谐区间”m，n，当 a 变 化时，求出 nm 的最大值 【考点】函数单调性的性质菁优网版 权所有 【专题】综合题；压轴题；新定义 【分析】 （1）根据二次函数的性质，我们可以得出 y=f（x）=x2在区间0，1上单调递增， 且值域也为0，1满足“和谐区间”的定义，即可得到结论 （2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明， 即先假设区间m，n为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不 成立，原命题成立 （3）设m，n是已知函数定义域的子集，我们可以用 a 表示出 nm 的取值，转化为二次 函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案 【解答】解： （1）y=x2在区间0，1上单调递增 （2 分） 又 f（0）=0，f（1）=1， 值域为0，1， 区间0，1是 y=f（x）=x2的一个“和谐区间” （4 分） （2）设m，n是已知函数定义域的子集 x0，m，n（，0）或m，n（0，+） ， 故函数在m，n上单调递增 若m，n是已知函数的“和谐区间”，则（8 分） 故 m、n 是方程的同号的相异实数根 x23x+5=0 无实数根， 函数不存在“和谐区间” （10 分） （3）设m，n是已知函数定义域的子集 x0，m，n（，0）或m，n（0，+） ， 故函数在m，n上单调递增 若m，n是已知函数的“和谐区间”，则（14 分） 故 m、n 是方程，即 a2x2（a2+a）x+1=0 的同号的相异实数根 ， m，n 同号，只须=a2（a+3） （a1）0，即 a1 或 a3 时， 已知函数有“和谐区间”m，n， ， 当 a=3 时，nm 取最大值（18 分） 【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的性质， （2）中的确定性问题，要注意建立“正 难则反”的思想，选择反证法来简化证明过程 6已知函数且 x2） （1）求 f（x）的单调区间； （2）若函数 g（x）=x22ax 与函数 f（x）在 x0，1时有相同的值域，求 a 的值； （3）设 a1，函数 h（x）=x33a2x+5a，x0，1，若对于任意 x10，1，总存在 x00， 1，使得 h（x0）=f（x1）成立，求 a 的取值范围 【考点】函数单调性的性质菁优网版 权所有 【专题】综合题；压轴题；分类讨论 【分析】 （1）把 f（x）用分离常数法分开，再利用常用函数的单调性来求 f（x）的单调区 间 （2）先有（1）的结论把 f（x）在 x0，1上的值域找到，利用两函数有相同的值域求 a 的值 （3）先证 h（x）的单调性，再求 h（x）的值域，利用 h（x）的值域求 a 【解答】解： （1）， 易得 f（x）的单调递增区间为（，0） ， （4，+） ；单调递减区间为（0，2） ， （2，4） （5 分） （2）f（x）在 x0，1上单调递减， 其值域为1，0， 即 x0，1，g（x）1，0 g（0）=0 为最大值， 最小值只能为 g（1）或 g（a） ， 若 g（1）=； 若 g（a）= 综上得 a=1； （10 分） （3）设 h（x）的值域为 A，由题意知，1，0A以下先证 h（x）的单调性：设 0x1 x21， h（x1）h（x2）=x13x233a2（x1x2）=（x1x2） （x12+x1x2+x223a2）0， （a13a23，x12+x1x2+x223） ， h（x）在0，1上单调递减 ， a 的取值范围是2，+） （16 分） 【点评】本题是对函数的单调区间和含参数的函数值域的综合考查，对含有参数的函数式， 在确定单调性时，要注意分类讨论 7设函数 （）求函数的定义域，并求 f（x）的单调区间； （）是否存在正实数 a，b（ab） ，使函数 f（x）的定义域为a，b时值域为， 若存在，求 a，b 的值，若不存在，请说明理由 【考点】函数单调性的性质；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明菁优网版 权所有 【专题】计算题；压轴题 【分析】 （）由 f（x）的解析式求函数的定义域，根据定义域化简函数的解析式，再利用 导数判断函数的单调性，由此得到 f（x）的递增区间 （）假设存在符合题设的正实数 a，b，分三种情况 0ab1、0a1b、1ab， 分别求出 a，b 的值 【解答】解： （）f（x）的定义域是（，0）（0，+） ， （1 分） ， （3 分） x（0，1时， （5 分） x（1，+）（，0）时， f（x）的递减区间为（0，1，为（1，+）和（，0） ， （7 分） （）假设存在符合题设的正实数 a，b，那么有如下三种情况： 若 0ab1 时有，即，解得 a=b，与 ab 矛盾（9 分） 若 0a1b 时有，那么 a0b，这与 a0 矛盾（11 分） 若 1ab 时有，即 a，b 是方程 x28x+8=0 的两个根， 解得， （13 分） 综上，存在满足题意 （14 分） 【点评】本题主要考查求函数的定义域，利用导数判断函数的单调性，体现了分类讨论的数 学思想，属于中档题 8设 kR，k0，函数 f（x）=，F（x）=f（x）kx （I）试讨论函数 F（x）的单调性； （II）设 0k，求证：F（x）=0 有三个不同的实根 【考点】函数单调性的判断与证明；分段函数的解析式求法及其图象的作法；根的存在性及 根的个数判断菁优网版 权所有 【专题】综合题；压轴题 【分析】 （I）已知中函数 f（x）的解析式，可求出 F（x）=f（x）kx 的解析式，进而求出 其导函数的解析式，分别讨论当 x2，方程=0 的解，也当 x2 时，方程 =0 的解，进而可对 k 进行分类讨论得到函数 F（x）的单调性； （II）由（I）中结论，可得当 0k时，函数的单调性，及对应的极值点，分别判断 极大值与极小值的符号，进而可判断出 F（x）=0 有三个不同的实根 【解答】解： （）f（x）=，F（x）=f（x）kx F（x）= F（x）=（2 分） 当 x2，方程=0 在 k0 或 k1 时，无解，在 0k1 时为 x= +1， 当 x2 时，方程=0 在 k0 时，无解，在 k0 时为 x=2 当 0k1 时，函数 F（x）在（，2）上递减，在（2， +1）上递增，在（ +1，+） 上递减； 当 k1 时，函数 F（x）在（，+）上是减函数； 当 k0 时，函数 F（x）在（，2）上递增，在（2，2）上递减，在（2， +）上递增（7 分） 证明（）0k，由（）可知，F（x）的取值随着 x 的变化如下： 当 x=2 时，F（x）极小值为2k， 当 x= +1，F（x）极大值为 ln k1，（10 分） 0k， ln k1 1= 0， F（x）极小值2k0，F（x）极大值为 ln k10， 因此，0k时，方程 F（x）=0 一定有三个不同的实根（12 分） 【点评】本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，分段函数的解析式求法，根的存在 性及根的个数判断，其中利用导数法，判断出函数 F（x）的单调性是解答本题的关键 9已知函数在（1，+）上是增函数 （1）求实数 a 的取值范围； （2）在（1）的结论下，设，求函数 g（x）的最 小值 【考点】函数单调性的性质；函数最值的应用菁优网版 权所有 【专题】压轴题；分类讨论 【分析】 （1）知道函数是增函数，求参数范围，转化为导函数大于等于 0 恒成立，用分离参 数求最值解决 （2）为含有参数的绝对值函数的最值问题，关键是去绝对值，需考虑 exa 的正负问题， 进行讨论 去绝对值后转化为关于 t 的一次函数，利用单调性求最值即可 【解答】解： （1）， f（x）在1，+）上是增函数， f（x）0 在1，+）上恒成立 恒成立， ，当且仅当 x=1 时取等号， ，a2； （2）设 t=ex，则， 0xln3，1t3 当 2a3 时， h（t）的最小值为， 当 a3 时， h（t）的最小值为 综上所述，当 2a3 时，g（x）的最小值为， 当 a3 时，g（x）的最小值为 【点评】本题考查已知函数单调性求参数范围、求函数的最值、分类讨论思想等，综合性较 强 10已知函数 f（x）=x21，g（x）=a|x1| （）若|f（x）|=g（x）有两个不同的解，求 a 的值； （）若当 xR 时，不等式 f（x）g（x）恒成立，求 a 的取值范围； （）求 h（x）=|f（x）|+g（x）在2，2上的最大值 【考点】函数单调性的性质菁优网版 权所有 【专题】计算题；压轴题；分类讨论；转化思想 【分析】 （）解方程|f（x）|=g（x） ，根据积商符号法则转化为两个绝对值不等式的根的问 题； （）不等式 f（x）g（x）恒成立即（x21）a|x1|对 xR 恒成立，对 x 进行讨论， 分离参数，转化为函数的最值问题求解； （）去绝对值，分段求函数的最值 【解答】解： （）方程|f（x）|=g（x） ， 即|x21|=a|x1|，变形得|x1|（|x+1|a）=0， 显然，x=1 已是该方程的根， 从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程|x+1|=a “有且仅有一个不等于 1 的解”或 “有两解，一解为 1，另一解不等于 1” 得 a=0 或 a=2 （）不等式 f（x）g（x）对 xR 恒成立， 即（x21）a|x1|（*）对 xR 恒成立， 当 x=1 时， （*）显然成立，此时 aR 当 x1 时， （*）可变形为， 令， 因为当 x1 时，（x）2；而当 x1 时，（x）2 所以 g（x）2，故此时 a2 综合，得所求 a 的取值范围是 a2 （）因为 h（x）=|f（x）|+g（x）=|x21|+a|x1| =， 1）当，即 a2 时， h（x）在2，1上递减，在1，2上递增， 且 h（2）=3a+3，h（2）=a+3， 经比较，此时 h（x）在2，2上的最大值为 3a+3 2）当，即 0a2 时， h（x）在2，1，上递减， 在上1，2上递增， 且 h（2）=3a+3，h（2）=a+3， 经比较，知此时 h（x）在2，2上的最大值为 3a+3 3）当，即2a0 时， h（x）在2，1，上递减， 在，1，2上递增， 且 h（2）=3a+3，h（2）=a+3， 经比较知此时 h（x）在2，2上的最大值为 a+3 4）当，即3a2 时， h（x）在，上递减， 在，上递增，且 h（2）=3a+30，h（2）=a+30， 经比较知此时 h（x）在2，2上的最大值为 a+3 5）当，即 a3 时， h（x）在2，1上递减，在1，2上递增， 故此时 h（x）在2，2上的最大值为 h（1）=0 综上所述，当 a0 时，h（x）在2，2上的最大值为 3a+3； 当3a0 时，h（x）在2，2上的最大值为 a+3； 当 a3 时，h（x）在2，2上的最大值为 0 【点评】考查绝对值方程、不等式和最值问题的求法，体现了分类讨论、等价转化的数学思 想方法，特别是（）难度较大，很好的考查分析问题、解决问题的能力属难题 11已知函数 f（x）=exax（e 为自然对数的底数） （1）若 f（x）1 在 xR 上恒成立，求实数 a 的值； （2）若 nN*，证明： 【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的极值；不等式的证明菁优网版 权所有 【专题】压轴题 【分析】 （1）若 f（x）1 在 xR 上恒成立，即 f（x）的最小值大于等于 1，转化为求函数 的最小值问题利用导数求解 （2）函数导数综合题中，不等式的证明可考虑利用前面得到的函数的性质进行 【解答】 （本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决 问题的能力、以及创新意识） （1）解：f（x）=exx，f（x）=ex1令 f（x）=0，得 x=0 当 x0 时，f（x）0，当 x0 时，f（x）0 函数 f（x）=exx 在区间（，0）上单调递减，在区间（0，+）上单调递增 当 x=0 时，f（x）有最小值 1 （2）证明：由（1）知，对任意实数 x 均有 exx1，即 1+xex 令（nN*，k=1，2， ，n1） ，则， 即， ， 【点评】本题考查不等式恒成立问题、函数求最值、不等式的证明问题，以及化归转化思想 和分类讨论思想，综合性强，难度较大 12已知函数 f（x）=x|xa|+2x （1）若函数 f（x）在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围； （2）求所有的实数 a，使得对任意 x1，2时，函数 f（x）的图象恒在函数 g（x）=2x+1 图象的下方； （3）若存在 a4，4，使得关于 x 的方程 f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实 数 t 的取值范围 【考点】函数单调性的性质；函数的图象；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系； 函数最值的应用菁优网版 权所有 【专题】计算题；压轴题 【分析】 （1）由题意知 f（x）在 R 上是增函数，则即2a2，则 a 范围 （2） 由题意得对任意的实数 x1， 2， f （x） g （x） 恒成立， 即， ，故只要且在 x1，2上恒成立即可，在 x1，2时， 只要的最大值小于 a 且的最小值大于 a 即可由此可知答案 （3）当2a2 时，f（x）在 R 上是增函数，则关于 x 的方程 f（x）=tf（a）不可能有三 个不等的实数根存在 a（2，4，方程 f（x）=tf（a）=2ta 有三个不相等的实根，则 ，即存在 a（2，4，使得即可，由 此可证出实数 t 的取值范围为 【解答】解： （1） 由 f（x）在 R 上是增函数，则即2a2，则 a 范围为2a2； （4 分） （2）由题意得对任意的实数 x1，2，f（x）g（x）恒成立， 即 x|xa|1，当 x1，2恒成立，即， 故只要且在 x1，2上恒成立即可， 在 x1，2时，只要的最大值小于 a 且的最小值大于 a 即可， （6 分） 而当 x1，2时，为增函数，； 当 x1，2时，为增函数， 所以； （10 分） （3）当2a2 时，f（x）在 R 上是增函数，则关于 x 的方程 f（x）=tf（a）不可能有三 个不等的实数根； （11 分） 则当 a（2，4时，由得 xa 时，f（x）=x2+（2a） x 对称轴， 则 f（x）在 xa，+）为增函数，此时 f（x）的值域为f（a） ，+）=2a，+） ，xa 时，f（x）=x2+（2+a）x 对称轴， 则 f（x）在为增函数，此时 f（x）的值域为，f （x）在为减函数，此时 f（x）的值域为； 由存在a （2， 4， 方程f （x） =tf （a） =2ta有三个不相等的实根， 则， 即存在 a（2，4，使得即可，令 ， 只要使 t （g （a） ）max即可， 而 g （a） 在 a （2， 4上是增函数， 故实数 t 的取值范围为； （15 分） 同理可求当 a4，2）时，t 的取值范围为； 综上所述，实数 t 的取值范围为 （16 分） 【点评】本题考查函数性质的综合应用，解题时要认真审题 13对于定义在区间m，n上的两个函数 f（x）和 g（x） ，如果对任意的 xm，n，均有 不等式|f（x）g（x）|1 成立，则称函数 f（x）与 g（x）在m，n上是“友好”的，否则称 “不友好”的现在有两个函数 f（x）=loga（x3a）与（a0，a1） ， 给定区间a+2，a+3 （1）若 f（x）与 g（x）在区间a+2，a+3上都有意义，求 a 的取值范围； （2）讨论函数 f（x）与 g（x）在区间a+2，a+3上是否“友好” 【考点】函数单调性的判断与证明；必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的定义域 及其求法菁优网版 权所有 【专题】压轴题；新定义 【分析】 （1）欲使函数 f（x）与 g（x）在区间a+2，a+3上有意义，即使对数的真数大于 0， 建立关系式，解之即可； （2）假设存在实数 a，使得函数 f（x）与 g（x）在区间a+2，a+3上是“友好”的，建立关系 式化简可得1loga（x24ax+3a2）1，然后研究函数 g（x）=loga（x24ax+3a2）在区间 a+2，a+3上的单调性，建立关系式，解之即可 【解答】解： （1）函数 f（x）与 g（x）在区间a+2，a+3上有意义， 必须满足 （2）假设存在实数 a，使得函数 f（x）与 g（x）在区间a+2，a+3上是“友好”的， 则|f（x）g（x）|=|loga（x24ax+3a2）|loga（x24ax+3a2）|1 即1loga（x24ax+3a2）1（*） 因为 a（0，1）2a（0，2） ，而a+2，a+3在 x=2a 的右侧， 所以函数 g（x）=loga（x24ax+3a2）在区间a+2，a+3上为减函数，从而 于是不等式（*）成立的充要条件是 因此，当时，函数 f（x）与 g（x）在区间a+2，a+3上是“友好”的；当 1 时，函数 f（x）与 g（x）在区间a+2，a+3上是不“友好”的 【点评】本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及新定义的运用，属于中档题 14定义域为 R 的偶函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）=lnxax（aR） ，方程 f（x）=0 在 R 上恰有 5 个不同的实数解 （1）求 x0 时，函数 f（x）的解析式； （2）求实数 a 的取值范围 【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；根的存在性及根的个数判断菁 优网版权所有 【专题】计算题；压轴题 【分析】 （1）设 x0，则x0，然后代入函数的解析式，根据偶函数进行化简即可求出 x 0 时，函数 f（x）的解析式； （2）根据 f（x）为偶函数，则 f（x）=0 的根关于原点对称，由 f（x）=0 恰有 5 个不同的 实数解知 5 个实根中有两个正根， 二个负根， 一个零根， 且两个正根和二个负根互为相反数， 从而原命题等价与当 x0 时 f（x）图象与 x 轴恰有两个不同的交点，即 y=lnx 与直线 y=ax 交点的个数，由几何意义知 y=lnx 与直线 y=ax 交点的个数为 2 时，直线 y=ax 的变化应是从 x 轴到与 y=lnx 相切之间的情形，从而求出实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）设 x0，则x0 f（x）为偶函数，f（x）=f（x）=ln（x）+ax （2）f（x）为偶函数，f（x）=0 的根关于原点对称 由 f（x）=0 恰有 5 个不同的实数解知 5 个实根中有两个正根，二个负根，一个零根 且两个正根和二个负根互为相反数原命题当 x0 时 f（x）图象与 x 轴恰有两个不同 的交点 下面研究 x0 时的情况：f（x）=0 的零点个数y=lnx 与直线 y=ax 交点的个数 当 a0 时，y=lnx 递增与直线 y=ax 下降或与 x 轴重合， 故交点的个数为 1，不合题意，a0 由几何意义知 y=lnx 与直线 y=ax 交点的个数为 2 时， 直线 y=ax 的变化应是从 x 轴到与 y=lnx 相切之间的情形 设切点， 切线方程为： 由切线与 y=ax 重合知， 故实数 a 的取值范围为 【点评】本题主要考查了函数的解析式，以及函数与方程和根的存在性和根的个数的判断， 属于中档题 15设函数 f（x）=x（xa）2（xR） ，其中 aR （）当 a=1 时，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程； （）当 a0 时，求函数 f（x）的极大值和极小值； （）当 a3 时，证明存在 k1，0，使得不等式 f（kcosx）f（k2cos2x）对任意 的 xR 恒成立 【考点】函数单调性的性质菁优网版 权所有 【专题】压轴题 【分析】 （）求出 f（2）和 f（2） ，利用点斜式写切线方程 （）求导，令 f（x）=0，再考虑 f（x）的单调性，求极值即可 （） 有（）可知当 a3 时 f（x） 为单调函数， 利用单调性直接转化为 kcosxk2cos2x 恒成立，分离参数求解即可 【解答】解： （）解：当 a=1 时，f（x）=x（x1）2=x3+2x2x，得 f（2）=2，且 f（x）=3x2+4x1，f（2）=5 所以，曲线 y=x（x1）2在点（2，2）处的切线方程是 y+2=5（x2） ，整理得 5x+y 8=0 （）解：f（x）=x（xa）2=x3+2ax2a2xf（x）=3x2+4axa2=（3xa） （xa） 令 f（x）=0，解得或 x=a 由于 a0，以下分两种情况讨论 （1）若 a0，当 x 变化时，f（x）的正负如下表： x （， ）（ ，a） a（a，+） f（x）0+0 因此，函数 f（x）在处取得极小值，且； 函数 f（x）在 x=a 处取得极大值 f（a） ，且 f（a）=0 （2）若 a0，当 x 变化时，f（x）的正负如下表： x（，a） a （a， ）（ ，+） f（x）0+0 因此，函数 f（x）在 x=a 处取得极小值 f（a） ，且 f（a）=0； 函数 f（x）在处取得极大值，且 （）证明：由 a3，得，当 k1，0时，kcosx1，k2cos2x1 由（）知，f（x）在（，1上是减函数，要使 f（kcosx）f（k2cos2x） ，xR 只要 kcosxk2cos2x（xR） 即 cos2xcosxk2k（xR） 设，则函数 g（x）在 R 上的最大值为 2 要使式恒成立，必须 k2k2，即 k2 或 k1 所以，在区间1，0上存在 k=1，使得 f（kcosx）f（k2cos2x）对任意的 xR 恒 成立 【点评】本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等 式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 16设 a0，函数 f（x）=x3ax 在1，+）上是单调函数 （1）求实数 a 的取值范围； （2）设 x01，f（x0）1，且 f（f（x0） ）=x0，求证：f（x0）=x0 【考点】函数单调性的性质；反函数菁优网版 权所有 【专题】压轴题 【分析】 （1）已知函数 f（x）=x3ax 在1，+）上是单调函数，故 f（x）0 或0 在1， +）上恒成立，用分离参数求最值即可 （2）结合（1）中的单调性用反证法考虑 【解答】解： （1）f（x）=3x2a 若 f（x）在1，+）上是单调递减函数， 则须 y0，即3x2恒成立， 这样的实数 a 不存在， 故 f（x）在1，+）上不可能是单调递减函数； 若 f（x）在1，+）上是单调递增函数，则 a3x2恒成立， 由于 x1，+） ，故 3x23，解可得 a3， 又由 a0，则 a 的取值范围是 0a3； （2） （反证法）由（1）可知 f（x）在1，+）上只能为单调递增函数 假设 f（x0）x0，若 1x0f（x0） ，则 f（x0）f（f（x0） ）=x0，矛盾； （8 分） 若 1f（x0）x0，则 f（f（x0） ）f（x0） ，即 x0f（x0） ，矛盾，（10 分） 故只有 f（x0）=x0成立 【点评】本题考查函数单调性的应用：已知单调性求参数范围，及符合函数的求值问题，注 意反证法的应用 17 已知函数 y=x+ 有如下性质： 如果常数 a0， 那么该函数在 （0，上是减函数， 在， +）上是增函数 （）如果函数 y=x+（x0）的值域为6，+） ，求 b 的值； （）研究函数 y=x2+（常数 c0）在定义域内的单调性，并说明理由； （）对函数 y=x+ 和