数学一轮总第十八章不等式选讲训练检测PDF理新人教B

年高考年模拟 版（教师用书） 第十八章 不等式选讲 对应学生用书起始页码 考点一 不等式的性质和绝对值不等式 （ 山东， 分）不等式 的解集是 （ ） （，） （，） （，）（，） 答案 当 时，原不等式等价于 （），即 ， 当 时，原不等式等价于 （），即 ， 当 时，原不等式等价于 （），即 ，无解 综合知 （ 重庆， 分）若函数 （） 的最小值 为 ，则实数 答案 或 解析 当 时， （） （）， （） （）， ， （）， ， 当 时， （） （）， （） （）， ， （）， ， 综上， 或 （ 广东， 分）不等式 的解集为 答案 或 解析 原不等式等价于 ， （）（） 或 ， （）（） 或 ， （）（）， 解得 或 故原不等式的解集为 或 （ 江西，（）， 分）（不等式选做题）在实数范围内，不 等式 的解集为 答案 ， 解析 原不等式可转化为，故 ，解 得 ，故所求不等式的解集为， （ 陕西， 分） （不等式选做题） 若存在实数 使 成立，则实数 的取值范围是 答案 解析 由 ，得 ，解得 本题考查含绝对值不等式的性质 （ 课标全国， 分）选修 ：不等式选讲 已知函数 （） （）画出 （）的图象； （）求不等式（） 的解集 解析 （）（） ， ， ， ， ， （ 分） （）的图象如图所示（ 分） （）由 （）的表达式及图象，当 （） 时，可得 或 ； （ 分） 当 （） 时，可得 或 ，（ 分） 故 （ ） 的解集为 ； （） 的解集为 或 （ 分） 所以（） 的解集为 或 或 （ 分） 本题考查选修 部分不等式的内容其中对不 等式与函数、方程的关系，进行了重点考查本题第（）问中 对分段函数的描述是解第（）问不等式的关键，完美地展示 了函数、方程、不等式之间的关系 （ 课标全国， 分）选修 ：不等式选讲 已知函数 （） 第十八章 不等式选讲 （）当 时，求不等式 （） 的解集； （）设函数 （） 当 时， （）（），求 的 取值范围 解析 （）当 时， （） 解不等式 得 因此 （） 的解集为（ 分） （）当 时， （）（） ， 当 时等号成立，所以当 时， （）（） 等价于 （ 分） 当 时，等价于 ，无解 当 时，等价于 ，解得 所以 的取值范围是，） （ 分） 方法总结 （）解含一个绝对值不等式利用（） （） 求解即可； （）解决 （）（） 恒成立，只需 （）（）的最小值 即可，利用来求最值即可 本题主要考查了绝对值不等式的解法及不等式恒 成立问题，要 （）（） 恒成立，只需 （）（）的最小 值 即可 （ 江苏， 分）选修 ：不等式选讲 设 ， ， ，求证： 证明 因为 ， ， 所以 （）（） （ 课标， 分）选修 ：不等式选讲 已知函数 （） ， （）当 时，求不等式 （） 的解集； （）若 （）的图象与 轴围成的三角形面积大于 ，求 的取 值范围 解析 （）当 时， （） 化为 当 时，不等式化为 ，无解； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 当 时，不等式化为，解得 所以 （） 的解集为 （ 分） （）由题设可得， （） ， ， ， 所以函数 （）的图象与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ()，（，），（，）， 的面积为 （） 由题设得 （） ，故 所以 的取值范围为（，） （ 分） （ 陕西， 分）选修 ：不等式选讲 已知关于 的不等式 的解集为 （）求实数 ， 的值； （）求 的最大值 解析 （）由，得， 则 ， ， 解得 ， （） （ ） （ ） （ ） ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故（ ） （ 课标， 分）选修 ：不等式选讲 设函数 （） （） （）证明：（）； （）若 （），求 的取值范围 解析 （） 证明：由 ，得 （） （） 所以 （） （）（） 当 时， （） ，由 （） 得 当 时， （） ，由 （） 得 综上， 的取值范围是 ， 本题考查了含绝对值不等式的解法，考查了分类 讨论思想 以下为教师用书专用（） （ 福建，（）， 分）选修 ：不等式选讲 设不等式（）的解集为 ，且 ， （）求 的值； （）求函数 （） 的最小值 解析 （） 因为 ，且 ，所以 ，且 ，解得 又因为 ，所以 （）因为（）（） ， 当且仅当（）（），即 时取到等号，所以 （）的最小值为 评析 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运 算求解能力，考查化归与转化思想 （ 江苏， 分）选修 ：不等式选讲 解不等式 年高考年模拟 版（教师用书） 解析 原不等式可化为 ， 或 ， 解得 或 综上，原不等式的解集是 或 评析 本小题主要考查含绝对值不等式的解法，考查分类 讨论的能力 考点二 不等式的证明 （ 课标全国， 分）选修 ：不等式选讲 已知函数 （） ， 为不等式 （） 的 解集 （）求 ； （）证明：当 ， 时， 解析 （）（） ， ， ， ， ， （ 分） 当 时，由 （） 得，解得 ；（ 分） 当 时， （）；（ 分） 当 时，由 （） 得 ，解得 （ 分） 所以 （） 的解集 （ 分） （）证明：由（）知，当 ， 时，从而（ ） （） （）（） 因此（ 分） 方法总结 解含有两个绝对值的不等式问题主要采用零点 分段法求解，另外，若所证不等式的两边均为非负数，则先把 两边平方，然后利用作差法求解 本题考查绝对值不等式的解法及不等式的证明， 考查分类讨论的思想属中档题 （ 湖南，（）， 分）选修 ：不等式选讲 设 ，且 证明： （）； （） 与 不可能同时成立 证明 由 ，得 （）由基本不等式及 ，有 ，即 （）假设 与 同时成立，则由 及 得 ；同理，从而 ，这与 矛盾故 与 不可能同时成立 本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的 解法、反证法等知识难度不大 （ 江苏， 分）选修 ：不等式选讲 已知 ，证明：（）（） 证明 因为 ， 所以 ， ， 故（）（） （ 福建，（）， 分）选修 ：不等式选讲 已知函数 （） ，且 （） 的解集为 ， （）求 的值； （）若 ， ，且 ，求证： 解析 （）因为 （） ， （） 等价于 ，由 有解，得 ，且其解集为 又 （） 的解集为，故 （）证明：由（）知 ，又 ， ，由柯西不等 式得 （） () 本小题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基 础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想 以下为教师用书专用（） （ 天津， 分）已知 和 均为给定的大于 的自然 数设集合 ，集合 ， （）当 ， 时，用列举法表示集合 ； （）设 ， ， ，其中 ， 证明：若 ，则 解析 （）当 ， 时， ， 可得， （）证明：由 ， ， ， 及 ，可得 （ ）（ ）（ ） （ ） （）（）（） （）（ ） 所以 评析 本题主要考查集合的含义与表示，等比数列的前 项和公式，不等式的证明等基础知识和基本方法考查运算能 力、分析问题和解决问题的能力 第十八章 不等式选讲 对应学生用书起始页码 考点名称常考题型考查难度命题角度关联考点预测热度考题统计（课标卷） 一、不等式的性质和 绝对值不等式 解答题 能利用三个正数的算术 平均几何平均不等式 证明一些简单的不等式， 解决最大（小）值的问题； 了解基本不等式的推广 形式（ 个正数的形式）； 理解绝对值三角不等式 的代数证明和几何意义， 能利用绝对值三角不等 式证明一些简单的绝对 值不等式； 掌握 ， ， ， 型不等式 的解法 绝对值的几何意 义，三角不等式的 几何意义及成立 的条件； 掌握几个重要不 等 式： 基 本 不 等 式、平均数定理、 绝 对 值 三 角 不 等式 课标， 分 二、不等式的证明选择题解答 了解证明不等式的基本 方法：比较法、综合法、分 析法、反证法、放缩法，并 能利用它们证明一些简 单不等式； 能够利用三维的柯西不 等式证明一些简单不等 式， 解 决 最 大 （ 小） 值 问题； 理解数学归纳法的原理 及其使用范围，会用数学 归纳 法 证 明 一 些 简 单 问题 证明不等式的方法 及柯西不等式 课标全国 ，分 课标 ，分 对应学生用书起始页码 不等式的性质和绝对值不等式 （）解绝对值不等式的基本思想 解绝对值不等式的基本思想是去绝对值符号，常采用的方 法是讨论符号或平方，例如： （）若 ，则； （） （） （）（）（）（）； （） （） （）（）（）或 （）（） （）注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题 ； ，注意等号成立的条件 几个重要的不等式 （） （，），当且仅当 时取等号 （）基本不等式： （，），当且仅当 时取 等号 （）平均数定理： （，），当且仅当 时取等号 （ ） （，），当且 仅当 时取等号 （）绝对值三角不等式 定理 ：（，），当且仅当 时等 号成立； 定理 ：如果 ，那么 ，当且 仅当（）（） 时，等号成立； 注意：含绝对值的三角不等式 中，对于等号成立的条件应注意： 中， ，而 中， 等 柯西不等式 （）一般形式：设 ，为实数，则（ ）（ ）（ ） 当且仅当 ，或存在一个实数 ，使得 （，）时，等号成立 （）二维形式的柯西不等式： 代数形式：设 ， 均为实数，则（ ）（ ） （） 上式等号成立 向量形式：设 ， 为平面上的两个向量，则 当且仅当 是零向量或存在实数 ，使 时，等号成立 三角形式：设 ，则 （ ） （ ） ，其几何意义是三角形两边之和大于第 年高考年模拟 版（教师用书） 三边 注意：不等式成立的条件要准确把握，如 （， ），（，），柯西不等式中 ，（ ，）均 为实数等 不等式的证明 （）综合法：从命题的已知条件出发，利用 公理 、 定义 及 定 理 ，逐步推导，从而最后导出要证明的命题 （）分析法：从需要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的 充分条件 ，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定 义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立 （）反证法：首先假设要证明的命题是 不正确的 ，然后利用 公理、定义、定理、性质等，逐步分析，得到和 命题的条件 （或已证 明过的定理、性质，明显成立的事实等）矛盾的结论，以此说明假 设的结论 不成立 ，从而证明原来的结论正确 （） 放缩法：将所需证明的不等式的值适当 放大 （或 缩小 ）使它由繁到简，达到证明目的如果所要证明的不等式中 含有分式，把分母放大，则相应分式的值 缩小 ，把分母缩小，则 分式的值 放大 （） 若 ， ， ， ， 则 （ ） （ ） （ ） ，等号成立 （）设 ， 为平面上的两个向量，则 ，当 且仅当 是 零向量 ，或存在实数 ，使 时，等号成立 （） 设 ， ， ， 为 实 数， 则 （ ） （ ） ，等号成立 存在非负实数 ，使得 ， （）设平面上三点坐标为 （，）、（，）、（，）， 则（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ，其几何意义： （）一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 的 所有正整数 都成立时，可以用以下两个步骤： （）证明当 取初始值 时命题成立； （）假设当 时命题成立，证明 时命题也成立 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于从初始值 开始 的所有自然数都成立这种证明方法称为数学归纳法 对应学生用书起始页码 方法 绝对值不等式的解法 形如（或）（）型的不等式主要有三种 解法： 零点分段讨论法：含有两个或两个以上绝对值符号的不 等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等 价的不含绝对值符号的不等式（组），一般步骤是： （）令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根； （）将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个 区间； （）在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符 号，求所得的各不等式在相应区间上的解集； （）这些解集的并集就是原不等式的解集 利用绝对值的几何意义 由于与分别表示数轴上与 对应 的点到与 ， 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如 （）或（）的不等式，利用绝 对值的几何意义求解更直观 数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的 两个函数的图象，利用函数图象求解 （ 辽宁， 分）选修 ：不等式选讲 已知函数 （） ，其中 （）当 时，求不等式 （）的解集； （）已知关于 的不等式 （） （） 的解集为 ，求 的值 解析 （）当 时， （） ， ， ， 当 时，由 （）得，解得 ； 当 时， （）无解； 当 时，由 （）得 ，解得 ， 所以 （）的解集为 或 （ 分） （）记 （） （）（）， 则 （） ， ， ， 由（） ，解得 又已知（） 的解集为，所以 ， ， 于是 （ 分） （ 贵州一模， 分）已知函数 （） （）当 时，求不等式 （） 的解集； （）若 （） 对任意 恒成立，求实数 的取值 范围 解析 （） 时， （） 即为 当 时，不等式即为 ，解得 当 时，不等式即为 ， ， 舍去 当 时，不等式即为 ， ，即 综上，当 时， （） 的解集为 或 （ 分） 第十八章 不等式选讲 （）（） 对任意 恒成立，即为 对任意 恒成立， 令 （） ， ， ， 数形结合可得 ， ，故 的取值范围是，） （ 分） 方法 基本不等式的应用 基本不等式的应用主要集中在解决最值问题、不等式恒成 立、存在性问题及参数的求解问题 解含参数的不等式存在性问题时，只要求出存在满足条件 的 即可不等式的解集为 是指不等式的恒成立问题，而不等 式的解集为的对立面也是不等式的恒成立问题（如 （） 的 解集是空集，则 （） 恒成立），此两类问题都可转化为最值 问题，即 （） 恒成立 （）， （） 恒成立 （） （ 课标， 分）选修 ：不等式选讲 若 ，且 （）求 的最小值； （）是否存在 ，使得 ？ 并说明理由 解析 （）由 ，得 ，且当 时等号成立 故 ，且当 时等号成立 所以 的最小值为 （）由（）知， 由于 ，从而不存在 ，使得 （ 云南富宁二模， 分） 已知函数 （） ，（） （）当 时，求不等式 （）（）的解集； （）设 ，且当 ， )时， （）（），求 的 取值范围 解析 （）当 时，不等式 （）（）化为 设函数 ，则 ， ， ， ， ， 其图象如图所示 从图象可知，当且仅当 （，）时，所以原不等式的 解集是 （）当 ， )时， （） 不等式 （）（）化为 ， 所以 对 ， )恒成立 故 ，即 从而 的取值范围为 ， ( 方法 不等式的证明 不等式证明的常用方法有：（）比较法；（）综合法；（）分 析法；（）反证法；（）放缩法；（）数学归纳法；（）换元法；（） 导数与积分法；（）构造法 （ 课标， 分）选修 ：不等式选讲 设 ， 均为正数，且 ，证明： （）若 ，则 ； （） 是的充要条件 证明 （）因为（ ） ，（ ） ， 由题设 ， 得（ ） （ ） 因此 （）（）若，则（） （）， 即（） （） 因为 ，所以 由（）得 （）若 ，则（ ） （ ）， 即 因为 ，所以 于是 （） （）（）（） 因此 综上， 是的充要条件 （ 课标全国， 分）选修 ：不等式选讲 设 ， 均为正数，且 ，证明： 年高考年模拟 版（教师用书） （） ； （） 证明 （）由 ， ， 得 由题设得（） ， 即 所以 （）， 即 （）因为 ， ， ， 故 （）（）， 即 所以 方法 柯西不等式的应用 很多重要不等式的证明和求最值都可以由柯西不等式导 出，常利用常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等方式利用柯西 不等式 （ 福建，（）， 分）已知定义在 上的函数 （） 的最小值为 （）求 的值； （）若 ， 是正实数，且满足 ，求证： 解析 （） （）（） ， 当且仅当 时，等号成立， （）的最小值等于 ，即 （）证明：由（）知 ， 又因为 ， 是正实数， （ ）（ ）（） （）， 即 （ 四川成都质检）设 ，且 ， ，则 的最小值为 答案 解析 由柯西不等式得（ ）（ ）（），即 （ ），（ ）， 所以 的最小值为 对应学生用书起始页码 组 年高考模拟基础题组 时间： 分钟 分值： 分 一、选择题（每题 分，共 分） （ 山东菏泽模拟，）不等式 的解集是 （ ） ， （，） （，） 答案 解法一：当 时， 不成 立，可排除 ，当 时， 成立，可 排除 ，故选 解法二：当 时，不等式 可化为（） （）， 解得 ； 当 时，不等式 可化为（）（ ） ，恒不成立； 当 时，不等式 可化为（）（） ， 解得 ，故不等式 的解集为（， ，），故选 （ 安徽安庆二模，）已知 ， ，则 的最小值为（ ） 答案 由 ，得 ，则 ，故选 二、填空题（每题 分，共 分） （ 山东临沂河东一模，）函数 （，）的图象 恒过定点 ，若点 在直线 （）上，则 的最小值为 答案 解析 由已知可得定点 的坐标为（，），点 在直线 上， ， 又 ， ， ()（） ， 当且仅当 时取等号 故答案为 第十八章 不等式选讲 （ 广东广州一模，）不等式 的解集是 答案 或 解析 当 ，即 时，不等式恒成立； 当 ，即 时，不等式可化为（） （），化简 得 ，解得 或 ， 或 ，故 所求不等式的解集是 或 三、解答题（共 分） （ 广州二模，）已知函数 （） （ ） （）当 时，求函数 （）的定义域； （）若关于 的不等式 （） 的解集是 ，求实数 的最 大值 解析 （）由题设知：， 当 时，得 ，解得 ； 当 时，得 ，无解； 当 时，得，解得 函数 （）的定义域为（，）（，） （）不等式 （），即， 时，恒有（）（） ， 又不等式 的解集是 ， ，即 的最大值为 （ 广西一模，）设函数 （） （）当 时，解不等式 （）； （）若 （） 的解集为， （，），求证： 解析 （）当 时，原不等式可转化为 ， ， 或 ， 或 ， ， 或 不等式的解集为（，） （）证明：（），即，解得 ， （） 的解集是， ， ， 解得 ，所以 （，）， （） () (当且仅当 ， 时取等号) （ 陕西一模，）已知函数 （） （）求不等式 （） 的解集； （）若关于 的不等式 （）的解集不是空集，求实数 的取值范围 解析 （）（） 等价于 ， （）（） 或 ， （）（） 或 ， （）（）， 或 或 ， 不等式 （） 的解集为 （）（） （）（） ， 由题意得， 或 ， 实数 的取值范围为（，）（，） （ 东北三校一模，）设函数 （） （）解不等式 （）； （）若，使得 （），求实数 的取值范围 解析 （）当 时，（） ， （）， ，解得 ，又 ， ； 当 时，（） ， （）， ，解得 ，又 ， ； 当 时，（） ， （）， ，解得 ，又 ， 综上，不等式 （） 的解集为 ， ()（，） （）（） ， ， ， ， ， （） () ，使得 （）， （） ， 整理得 ，解得