数学终极压轴 文海南卷

高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 KS5U2011 年高考终极压轴海南卷 数学（文科） KS5U2011 年高考终极压轴海南卷 数学（文科） 注意事项： 1本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指 定的位置，在试题卷和其它位置解答无效 2本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 参考公式： 样本数据 1 x， 2 x， n x的标准差 锥体体积公式 222 12 1 ()()() n sxxxxxx n 1 3 VSh 其中x为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 VSh 2 4SR， 3 4 3 VR 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 第卷 选择题 一选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用 2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效) 1若集合的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不 必要条件 【答案】【答案】A 【解析】 【解析】若 a=2，则 A=3，4，可得 AB=4；若 AB=4，则 a =4，可得 a=2，所 以“a=2”是“AB=4”的充分不必要条件 2复数= Ai B. i C. l D. 1 【答案】【答案】B 【解析】 【解析】 由题可知，故选 B。 3如果等比数列an中，a3a4a5a6a7=42，那么a5= 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 A2 B2 C2 D2 【答案】【答案】B 【解析】 【解析】依题意得 5 5 a= 2 5 2，a5=2，选 B 4已知平面向量a a=(1，-3)，b b=(4，-2)，若a a-b b与a a垂直，则实数= A-1 B1 C-2 D2 【答案】【答案】B 【解析】 【解析】 依题意得a a-b b=(-4， -3+2)， (a a-b b)a a=(-4， -3+2) (1， -3)=-4-3(-3 +2)=10-10=0，=1，选 B 5某大学有包括甲、乙两人在内的 5 名大学生，自愿参加 2010 年上海世博会的服务，这 5 名大学生中 3 人被分配到城市足迹馆，另 2 人被分配到沙特馆如果这样的分配是随机 的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是 A 5 1 B 5 2 C 5 3 D 5 4 【答案】【答案】B 【解析】 【解析】依题意得，甲、乙两人被分到同一馆的概率是 2 5 2 3 2 2 C CC = 5 2 ，选 B 6如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如 图，则该几何体的全面积为 A143 B6+23 C12+23 D16+23 【答案】【答案】C 【解析】 【解析】依题意得，该几何体是一个底面为正三角形(其中一边上的高为3，边长为 2)、 侧棱垂直于底面的三棱柱(其中侧棱长为 2)，因此该几何体的全面积是 2 2 1 23+3 22=12+23，选 C 7函数 f(x)= ) 2 0(cos2 0)(-22 xx xx 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 A3 B 2 7 C4 D 2 9 【答案】【答案】C 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 【解析】【解析】依题意得，所求封闭图形的面积等于 2 1 22+ 2 0 (2cosx)dx=2+2sinx| 2 0 =4，选 C 8要得到函数 f(x)=sin(2x+ 3 )的导函数 f(x)的图象，只需将 f(x)的图象 A向左平移 2 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) B向左平移 2 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 1 倍(横坐标不变) C向左平移 4 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) D向左平移 4 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 1 倍(横坐标不变) 【答案】【答案】C 【解析】 【解析】依题意得 f(x)=2cos(2x+ 3 )，先将 f(x)的图象向左平移 4 个单位得到的是 y=sin2(x+ 4 )+ 3 =cos(2x+ 3 )的图象；再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 变)得到的是y=2cos(2x+ 3 )的图象因此选 C 9函数 f(x)在定义域 R R 内可导，若 f(x)=f(2-x)，且当x(-，1)时，(x-1)f(x) 0，设a=f(0)，b=f( 2 1 )，c=f(3)，则 Aabc Bcba Ccab Dbca 【答案】【答案】C 【解析】 【解析】依题意得，当x1 时，有 f(x)0，f(x)为增函数；又 f(3)=f(-1)，且-10 2 1 1，因此有 f(-1)f(0)f( 2 1 )，即有 f(3)f(0)f( 2 1 )，cab，选 C 10已知等差数列an满足a2=3，a5=9，若数列bn满足b1=3，bn+1= n b a,则bn的通项公式 为bn= A2 n-1 B2n+1 C2 n+1-1 D2n-1+2 【答案】【答案】B 【解析】 【解析】设等差数列an的公差为 d，则有 d= 25 25 aa =2，an=a2+(n-2)d=2n-1；又bn+1= n b a， 因此有bn+1=2bn-1，bn+1-1=2(bn-1)，而b1-1=20，因此数列bn-1是首项为 2、公比为 2 的等比数列，于是有bn-1=22 n-1=2n，b n=2 n+1，选 B 11已知双曲线 169 22 yx =1，过其右焦点 F 的直线交双曲线于P、Q 两点，PQ 的垂直平分 线交x轴于点M，则 | | PQ MF 的值为 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 A 3 5 B 6 5 C 4 5 D 8 5 【答案】【答案】B 【解析】 【解析】依题意，将直线PQ 特殊化为x轴，于是有点P(-3，0)、Q(3，0)、M(0，0)、F(5， 0)， | | PQ MF = 6 5 ，选 B 12已知定义域为 D 的函数 f(x)，若对任意xD，存在正数M，都有|f(x)|M成立，则 称函数 f(x)是定义域 D 上的“有界函数” 已知下列函数：f(x)=sin xcos x+1； f(x)= 2 1x；f(x)=1-2 x；f(x)=lg x x 1 1 其中“有界函数”的个数是 A1 B2 C3 D4 【答案】【答案】B 【解析】 【解析】对于，f(x)= 2 1 sin 2x+1 2 1 ， 2 3 ，因此有|f(x)| 2 3 ，该函数是“有界函 数” 对于，f(x)= 2 1x0，1，因此有|f(x)|1，该函数是“有界函数” 对于 ，f(x)=1-2 x(-，1)，此时|f(x)|的值可无限的大，因此该函数不是“有界函数” 对 于，函数 f(x)的定义域是(-1，1)，且当x(-1，1)时，y= x x 1 1 =-1+ x1 2 的值域是(0， +)，因此函数 f(x)的值域是 R R，此时|f(x)|的值可无限的大，因此该函数不是“有界函 数” 综上所述，其中是“有界函数”的共有 2 个，选 B 第卷 非选择题 二填空题： （本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中的指定位置） 13已知双曲线 22 1 2 xy a 的一个焦点坐标为3 0（-， ），则其渐近线方程为_ 【答案】【答案】2yx 【解析】 由a23，可得a1，双曲线方程为 2 2 1 2 y x ，其渐近线方程为 0 2 y x，即2yx 故填2yx 14已知函数 2 22 ( ) 212 x xaxx f x x ， ， ，若f（f（1） ）3a 2，则 a的取值范围是_ 【答案】【答案】 （1，3） 【解析】 由题知，f（1）213，f（f（1） ）f（3）3 26a，若 f（f（1） ） 3a 2，则 96a3a2，即 a 22a30，解得1a3故填（1，3） 15已知f（x）是定义在 R R 上不恒为零的函数，对于任意的x，yR R，都有f（xy） xf（y）yf（x）成立数列an满足anf（2 n） （nN N*） ，且 a12则数列的通项公 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 式为an_ 【答案】【答案】n2 n 【解析】 令x2，y2 n1，则 f（xy）f（2 n）2f（2n1）2n1f（2） ，即 f （2 n）2f（2n1）2n1a 1，即an2an12 n， 1 1 1 2 2 n nn n aa ，所以数列 2 n n a 为等差数列， 由此可得ann2 n 16下列四个命题： 命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0” ； 若命题:Rpx ，x 2x10，则 :Rpx ，x 2x10； 若命题“P”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题； 命题“若 0a1，则 1 log (1)log (1) aa a a ”是真命题 其中正确命题的序号是_ （把所有正确命题序号都填上） 【答案】【答案】 【解析】对于，原命题的否命题是“若a0，则ab0” ，所以错；易知正确；对 于，命题“P”是真命题，则命题p是假命题，又命题“p或q”为真命题，则命题q一定 是真命题，所以正确；对于，若 0a1，则 1 1 a ， 1 a a ， 1 11a a ， 1 11log1 aa oga a （）（），所以错故填 三解答题： （本大题共 5 小题，共 60 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请 将答题的过程写在答题卷 中指定的位置） 17 （本小题满分 12 分） 在ABC中， 内角A，B，C所对边长分别为,a b c，8AB AC ，BAC，4a. (1)求bc的最大值及的取值范围； (2)求函数 22 ( )2 3sin ()2cos3 4 f 的最值. 【解析】【解析】 (1)AB AC 8， BAC， bccos8， 又a4,b 2c22bccos 4 2, 即b 2c232 (2 分) 又b 2c22bc，bc16，即 bc的最大值为 16, (4 分) 而bc cos 8 ， cos 8 16，cos 2 1 ,又 0，所以 0 3 .(6 分) 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 (2)f()23sin 2( 4 )2cos 2 331cos( 2 2)1cos2 33sin2cos212sin(2 6 )1.(9 分) 0 3 , 6 2 6 5 6 , 2 1 sin(2 6 )1.(10 分) 当 2 6 5 6 ，即 3 时，f()min2 2 1 12.(11 分) 当 2 6 2 ，即 6 时，f()max2113.(12 分) 18.（本小题满分 12 分） 袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1 的小球 1 个， 标号为 2 的小球 n 个。已知从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号是 2 的小球的概率是 （I）求 n 的值； （II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取 出的小球标号为 b。 记事件 A 表示，求事件 A 的概率； 在区间0，2内任取两个实数，求事件的概率。 【解析】【解析】（I）由题意可知： （II）两次不放回抽取小球的所有基本事件为： 共 12 个 事件 A 包含的基本事件为：共 4 个 记“恒成立”为事件 B 则事件 B 等价于， （x，y）可以看成平面中的点 则全部结果所构成区域 而事件 B 所构成的区域 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAAB4，G 为PD中点，E点在AB上，平面PEC平面PDC. (1)求证：AG平面PCD； (2)求证：AG平面PEC； (3)求点G到平面PEC 的距离. 【解析】 【解析】(1)CDAD，CDPA， CD平面PAD CDAG， 又PDAG， AG平面PCD. (4 分) (2)作EFPC 于F，平面PEC平面PCD， EF平面PCD，又由(1)知AG平面PCD， EFAG，又AG 平面PEC，EF 面PEC， AG平面PEC (7 分) (3)由AG平面PEC 知 A、G两点到平面PEC 的距离相等，连接EF，由(2)知 A、E、F、G 四点共面，又AECD,AE平面PCD, AEGF， 四边形AEFG为平行四边形， AEGF (8 分) PAAB4， G为PD中点，FG 1 2 CD， FG2， AEFG2. (9 分) SAEC 2 1 4224, VPAEC 3 1 44 3 16 . (10 分) 又EFPC，EFAG2 2, P A G D C B E 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 11 4 3 2 24 6 22 EPC SPC EF ? , (11 分) 又 P AECA PEC VV ， 116 33 EPC Sh ? ，即4 616h ， 2 6 3 h . G点到平面PEC 的距离为 2 6 3 . (13 分) 20 （本小题满分 12 分） 如图,在直角坐标系xOy中,AiBiAi+1 (i=1,2,n,)为正三角形,|AiAi+1|=2i 1(i=1,2,3,n,). (1)求证:点B1,B2,Bn,在同一条抛物线上,并求该抛物线C的方程; (2)设直线l过坐标原点O,点B1关于l的对称点B在y轴上,求直线l的方程; (3)直线m过(1)中抛物线C的焦点F并交C于M、N,若(0),抛物线C的准线 n与x轴交于E,求证:与的夹角为定值. 【解析】 【解析】(1)设Bn(x,y),则 消去n得y 2=3x. 所以点B1,B2,Bn,在同一条抛物线y 2=3x 上. (2)解 1:由(1)得,所以, 因为点B与点B1关于直线l对称,则, 所以所求直线方程为 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 (3)设M,N在直线n上的射影为M,N, 则有: ,. 由于, 所以. 因为,所以 所以与的夹角为 90(定值) 21 （本小题满分 12 分） 已知函数y=f(x)的图象经过坐标原点,且f(x)=2x1,数列an的前n项和 Sn=f(n)(nN *). ()求数列an的通项公式; ()若数列bn满足an=log3bn,求数列bn的前n项和Tn. 【解析】【解析】（I）由，得. 的图象过原点， . （II）由，得 . . 四选考题(从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题 计入总分，满分 10 分. 请将答题的过程写在答题卷 中指定 的位置） 22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 第 22 题图 第 23 题图 如图，已知 PA与圆O相切于点A，半径OBOP，AB交PO于点C ()求证：PAPC； ()若圆O的半径为 3，5OP ，求BC的长度 23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 如图，已知点( 3,0)A，(0,1)B，圆C是以AB为直径的圆，直线l： cos, 1sin. xt yt （t为参数） （）写出圆C的普通方程并选取适当的参数改写为参数方程； （）过原点O作直线l的垂线，垂足为H，若动点M满足23OMOH ，当变化时， 求点M轨迹的参数方程，并指出它是什么曲 线 24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设 ln(|1|2| 3)f xxm x（mR） （）当1m时，求函数 f x的定义域； （）若当 7 1 4 x， 0f x恒成立，求实数m的取值范围 【解析】【解析】22 （）证明：连接OA， OAOB， OABOBA PA与圆O相切于点A， 90OAP90PACOAB OBOP， 90BCOOBABCOPAC 又BCOPCA ，PCAPAC PAPC 5 分 A CP B O A CP B O 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 （）解：假设PO与圆O相交于点M，延长PO交圆O于点N PA与圆O相切于点A，PMN是圆O割线， 2 () ()PAPM PNPOOMPOON? 5OP ，3OMON， 2 (53) (53)16PA ? 4PA 由（）知4PCPA541OC 在Rt OBC中， 222 9110BCOBOC 10BC 10 分 23解： （）圆圆C的普通方程为 22 31 ()()1 22 xy，改写为