数学考点专项突破不等式的综合应用讲义pdf

不等式的综合应用不等式的综合应用 教 师：苗金利 - 第 1 页 - 不等式的综合应用不等式的综合应用 一、知识热点及复习策略一、知识热点及复习策略 运用不等式解决函数、方程、数列、带有实际意义或在相关学科、生产、生活中的问题时，关键 在于把非不等式问题转化为不等式问题；在化归与转化中，要注意等价性；在应用均值不等式处理相 关问题时，有时要对式子的结构进行调整，创造所需形式。 运用不等式解决函数、方程、数列、带有实际意义或在相关学科、生产、生活中的问题时，关键 在于把非不等式问题转化为不等式问题；在化归与转化中，要注意等价性；在应用均值不等式处理相 关问题时，有时要对式子的结构进行调整，创造所需形式。 二、例题分析二、例题分析 例题 1、设0ab，证明： 22 ()() 828 ababab ab ab + . 例题 2、设, ,Ra b c + ，证明： （1） 3 2 abc bccaab + + . （2） 3 2()3() 23 ababc ababc + . - 第 2 页 - 例题 3、设yx,R+，a、b 是正常数，且1=+ y b x a ，求证：abbayx2+. 例题 4、a，bR且1 22 0）的值是最大值 为 12，求 23 ab +的最小值. 例题 8、过 P(1,0)做曲线 C:(0,),1) k yxxkNk + =+的切线，切点为 1 Q，设 1 Q在 x 轴上的 投影为 1 P，又过 1 P做曲线 C 的切线，切点为 2 Q，设 2 Q在 x 轴上的投影为 2 P，?，依次下去得 到一系列点 123 , n Q Q QQ?，设 n Q的横坐标为 n a，求证： （1） 1 n n k a k = ； （2）1 1 n n a k + ； （3） 2 1 n i i i kk a = 的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由. - 第 5 页 - 参考答案（部分） 参考答案（部分） 例题 1 22 ()() 828 ababab ab ab + 222 ()()() 828 ababab ab 2 222 2 ababab ab 2 abab ab + 1 ba ab 例题2 （1）设： bcx cay abz += += += 2 2 2 yzx a zxy b xyz c + = + = + = 原式左边= 16 3 22222 yzxxzyxyzyzxzxy xyzxyz + +=+ （2） 3 3 3 3 3 32 3 3 abababcabc abccab cabcabab cabab cab + + + + 证明：原式-2 得证 例题3x+y=(x+y)2 abbxay ababab xyyx +=+ 例题4a2+b21 可设 cos (01) sin ar r br = = ，则 222222222 11 2cos2cos sinsincos2sin22cossin 22 aabbrrrrr= - 第 6 页 - = 22 2sin022 4 rr 例题5设三次平价为x,y,z（元/kg） 33 axayazxyz x a + = 甲 ， 33 111 b x bbb xyzxyz = + 乙 又(x+y+z) 3 3 1111 33xyz xyzxyz + 3 111 3 xyz xyz + + xx 甲乙 答：若三次单价不全相同，则乙的均价低.若三次单价完全相同，则甲乙均价一样. 例题6设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，AOB= 解法1：S=4+16+ 11 sinsin 22 bcad+ 11 202cossin 22 bcad+ = 11 202sinsin202 4 1636 22 abcd +=+= (当且仅当abcd=时) Smin=36 解法2： S 4 BOCc a =； S 4 AODa c = S=4+16+ 416ca ac + 202 4 1636+= (当且仅当 416ca ac =时) Smin=36 例题7Z=ax+by(ab0) Z表示斜率为 a b 的截距的b倍，由3 60 20 xy xy = += 联立解得B(4，6)，Zmax=4a+6b=12则2a+3b=6 1323 23166 49 66 abba ababab + +=+=+ 2 125 (132 6 ) 66 += - 第 7 页 - 例题8.（1）证明：y=xk y=kxk1 则切线PnQn+1方程：y 1 11 kk nn ak a + =(xan+1) 过点Pn(an,0) 0- 1 111 () kk nnnn akaaa + = an+1=k(anan+1) 则 1 1 n n ak ak + = （常数） 又切线PQ1yak1= 1 11 () k kaxa 过点P(1，0)0 1 111 (1) kk akaa = a1= 1 k k 故 an是首项与公比为 1 k k 的等比数列 an= 1 n k k (2)由（1）an= 1 11 1 111 nnn kk kkk + =+ = 0101 111 .1 1111 n n nnnnn n CCCCC kkkk += + (3) 23 1 1111 123. n n i i ikkkk n akkkk = = + 231 1 11111 2.(1) nn n i i kikkkk nn kakkkk + = =+ 231 1 111111 . nn n i i ikkkkk n kakkkkk + = =+ 1 11 1 1 1 1 n n kk kk k n k k k + = 1 (1) 11 n k kk k - 第 8 页 - 2 1 n i i i kk a = 2且, p qN) 同时在 2 (1) k y x = 图象上 2 (1) p k a p = ，且 2 (1) q k a q = - 第 9 页 - 22 22 (1)(1) (1)(1) (1)!(1)! pq pq apa q pq = 11 (2)!(2)! pq