数学终极压轴 理安徽卷

高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 KS5U2011 年高考终极压轴年高考终极压轴安徽安徽卷卷 数数 学学 理理 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟 第第卷卷(选择题选择题 共共 50 分分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1i 是虚数单位，复数 z= i 23 i 32 的虚部是 A0 B-1 C1 D2 【答案答案】B 【解析解析】z=, i ) i 2()3( i 6i 9i 46 ) i 23)(i 23( ) i 23)(i 32( i 23 i 32 22 2 z 的虚部为-1,故选 B. 2设集合 P=3，log2a，Q=a，b，若 PQ=0，则 PQ= A3，0 B3，0，1 C3，0，2 D3，0，1，2 【答案答案】B 【解析解析】由 03,log2a,0a,b,得 a=1,b=0,所以 PQ=3，0，1，故选 B. 3已知向量 a（3，4） ，b（2，1） ，如果向量 ab 与 b 垂直，则 的值为 A 5 2 B 5 2 C 2 5 D 2 5 【答案答案】D 【解析】 a（3，4） ，b（2，1） ，ab（32，4） ，故 2（32） （4）0， 2 5 ，故选 D 4 “a1”是“函数 f（x）ax22x1 只有一个零点”的 A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D非充分非必要条件 【答案答案】B 【解析】 当 a1 时，f（x）x22x1（x1）2，故函数 f（x）只有一 个零点；由函数 f（x）ax22x1 只有一个零点可得 a0 或 a1，故“a1”是 “函数 f（x）ax22x1 只有一个零点”的充分不必要条件，选 B 5已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)=2xf(1)+ln x，则 f(1)= A-e B-1 C1 De 【答案答案】D 【解析解析】f（x）=2f（1）+ x 1 ，令 x=1，得 f（1）=-1，选 B。 6已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数，数列an是等差数列，a30，则 f(a1)+f(a3)+f(a5)的值 A恒为正数 B恒为负数 C恒为 0 D可正可负 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 【答案答案】A 【解析解析】不妨设等差数列an的公差 d0，若 a10，则 a5a3a10，由函数 f（x）为 R 上的增函数，知 f（a5）f（a3）f（a1）0,所以 f（a1）+f（a3）+f（a5）0,若 a10,则 a5+a1=2a30, a5-a10，由奇函数 f（x）为 R 上的增函数,知 f（a5）f（-a1）=- f（a1）, 所 以 f（a1）+ f（a5）0，又 f(a3)0，所以 f（a1）+ f（a3）+ f（a5）0,故选 A. 7 如图是 2011 年在某大学自主招生面试环节中， 七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 A84，4.84 B84，1.6 C85，1.6 D85，4 【答案答案】C 【解析解析】依题意得,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为 80+ 5 1 (4 3+6+7)=85,方差为 5 1 3(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2=1.6,选 C. 8已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象的一条对称轴是 x= 3 5 ，则函数 g(x)=asin x+cos x 的初相 是 A 6 B 3 C 6 5 D 3 2 【答案答案】D 【 解 析解 析 】 f (x)= cosx-asinx, x= 3 5 为 函 数 f(x) =sinx+acosx 的 一 条 对 称 轴 . f ( 3 5 )=cos 3 5 -asin 3 5 =0,解得 a=-)(, 3 3 xg 3 3 sinx+cosx= 3 32 (-xsin 2 1 xcos 2 3 )=) 3 2 sin( 3 32 x,故选 D. 9已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积是 A8 B 3 20 C 3 17 D 3 14 【答案答案】C 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 【解析解析】如图,截面为 EFB1D1,V=23- AEFDBA V 111 =23- 3 1 2(2+ 2 1 )- 3 1 12= 3 17 ,故选 C. 10在 1，2，3，4，5，6，7 的任一排列 a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质 的排列方式种数共有 A576 B720 C864 D1152 【答案答案】C 【解析解析】a7=6 与 a1=6 情形相同,若 a1=6,则 a2只能是 1、5、7 之一,有 3 种选法,对 a3、a4、a5、 a6、 a7,只需要使用范围 2、 4 不相邻即可,先安排另三个无限制条件的数字,有 A3 3种方法,再将 2、 4 插入,有 2 4 A种方法,共有 3 A3 3 2 4 A种排法; a6=6 与 a2=6 情形相同,若 a2=6,则 a1、a3只能是 1、5、7 之二,有 2 3 A种方法,对 a4、a5、a6、a7, 只需要使 2、 4 不相邻即可,先安排另两个无限条件的数字,有 2 2 A种方法,a1、 a6可任意安排,有 2 3 A 种排法,共有 2 3 A 2 2 A 2 3 A种排法, a3=6 与 a5=6 情景相同,若 a3=6,则 a2、 a4只能是 1、 5、 7 之二,有 2 3 A种方法,当 a1为 2、 4 之一时， 1 2 A种方法，a5、a6、a7可以任意安排,有 2 2 A种方法,当 a1、a6可以任意安排,有 2 2 A种方法,共有 2 3 A ( 2 2 2 2 3 3 1 2 AAAA)种排法. 若 a4=6,则 a3、a5只能是 1、5、7 之二,有 2 3 A种方法, 2、4 必分别在 a4的两侧,2 有 4 种安排方 法,4 有 2 种安排方法,其余两个数字任意安排,有 2 2 A种方法,共有 2 3 A42 2 2 A种排法. 所 以 对1,2,3,4,5,6,7的 排 列 , 使 得 相 邻 两 数 都 互 质 的 排 列 方 式 种 数 共 有23 A 3 3 2 4 A+ 2 3 A 2 2 A 2 3 A+ 2 3 A( 2 2 2 2 3 3 1 2 AAAA)+ 2 3 A42 2 2 A=864,故选 C. 第第卷卷(非选择题非选择题 共共 100 分分) 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在题中横线上 11已知平面直角坐标系 xOy 内，直线 l 的参数方程为 2 xt yt （t 为参数） 以 Ox 为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位） ，圆 C 的极坐标方程为 2 2sin 4 （），则直 线 l 和圆 C 的位置关系是_ 【答案答案】相切 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 【解析】 将直线 l 的参数方程化为普通方程得：xy20将圆 C 的极坐标方程化 为普通方程得： （x1）2（y1）22，故圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 2 2 ，故直 线 l 和圆 C 相切 12根据如图所示的程序框图，输出结果 i_ 【答案答案】7 【解析解析】由题意可知，i0，S660，S661056，i011，S560，S 561046，i112，S460，S461036，i213，S360，S 361026，i314，S260，S261016，i415，S160，S 16106，i516，S60，S6104，i617，S40，i7， 故输出结果 i7 13已知 x，y 满足 01 03 02 yx x y 则 4 62 x yx 的取值范围是_ 【答案答案】-1, 7 17 【解析解析】 4 62 x yx =1+2 4 1 x y ，设 k= 4 1 x y ，表示定点 P(4，1)与动点 N(x，y)连线的斜率， 点 N 在如图所示的三角形 ABC 的边界上或内部，A(-3，-4)，C(3，2)，kCP=-1kkAP= 7 5 ， 所以 4 62 x yx 1-2,1+ 7 10 =-1, 7 17 . 14设 F1、F2分别是椭圆 1625 22 yx =1 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为(6， 4)，则|PM|+|PF1|的最大值为_ 【答案答案】15 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 【解析解析】由椭圆定义|PM|+|PF1|=|PM|+25-|PF2|,而|PM|-|PF2|MF2|=5,所以|PM|+|PF1|2 5+5=15. 15对任意正整数 n，定义 n 的双阶乘 n！ ！如下： 当 n 为偶数时，n！ ！n（n2） （n4） 642； 当 n 为奇数时，n！ ！n（n2） （n4） 531 现有四个命题：（2011！ ！ ） （2010！ ！ ）2011！ ， 2010！ ！21005！ ，2010！ ！个位数为 0，2011！ ！个位数为 5 其中正确命题的 【答案答案】 【解析】 （2011！ ！ ） （2010！ ！ ） （2011 2009 5 3 1） （2010 2008 6 4 2） 2011！ ，正确；2010！ ！2010200820066422（1231005） 21005！ ，正确；2010！ ！2010200820066422（1231005） 21005！（21005） （2341004）2010 （2341004） ，正确； 2011！ ！ 2011 2009 5 3 1， 它的个位数等于 9 7 5 3 1 的个位数， 而 9 7 5 3 1 的个位数为 5，正确；选 D 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16(本小题满分 12 分) 已知 f(x)=ab-1，其中向量 a=(sin 2x，2cos x)，b=(3，cos x)，xR (1)求 f(x)的最小正周期和最小值； (2)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 f（ 4 A ）=3，a=213，b=8，求 边长 c 的值 【解析解析】 (1) f(x)=a b-1=(sin2x,2cosx) (3,cosx)-1=3sin2x+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+ 6 ),(4 分) f(x)的最小正周期为最小值为-2.(6 分) (2) f( 4 A )=2sin( 62 A )=3,sin( 2 A + 6 )= 2 3 ,又 A(0,), 2 A + 6 ( 6 , 3 2 ), 2 A + 6 = 3 ,A= 3 . (10 分) 由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA, 即 52=64+c2-8c,整理可得 c2-8c+12=0, 从而 c=2 或 c=6(12 分) 17(本小题满分 12 分) 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 中华人民共和国道路交通安全法中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次： “酒后 驾车”和“醉酒驾车” ，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q(简称血酒含量，单位是毫 克100 毫升)，当 20Q80 时，为酒后驾车；当 Q80 时，为醉酒驾车济南市公安局交 通管理部门于 2011 年 2 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次拦查行动， 共依法查出 了 60 名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分 布直方图(其中 Q140 的人数计入 120Q140 人数之内) (1)求此次拦查中醉酒驾车的人数； (2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究，再从 抽取的 8 人中任取 3 人，求 3 人中含有醉酒驾车人数 x 的分布列和期望 【解析解析】 （1）由已知得： （0.032+0.043+0.050）20=0.25,0.2560=15,所以此次拦查中醉酒驾 车的人数为 15 人.(4 分) (2)易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人,所以 x 的所有可能取值为 0，1，2 P(x=0)= 3 8 3 6 C C = 14 5 ,P(x=1)= 3 8 1 2 2 6 C CC = 28 15 ,P(x=2)= 3 8 2 2 1 6 C CC = 28 3 x 的分布列在: x 0 1 2 p 14 5 28 15 28 3 (10 分) Ex=0 14 5 +1 28 15 +2 28 3 = 4 3 . (12 分) 18(本小题满分 13 分) 如图 1，在直角梯形 ABCP 中，APBC，APAB， 1 2 2 ABBCAP，D 是 AP 的中 点，E、F、G 分别为 PC、PD、CB 的中点，将PCD 沿 CD 折起，使得 PD平面 ABCD，如图 2 （1）求三棱锥 DPAB 的体积； （2）求证：AP平面 EFG； （3）求二面角 GEFD 的大小 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 【解析】1） 1114 2 2 2 3323 D PABP DABABD VVSPD g （4 分） （2）如图，以 D 为原点，以 DA，DC，DP 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系 Dxyz 则 P（0，0，2） ，C（0，2，0） ，G（1，2，0） ，E（0，1，1） ，F（0，0，1） ，A（2，0， 0） 2 0 2010111APEFEG uuu ruuu ruuu r （， ， ），（ ， ， ），（， ， ） （6 分） 设平面 EFG 的一个法向量为 n（x，y，z） 00 00 0 n EFyxz xyzy n EG uuu r g uuu r g ，取 n=（1，0，1） （7 分） 120 0 1 20n APnAP uuu ruuu r g（）， （8 分） 又 AP平面 EFGAP平面 EFG （9 分） （3）由题易知底面 ABCD 是正方形， ADDC，又PD平面 ABCD，ADPD 又 PDCD D ， AD 平 面 PCD ， 向 量DA uuu r 是 平 面 PCD 的 一个 法 向 量 ， 2 0 0DA uuu r （ ， ， ） （11 分） 又由（2）知，平面 EFG 的一个法向量为 n（1，0，1） ， （12 分） 22 cos 2| |2 2 DA n DAn DAn uuu r uuu r g uuu r g ， （13 分） 结合图形知，二面角 GEFD 的大小为 45 （14 分） 19(本小题满分 12 分) 已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为 y= 3 4 x，右焦点 F(5，0)， 双曲线的实轴为 A1A2， P 为双曲线上一点(不同于 A1， A2)， 直线 A1P、 A2P 分别与直线 l： x= 5 9 交于 M、N 两点 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 (1)求双曲线的方程； (2)求证：FMFN为定值 如图， 椭圆长轴端点为 A， B， O 为椭圆中心， F 为椭圆的右焦点， 且1AF FB uuu r uuu r g，1OF uuu r （1）求椭圆的标准方程； （2）记椭圆的上顶点为 M，直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，问：是否存在直线 l，使点 F 恰 为PQM 的垂心？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【解析】 （1）设椭圆的方程为 22 22 10 xy ab ab （），则 c1 又1AF FB uuu r uuu r g，即（ac） （ac） 1a2c2，a22 故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y （6 分） （2）假设存在直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，且 F 恰为PQM 的垂心，则设 P（x1，y1） ，Q （x2，y2） ，M（0，1） ，F（1，0） ，故 kPQ1， （8 分） 于是设直线 l 为 yxm，由 22 22 yxm xy 得， 3x24mx2m220 （10 分） 1221 01112 ii MP FQx xy yyxm i uuu r uuu r Qg（）+ （），又（， ） 得 x1（x21）（x2m） （x1m1）0，即 2x1x2（x1x2） （m1）m2m0由 根与系数的关系得 2 2 224 210 33 mm mmm g（） ， 解得 4 3 m 或 m1（舍去） ，经检验 4 3 m 符合条件 （15 分） 20(本小题满分 13 分) 数列an满足 a1=2，an+1= n n n n an a 2) 2 1 ( 2 1 (nN*) 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 (1)设 bn= n n a 2 ，求数列bn的通项公式 bn； (2)设 cn= 1 ) 1( 1 n ann ，数列cn的前 n 项和为 Sn，求出 Sn并由此证明： 2 1 16 5 n S 【解析解析】(1)由已知可得 1 1 2 n n a = n n n an a 2) 2 1 ( ，即 1 1 2 n n a = n n a 2 +n+ 2 1 ，即 n n n n aa 22 1 1 =n+ 2 1 ，即 bn+1-bn=n+ 2 1 ， (3 分) b2-b1=1+ 2 1 ，b3-b2=2+ 2 1 ，bn-bn-1=(n-1)+ 2 1 ， 以上各式相加，得 bn-b1=1+2+3+(n-1)+ 2 1n = 2 1 2 1 2 ) 1( 2 nnnn 又 b1=1 2 22 1 a ，bn= 2 1 2 n +1= 2 1 2 n (6 分) (2)由(1)知 an= 1 22 2 1 nb n n n ， an+1= 1) 1( 2 2 2 n n ，