数学考点专项突破参数方程讲义pdf

解析几何与参数方程解析几何与参数方程 教 师：苗金利 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义 爱护环境，从我做起 提倡使用电子讲义 - 第 1 页 - 解析几何与参数方程解析几何与参数方程 定义：在确定的坐标系中，若 （1）曲线上任意一点的坐标（x,y）都是某个变数 t 的函数 ( ) ( ) xf t yg x = = ； （2）对于 t 的每一个允许值，由（1）所确定的点 M( , )x y都在曲线上； 则（1）中方程组就成为这条曲线的参数方程，t 叫参变数（简称参数）. 一、二次曲线参数方程一、二次曲线参数方程 1、圆的参数方程 2、椭圆的参数方程 3、双曲线的参数方程 4、抛物线的参数方程 5、参数方程的应用 问题 1： 求椭圆 22 1 3620 xy +=上的点到(2,0)M的距离的最小值. 6、摆线的参数方程 7、圆的渐开线的参数方程 . - 第 2 页 - 二、直线的参数方程及其应用二、直线的参数方程及其应用 1、直线参数方程的推导 问题 2：直线的参数方程中，参数t的意义？ （1）t的符号：相对于 000 (,)P xy的位置； （2）t的绝对值： 0 | | |P Pt=. 2、直线参数方程的变式： 三、例题分析三、例题分析 【例 1】求直线 1 3 24 xt yt = + = 的倾斜角. 【例 2】设直线l经过点(1,1)M，倾斜角为 6 . （1）写出直线l的参数方程； （2）求直线l与直线 1: 2 30lxy=的交点P的坐标及|PM； （3）已知直线l与圆 22 :4C xy+=交于两点A、B，求：AB中点坐标，|AMBM+， | |AMBM. - 第 3 页 - 【例 3】直线l经过点(1,3)A且与(2, 4)v = ? 共线，求点( 2, 1)P 到直线l的距离. 【例 4】已知椭圆 22 22 1 xy ab +=，求一组斜率为 m 的平行弦的中点的轨迹. 【例 5】 点 P 是线段 AB 上的一个动点， AB=a， 在 AB 同侧以 AP、 PB 为边分别作等边APM 和BPN， 求线段 MN 的中点 Q 的轨迹. 【例 6】过抛物线的顶点任作互相垂直的两条弦，交抛物线于两点，求证：这两点所连线段中点的轨 迹是抛物线. - 第 4 页 - 【例 7】定长线段两端在两互相垂直的定直线上移动，自端点作定直线的垂线交于一点，自此点作定 长线段的垂线，求垂足轨迹方程并画出轨迹示意图. 【例 8】 定圆直径 OA=2， 过 O 任作一直线交圆于 1 P， 交过 A 的该圆的切线于 212 ,/P PPOA P POA 交于 P. （1）求 P 的轨迹方程； （2）画出轨迹示意图并指出性质. - 第 5 页 - 参参 考考 答答 案案 问题 1、解：设 () 6cos ,2 5sinP ()() 2 2 22 6cos22 5sin36cos20sin24cos4PM=+=+ 2 2 315 16cos24cos244cos 416 =+=+ 当 3 cos 4 =时 min 15PM= 当cos1= 时 max 8PM= 例题1、解： 24 13 y x = + 4 tan 3 k= 4 arctan 3 = 例题2、解： （1） 3 1 2 1 1 2 xt yt = + = + （2） 将 3 1 2 1 1 2 xt yt = + = + 代入2 30 xy=得 31 2 30 22 t = () 2 331t =+ 62 3t =+ 则 () 43 3,43P+ 62 3PM =+ （3）将 3 1 2 1 1 2 xt yt = + = + 代入 22 4xy+= () 2 3120tt+= 显然0 () 12 12 31 2 tt tt += + = 1 2 2AMBMt t= 212 AMB Mtt+=() 2 121 2 4ttt t=+ = () 2 3142122 3+=+ AB中点坐标() 00 ,D xy () 12 12 0 3 2 13 2 224 tt xx x + + = 同理 () 12 12 0 1 2 33 2 224 tt yy y + + = 中点 13 33 , 44 D - 第 6 页 - 例题3、解：向量()2,4v = ? 的法向量 ()()4, 23, 4nPA= ? ? 22 128 2 5 42 PA n d n + = + ? ? ? ? 例题4、解：设 12 PP：ymxk=+代入 22 22 1 xy ab +=得( )() 2222222 20abxa mkxakb+= 0 令() 111 ,P xy () 222 ,P xy中点M(x, y) 2 12 222 2 xxa mk x a mb + = + 22 222222 a mkkb ymk a mba mb = += + 2 222 2 222 a mk x a mb kb y a mb = + = + （k为参数） 2 2 xa m yb = 2 2 b yx a m = 夹在椭圆内部的线段 例题5、解：以A为原点 以AB为x轴建立坐标系 则()0, 0A (), 0B a 令(), 0P t ()0,ta，t为参数 则 3 , 22 t Mt () 3 , 22 at Nat + (