数学高频考点02空间几何体的结构和三视图pdf

原创资料 编者：邓永生 新增考点新增考点 2 空间几何体的结构和三视图空间几何体的结构和三视图 【考情报告考情报告】 （高频知识点：空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积） 考查要点考查要点： （1）柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征； （2）三视图所表示的立体模型和斜二测直观图的画法； （3）球、柱、锥、台的表面积和体积的计算 （4）中心投影和平行投影及其三视图的画法 命题预测命题预测： 识别三视图所表示的空间几何体， 并能合理选择公式计算该几何体的体积或表面 积将是命题考查的热点。预测主要为选择题和填空题形式考查，难度为中档题，其命题的载 体多为正方体、长方体、直棱柱和棱锥等熟悉的几何体，特别是正方体、直棱柱和正棱锥的 相关性质，应引起足够的重视。考查分值：5 分。推荐指数： 【热点典例热点典例】 热点一：三视图还原计算 热点一：三视图还原计算 例 1、 （2009 山东卷理 4）一空间几何体的三视图如图所示，则 该几何体的体积为（ ） （A）223 （B）423 （C） 2 3 2 3 （D） 2 3 4 3 【答案【答案】C 【解析【解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面 半径为 1,高为 2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2. 3 【点评】【点评】给出某几何体的三视图，利用三视图，借助空间想象能力，将三视图还原为直观 图，是此类题求解的基本策略。以还原后的直观图进行几何体的体积或表面积计算，进行线 面位置关系的判定是此类题最终的呈现形式， 充分体现三视图也是立体几何问题的一种重要 的载体。 热点二：斜二测直观图的画法热点二：斜二测直观图的画法 例 2、已知一个四棱锥的高为，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边 长为 1 的正方形, 则此四棱锥的体积为 （ ） 3 1 原创资料 编者：邓永生 .A2 .B6 2 .C 1 3 .D2 2 【解析】如图： X 直观图还原为后的图形为底边长是 1，高是 Y Y X 2 2的平行四边形，其面积为2 2， 从而体积为： 11 2 2 32 2 33 VSh . 【答案】D 【点评】画水平放置的几何图形的直观图时应注意的问题：(1)要根据图形特点选取适当的 是直角画成角，以便简化作图步骤； （2）平于轴的线段在画直观图时坐标系，原来45行 一定要画成原来长度的一半，平行于 y x轴，轴的线段长度不变； （ ）对于图形中与z3x轴， y轴，z轴都不平行的线段，可通过端点的办法来解决。 热点三：热点三： 3、(2011 湖南雅礼中学第七次月考湖南雅礼中学第七次月考)将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 识别几何体的三视图识别几何体的三视图 ABC， ， 方向的侧视图（或称 例分别 何体如图 2，则该几何体按图 2 所示是GHI三边的中点）得到几 左视图）为（ ） 【答案【答案】 解析解析】解题时在图 2 的右边放扇墙（心中有墙 ） ，可得答案 A. 【 2 原创资料 编者：邓永生 【点评】识别几何体的三视图，既要求对三视图的基本知识有清楚的了解，又要求有较好的 4、 （2011 广东深圳）右图为一简单集合体，其底面 ABCD ，且 出该几何体的三视图； （2）求四棱锥EPD 的体积； 空间想象能力，是高考考查空间想象能力的基本题型之一。 热点四：热点四： 三视图的综合应用三视图的综合应用 例 正视图 侧视图 俯视图 为正方形，PD平面ABCD/ECPD 2PDADEC=2 . （1）画 BC （3）求证：/BE平面PDA 解析】 （1）该组合体的主视图和侧视图如右图示： )平面 P A B C D E 【 PDABCD(2，平面 平面平面 ABCD PDPDCE PDCE BCCD BC平面 PDCE 11 ()3 23 2 SPDECDC 梯形PDCE 四棱锥 BCEPD 的体积 2 11 3 22 33 B CEPDPDCE VSBC 梯形 . (3) 证明：/ECPD，PD平面， PDA 平面EPDAC/平面 PDA, EC 同理可得 BC/平面 EBC,BCE PDA EC平面平面BC 且BECCC 平面BECPDA /平面 /平面 PDA 【点评】本图集合体积的运要求考生很好理解三视图与直观 图系。 又BE平面 EBCBE/ 题考查了三视的画法，表面算， 之间的联 3 原创资料 编者：邓永生 【抢分专题训练】 1、 （2010 北京朝阳二模 3）一个几何体的三视图如图所示，则此几 何体的体积是（ ） （第 1 题图） 4 俯视图 正视图 侧视图 4 4 3 .112A .80B B 【解析】由三视图还原可知原几何体为一个立方体和一个椎体的组 合体，体的为 64锥体高为 3，则体积为 16，故几何 体的体积为. 、（2010 北京崇文二模）一个几何体的三视图如图所示， 这个几何体的体积等于( ) A (B .72C.64D 【答案】 立方体积，而的 80 2 则 ( )12)4 （C） 56 3 （D） 8 3 3 【解析】由三视图还可知该几原何体是一个四棱锥，底面是 一个直角梯形，锥体的高为 2， 故体积为 111 (24) 2 24VSh 【答案】B 体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ） A 332 3、 （2010 湖南长郡中学）某几何 3 16 B 3 20 C 40 5 D 3 答案：A 解析：由三视图可知，该几何体为一个圆锥和一个球的组合体， 球的半径为，故体积为 4 3 ，圆锥的底面圆半径为 2，高为 3， 则体积为 1112 43 333 Sh ，几何体的体积为 3 16 。 4、 （2008 山东卷理 6） 如图是一个几何体的三视图，根据图中 该几何体的表面积是 A B C D 【答案】【答案】D。 数据，可得 910 1112 4 原创资料 编者：邓永生 5 8 6 【解析【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为 SSSS 1221 3. 侧面积球表面积圆柱底面积 22 4112 【点评】【点评】本题考查了三视图与几何体的表面积。课标在要求“会判断简单物体的三视图”的 范围，要围绕直棱柱、圆柱、圆锥、球来组合。 5、已视图图 有 同时也提出“能根据三视图描述基本几何体或实物图形” ，当然要注意这些基本的几何体所 包括的 知某几何体的正与侧视图如2-1-1 所示，则在下列图形中，可以是该几何体一 的俯视图的图形 答案： 解析： 根据正视图和侧视图， 该空间几何体的上中下三部分都可以是正四棱柱和圆柱的组合， D 6、如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 ( ) 也都可以是一个正四棱柱被一个对角面截取的三棱柱， 但不可能是一个底面不是正方形的四 棱柱。由此分析可知都是可能的，也是可能的，但不可能，故选 （第 7 题图） A32 B16 C12 D8 【答案】C 【解析】由三视图知，该几何体是半径为 2 的半球体，其表面积 S12. 7某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形则该儿何体的 体积为( ) A24 B80 C64 D240 【答案】B 边长为 8 【解析】结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥的的底面是 5 原创资料 编者：邓永生 和 6 的长方形，棱锥的高是 5， 由棱锥的体积公式得 1 8 6 580V ，故选 B 8、已知某个几 3 何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，则这个几何体 的体积是 cm3. 答案】 3 4 【 【解析】由三视图还原可知得到一个锥体如图， 体积为 114 (2 2) 2 32 V 、 （2011 北京五中期中）如图是一个几何体的三视图，则该几 体的体积为 3 3 cm. 9 何 【答案】 3 7 【解析】根据三视图可知，该几何体是一个圆锥和圆柱的组合 则体 ， 故 体 积 可 看 成 柱 体 的 体 积 加 圆 锥 的 体 积 。 17 21 33 V 。 0. （2011 浙江调研）若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示， 体为一个圆台和半球组合而成， 故体积为， 又 1 俯视图 2 2 正视图 2 2 侧视图 1 则此几何体的体积是cm3 【解析】由三视图可得，该几何 VVV 台球 184 =16 + 164 +43= 33 V 242 3 4 2 2 4 正视图 俯视图 侧视图 (第 10 题) 台 （）； 3 14128 =4 =V 233 半球 ，故 212 =VVV 3 台球 。 212 3 【答案】 6 原创资料 编者：邓永生 11、一个四棱锥的三视图如图所示： （1）根据图中标出的尺寸画出直观图（不要求写画 法步骤） ； 2）求三棱锥 A-PDC 的体积； 3） 试在 PB 上求点 M， 使得 CM平面 PDA 并加 以证明。 （2）由三视图可知：底面 （ （ 【解析】 (1) PB ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，PB=BC=CD=1， ，AB=2 111 1 1 326 A PCDP C VV DA . 当 MPB 的中点时，CM平面 PDA. 取 PA 中点 N，连结 MN，DN，可证 MNCD，且 MNCD，CMDN， 故 CM平面 PDA. 1体 ABCED 的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为 4 的等腰 （3）为 又PADDN平面。CM平面PAD 2、已知几何 直角三角形，正视图为直角梯形.求： 面角 （1）异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值； （2）二AEDB 的正弦值； （3）此几何体的体积 V 的大小. 【解 在BAF 中，AB= 析】方法一（1）取 EC 的中点是 F，连结 BF， 则 BF/DE，FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角 4 2，BF=AF=2 5 10 cos 5 ABF 7 原创资料 编者：邓永生 10 5 异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为3 分 （2）AC平面 BCE，过 C 作 CGDE 交 DE 于 G，连 AG 可得 DE平面 ACG，从而 AGDE AGC 为二面角 A-ED-B 的平面角 在ACG 中，ACG=90，AC=4，CG= 8 5 5 5 tan 5 sin 3 AGC 2 AGC 5 二面角 AEDB 的正弦值为 3 6 分 （ ）3 1 16VSAC 3 BCED 为 1 方法二： （坐标法） （1）以 C 为原点，以 CA，CB，CE 所在直线为 x，y，z 轴建立空 间直角坐标系 2） 几何体的体积 V69 分 则 A（4，0，0） ，B（0，4，0） ，D（0，4，E（0，0，4） (0, 4,2),( 4,4,0)DEAB ， 10 cos,DE AB 5 异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为 10 5 3 分 （2）平面 BDE 的一个法向量为(4,0,0)CA ， ADE 的一个法向量为， 0令 设平面 ( , , )nx y z ,nAD nDE ( 4,4,2),(0, 4,2)ADDE 0,0n ADn DE 从而4420, 42xyzyz,1y ， 则(2,1,2)n , 2 cos,CA n 3 5 6 分 二面角 A-ED-B 的的正弦值为 3 （3） 1 16 3 BCED VSAC，体积 V 为 169 分 几何体的 8 原创资料 编者：邓永生 13、 （2011 山东四校联考）如图，已知正四棱柱DCBAABCD 1111 1 A 1 B 1 C A 1 D B C D E 1 D 1 A D A 4 2 与它的侧视图（或称左 视图） ，是上一点， 1 DDCBAE 1 E （2） 【解析】解：因为是正四棱柱，所以 （1）求证CDBAE平面； 1 求三棱锥ACDE 的体积 1111 DCBAABCD 11A ADDCD平面 2 分 ，所以 11A ADDAE平面AECD 3 分 为，又因B1CCAECBCD 1 ，所以CDBAE 1 平面 5 分 连接，因为，所以 DA1CDBAE 1 平面CBAE 1 6 分 所以DAAE 1 所以ADEADA1 8 分 所以 AD AA DE AD 1 9 分 1 4 22 DE 10 分 因为DCBAABCD 是正四棱柱，所以 1111 DE是三棱锥AECD的高11 分 三棱锥AE的体积CD 3 2 2 1 V所以 3 1 DECDAD ACDE 12 分 福建四地六校联考）一个多面体的直观图和三视图如下: (其中分别是中点) (1)平面 (2)求多的体积 【解析】三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且