新新学案系列高中数学2.1随机抽样学案新人教A必修3

统!计第二章 #! 学!习 札记! 第 二 章 !统!计 $ !随 随机机抽抽样样 $ ! ! ! ! !简单随机抽样 学习目标 #!理解简单随机抽样的两种方法! !会用抽签法和随机数法进行简单随机抽样! 第一课时 情境创设 #!新生儿性别比是指每百名出生女婴对应的出生男婴 数! 我国 ( ( (年第五次人口普查显示这一数值为# # 2! 2 ! 即当时平均每出生# ( (名女婴! 相对应地出生了近# (名男 婴! 这大大偏离了新生儿性别比为# ( %!# ( 5的正常范围!我 国异常偏高的出生人口性别比问题再次引起国内外专家 学 者的关注! 在分析我国出生人口性别比升高的原因时! 有关 专家指出! 造成这一现象的根本原因是我国普遍存在重男轻 女的社会性别观念! !在 高 考 阅卷过程中! 要统计每一道试题 的得分情 况! 如平均分 得分分布情况等!如果将所有考 生的每道 题的得分情况 都 统 计 出 来! 再 进 行 计 算! 结 果 是 非 常 准 确的! 但也是十 分 烦 琐 的! 那 么 如 何 了 解 各 题 的 得 分 情 况呢& 通常! 在考生很多的情况下! 我们是从中抽取部分考生 ) 比如#( ( (名* ! 统计他们的得分情况! 用他们的得分情况 去估计所有考生的得分情况!那么应当怎样去抽取样本才能 使所抽取的样本充分反映总体的情况呢& 合作探究 探究一!抽样调查的必要性和重要性 想一想! #!检验一批钢筋的强度! 能不能把这批钢筋全 部拉断& 如果检验产品的寿命和食品的质量问题呢& !在石油勘探与大气环境污染情况分析时! 直接研究可 能吗& 探究! 以检查钢筋的强度为例! 如果采用普查! 就需要对 这批钢筋中的每一根都要实施强度试验! 这样做就产生以下 后果# )#* 我们关心的是钢筋的质量! 想要判断这批钢筋是否 合格! 而普查使得这批钢筋报废! 偏离了我们检查的初衷! )* 普查工作量大! 要耗费大量的人力 物力 财力! 也需 要耗费大量的时间! )%* 即便有些问题可以进行普查! 但普查的工作量大 易 发生人为的操作失误! 影响获得数据的准确性! 故在现实工作中! 研究问题时! 往往采用抽取样本的方 式! 通过样本估计总体而达到研究总体的目的! 提 升 总 结 基于以下五点$ 说明了抽样在研究问题是必 要的! # 有些试验具有破坏性$ 只能研究样本而不能研究 总体! # 在现实生活中$ 由于资金* 时间有限$ 人力* 物力不 足$ 再加上不断变化的环境条件$ 做普查是不可能的$ 也是不 必要的!如调查城市居民出行情况! %# 有些情况下直接研究总体是不可能的$ 如总体是连 续或无限的! &# 由于受随机 因 素 的 影 响$ 即 便 直 接 研 究 总 体$ 得 到的结果 也 是 一 个 近 似 值$ 同 研 究 样 本 得 到 的 结 果 差 不多! # 某些特殊总体$ 要求具有相当资格的调查员才能进 行$ 为此只能采用抽样调查$ 例如对科学技术方面总体的 调查! 如何抽取样本$ 直接关系到对总体估计的准确程度$ 因 此抽样时要保证每一个个体都可能被抽到$ 每一个个体被抽 到的机会是均等的$ 满足这样的条件的抽样是随机抽样$ 才 是合理的! 问题! 如何进行数据的收集& 探究! 收集数据时应注意下列问题# )#* 必须清楚地知道要收集的数据是什么 )* 抽查样本的目的是为了了解总体的情况 )%* 要知道怎样才能收集到高质量的样本数据! 高质量 的样本数据来自$ 搅拌均匀% 的总体! 总之! 为了使样本具有好的代表性! 设计抽样方法时! 最重要 的是将总体$ 搅拌均匀% ! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 也就是使每个个体有相同的机会被 新新学案高中数学必修 人教实验#版# $! 学 习 札记 抽中! 提 升 总 结 # 总体* 个体 我们一般把所考察对象的某一数值指标的全体构成的 集合看做总体$ 构成总体的每一个元素称为个体!如$ 考察某 市高中生的身高$ 学生身高的全部数据就是总体$ 每一个学 生的身高就是个体! # 样本 研究总体的形状$ 当总体中包含的个体很多时$ 很难对 每一个个体进行考察!一个行之有效的办法就是从总体中随 机抽取若干个个体进行考察$ 这个由若干个个体构成的集合 叫做总体的一个样本! 温 馨 提 示 关于从总体中抽取样本的概念$ 应作较广义 的理解!例如$ 当在同一条件下进行# ( ( (次抛掷同一枚硬 币的试验时$ 其结果可以看成是从能进行很多甚至无限次这 种试验的结果组成的总体中抽取的一个容量为# ( ( (的样 本!类似的例子还有射击等! 例! ( # (年! 某市有2 ( ( (名高中毕业生参加高考! 为了考察他们的数学成绩情况! 评卷人抽取了其中#( ( (名 考生的数学成绩进行统计! 则下列四个判断正确的是)!* *!每名考生的数学成绩是个体 +! 2 ( ( (名考生是总体 ,! #( ( (名考生是总体的一个样本 -! #( ( (名是样本容量 跟踪练习! 在下列调查项目中! 适宜用抽样调查的 是)!* !中学生是否喜欢阅读大学生 中学生写的小说 $ 五一% 期间! 乘坐火车的人比平时多很多! 铁路部门 要了解所有旅客是否都是购票乘车的 #即将进入市场的大量猪肉是否符合防疫标准 $全国观众对中央电视台$ 春节联欢晚会% 的满意程度! *! $!+! #$!,! #!-! !$ 探究二!抽样调查的优点与准则 问题! 抽样调查作为科学研究方法中的重要技术之一! 有哪些优点呢& 探究! )#* 可迅速 及时地获得精确估计值以代表整体特 征!如尝一勺汤! 便可知道整锅汤的味道! 以便厨师及时掌控 咸淡 火候等! )* 节省人力 物力 时间及经费!如大家在进行身体检 查或去医院看病时! 如果要检查血液中血色素是否偏低的情 况! 一般是抽取少量的血液! 不可能将一个人的血液都抽出 来进行普查的! 那样做不但要耗费大量的时间! 更可怕的是 还会危及到人的生命安全! )%* 因为抽查的对象少! 因此可以对每个被抽查个体 的信息了解 得 更 为 详 细! 从 而 使 获 得 的 数 据 更 加 科 学 可靠! 提 升 总 结 抽样也不是任意为之的$ 合理的抽样调查应 具有如下准则! # 有效原则! 抽样调查不仅应该符合调查目的的需要$ 而且所获信息的价值应超过所支付的成本 # 可代表性原则! 必须从总体而不是从总体的某个部 分抽样$ 根据随机性原理抽样$ 以使样本可代表总体$ 否则抽 样调查就失去意义了 %# 简单原则! 抽样调查必须保持简单易行$ 以避免不必 要的节外生枝! 例$!下列调查的样本不合理的是)!* !在校内发出一千张印有全校各班级的选票! 要求被调 查学生在其中一个班级旁画$4% ! 以了解最受欢迎的教师 是谁 从# ( ( (名工人中! 经过反复协商与选举! 确定# ( (名 代表! 然后投票表决! 了解工人们对厂长的信任情况 #到老年公寓进行调查! 了解全市老年人的健康状况 $为了了解全班同学每天的睡眠时间! 在每个小组中各 选取%名同学进行调查! *! !+! !# ,! #$-! $ 跟踪练习$! 某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的 健康状况! 分别作了四种不同的抽样调查!你认为抽样比较 合理的是)!* *!在公园调查了#( ( (名老年人的健康状况 +!在医院调查了#( ( (名老年人的健康状况 ,!调查了某栋楼中# (名老年人的健康状况 -!利用派出所的户籍网调查了该地区# (0的老年人的 健康状况 探究三!简单随机抽样 问题! 如何理解简单随机抽样的概念& 探究! 一般地! 设一个总体含有C个个体! 从中逐个不 放回地抽取个个体作为样本) C* ! 如果每次抽取时总 体内的各个个体被抽到的机会都相等! 就把这种抽样方法叫 做简单随机抽样!简单随机抽样与我们生活中的抽样如$ 摸 奖% 有些类似! 但这里所提的随机抽样是一种理想状态的抽 样方式! 是避免人为因素的影响下的抽样! 所以生活中的$ 经 验% 可能会对我们理解这些概念产生一定的负面影响! 所以 在运用时一定要剔除生活$ 经验% 带给我们的困惑! 提 升 总 结 由简单随机抽样的定义$ 可以看出它有以下 特征! # 简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限 的!这样$ 便于通过随机抽取的样本对总体进行分析 # 简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取$ 这样$ 便 于在抽样实践中进行操作 %# 简单随机抽样是一种不放回抽样$ 由于抽样实践中 多采用不放回抽样$ 因此简单随机抽样具有较广泛的使用 性$ 而且所抽取的样本中没有被重复抽取的个体$ 所以更便 于进行有关的分析和计算 &# 简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性是相同 的$ 从而保证了这种抽样方法的公平性! 例!下 列 抽 取 样 本 的 方 法 属 于 简 单 随 机 抽 样 的 是)!* !从无限多个个体中抽取# ( (个个体作为样本 盒子里有3 (个零件! 从中选出个零件进行质量检 验! 在抽样时! 从中任意拿出一个零件进行质量检验后! 再把 它放回盒子里 #从3台电脑中不放回地随机抽取台进行质量检验 ) 假设3台电脑已编好号! 对编号随机抽取* !$某班& 名同学! 指定个子最高的名同学参加学校 组织的某项活动! *! ! +! ,! # -! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 以上都不对 统!计第二章 %! 学!习 札记! 例%!在 简 单 随 机 抽 样 中! 某 一 个 个 体 被 抽 到 的 可 性能)!* *!与第几次抽样有关! 第一次被抽中的可能性大些 +!与第几次抽样有关! 最后一次被抽中的可能性较大 ,!与第几次抽样无关! 每次被抽中的可能性相等 -!与第几次抽样无关! 每次都是等可能被抽取! 但各次 被抽取的可能性不一样 跟踪练习! 下列抽样方法是简单随机抽样的是)!* *!从 (个零件中一次性抽取个进行质量检验 +!从 (个零件中有放回地抽取个进行质量检验 ,!从实数集中逐个抽取# (个正整数分析奇偶性 -!运动员从3个跑道中随机抽取#个跑道 跟踪练习%! 一个总体共有% (个个体! 用简单随机抽样 的方法从中抽取一个容量为5的样本! 则某个特定个体入样 的可能性是! 反思感悟 #!简单随机抽样是一种最简单 最基本的抽样方法! 简 单随 机 抽 样 常 用 的 两 种 选 取 个 体 的 方 法#! 和! !判断一个抽样是否是简单随机抽样时! 要看它是否满 足它 的 四 个 特 点#! ! !# ! $! 第二课时 情境创设 #!今天已进入数字信息化时代! 各种各样的统计图表充 斥着媒体! 在各类广告中我们看到的数字似乎很精确!例如! 现代研究证明! 2 20以上的人感染有螨虫(又如! 减肥药 的广告称! 其减肥的有效率为5 0!这些数据真的可靠吗& 请你从各种媒体上收集这些广告! 并用统计知识分析一下它 们所提供的数据的真实性! 分 析 分析你所收集的数据是如何得到的$ 也就是分析 这些数据的样本容量是多少$ 样本是如何选取的$ 也就是样 本的人群特征是否具有代表性$ 通过分析来推断这些数据的 真实性! !学校举行运动会时要进行百米赛跑!由于跑道的限 制! 每一组只能有3人上场! 且每一个人只能占一个跑道! 跑 错跑道的运动员将取消比赛资格!你知道这3个人是怎样确 定自己的跑道的吗& 合作探究 探究一!抽签法 抓阄法# 问题! 如何理解抽签法的公平性& 议一议! 为什么抽签法能够保证每个个体入选样本的机 会相等& 探究! 这个问题可以通过抽签试验来验证! 即通过特定 数的入选频率来体会这个结论! 例如考察特定数入选样本时的具体操作如下# !准备C个号签并放入不透明的容器中 将 容 器 中的号签搅拌均匀后! 无放 回 地 取 出个 号签 #记录下取出的个号签上的号码 $重复上述步骤和#D次! 统 计 取 到6号 签 的 次 数7 &计算6号签的入选频率5D)6*#7 D ! 随着D的增加! 6号签的入选频率5D)6* 会接近 # C 这样一个数值! 所以每个号签被抽到的机会是等可能的! 即每个个体入 选样本的机会都相等! 问题$! 抽签法的实施步骤是怎样的& 探究! 用抽签法从容量为C的总体中抽取一个容量为 的样本的步骤# !给总体中所有个体编号) 号码可以从#到C* 将#!C这C个号码写在形状 大小相同的号签上 ) 号签可以用小球 卡片 纸条等制作* #将号签放在一个不透明的容器中! 搅拌均匀 $从容器中每次抽取一个号签! 并记录其编号! 连续抽 取次 &从总体中将与抽到的号签的编号相一致的个体取出! 提 升 总 结 一般地$ 抽签法就是把总体中的C个个体 编号$ 把号码写在号签上$ 将号签放在一个容器中$ 搅拌均匀 后$ 每次从中抽取一个号签$ 连续抽取次$ 就得到一个容量 为的样本! 抽签法的特点! # 优点! 简单易行!当总体的个体数不多时$ 使总体处 于% 搅拌均匀& 的状态比较容易$ 这时$ 每个个体都有均等的 机会被抽中$ 从而能够保证样本的代表性! # 缺点! 仅适用于个体数较少的总体$ 当总体容量非常 大时$ 费时费力又不方便$ 况且$ 如果号签搅拌的不均匀$ 可 能导致抽样不公平! 例!为了迎接 ( # (年上海世博会! 现要在 全 国 征 集筛选的 (种 吉 祥 物 中 抽 取)种 参 加 最 后 的 筛 选 圈! 每种吉祥物被 选 中 的 机 会 均 等! 若 采 用 抽 签 法! 该 如 何 进行& 分 析 将 (种吉祥物名字编号( #$( $ ($ ($ 将编号写 在小纸条上$ 揉成完全相同的小球$ 放在一个不透明的袋子 中$ 充分搅拌后$ 再从中逐个抽取)个号签$ 从而抽出)种吉 祥物! 跟踪练习! 某教育部门为了支援西部教育事业! 从报 名的# 3名志愿者中选取)人组成志愿小组! 请用抽签法设 计选取方案 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! 新新学案高中数学必修 人教实验#版# &! 学 习 札记 试一试! 如果从有& ( (个元素的总体中抽取# ( (个元 素的样本! 用抽签法有没有困难& 解! 由于总体中个体的个数很多! 此时再用抽签法就显 得麻烦! 并且要做大量的号签! 花费大量的人力 物力和时 间! 因此不适合用抽签法! 探究二!随机数法 为了克服把大量的号签搅拌不均匀的困难! 也为了节约 制作号签和搅拌号签的成本 时间! 需要寻找代替抽签的方 法!在用抽签法产生简单随机样本的过程中! 第二步的本质 是等可能地在容器中抽取号签! 这个步骤完全等价于生成整 数值随机数! 议一议! 随机数法如何体现其公平性& 随机数法的公平性体现在#!随机数表中每个位置出现 任何一个数都是等可能的 从总体中抽取任何一个个体的号码也是等可能的! 基于以上两点! 利用随机数表抽取样本就保证了各个个 体被抽到的可能性相等! 也就是说是公平的! 想一想! 如何设计随机数法中的取数$ 途径% & 探究! 在简单随机抽样中! 利用随机数法抽取样本! 有两 个$ 任意% ! 一是被选定作为开始的那个数是任意的! 我们可 以用铅笔随意点落在表上! 选取被点中的任何数 另一个是 从选中的那个数开始读取号码的时候! 读数的方向也是任意 的! 可以向左! 可以向右! 可以向上! 可以向下! 当然也可以中 途改变方 向!如 图%#%#给 出 的 就 是 一 种 螺 旋 式 的 选 数 方法! 图%#%# 试一试! 在利用随机数法时如何免除$ 剔号% 的麻烦& 利用随机数表选择号码的时候! 有时需要剔除一些不在 个体编号范围内的号码数! 这使挑选号码不太方便! 能否避 免这一麻烦呢& 答案是肯定的!当遇到的号码不在所要抽取 的范围内时! 应作统一变换! 使得到的新号码在抽取的范 围内! 提 升 总 结 随机数法进行抽样的步骤! !将总体中的个体编号!这里所谓的编号$ 实际上就是 编数字号码! 选定起始的数字!为了保证所选定的数字的随机性$ 应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置! #获取样本号码!为了便于操作$ 特别是为了知道所抽 取的每一个号码是否与前面得到的号码重复$ 可将总体中所 有个体的数字号码先按顺序列出$ 每抽出一个号码时$ 就在 其中的相应号码中做一个记号$ 这样就知道后面得到的号码 是否曾被取出! 议一议! 随机数法的特点 探究! 优点# 简单易行!它很好地解决了用抽签法时! 当 总体中的个体数较多时制签难的问题! 缺点# 当总体中的个体数很多! 需要的样本容量也很大 时! 用随机数法抽取样本仍不方便! 例$!现有一批编号为# (!# #!# ! (!) ( (的元件! 计划 从中抽取一个容量为)的样本进行质量检验! 请用随机数法 设计抽样方案! 分 析 本题中元件的编号数位数不一致$ 可重新编号$ 也 可改造原编号! 跟踪练习$! 用随机数法从# ( (件产品中抽取一个容量 为 的样本! 反思感悟 #!抽签法的优点是简单易行! 缺点是当样本的容量非常 大时! 费时 费力! 又不方便! 如果标号的号签搅拌得不均匀! 会导致抽样不公平!一个抽样试验能否用抽签法! 关键看两 点# 一是! 二是!所以采 用抽签法时!和!都较小! !随 机 数 法 的 优 点 与 抽 签 法 相 同!缺 点 是 !时! 仍然不是很方便! 但是比抽签法公平! %!这两种方法只适合总体!的抽样类型 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! $ ! ! ! $ !系统抽样 学习目标 !#!了解系统抽样的概念 步骤及特点! !明确系统抽样与简单随机抽样的共同点及优缺点! 并 在实际抽样过程中加以区分利用! 情境创设 #!一个电影院有% (排座位! 每排有& (个座位!某次在此举 行先进事迹报告会时! 礼堂内坐满了听众! 会后留下每排座位号 为#的听众进行座谈! 你认为他们能代表所有听众吗 $ $ $ $ $ $ $ & 统!计第二章 ! 学!习 札记! !某工厂为检验生产线上的牛奶施行质量控制! 需要时 时监控生产线的工作是否正常!在这种情况下的抽样过程 中! 并不知道总体所包含的个体总数! 因此不能用简单随机 抽样方法!于是考虑在生产线上每隔% (分钟抽取一包牛奶 进行检验! 合作探究 探究一!系统抽样的概念 问题! 上面两个实例中的抽样方法具有什么特点& 探究! 上面实例中的抽样方法即为系统抽样! )#* 当总体的个体数很大时! 样本容量就不宜太小! 采用 简单随机抽样! 就比较麻烦!这时! 可将总体分成均衡的若干 部分! 然后按照预先制定的规则! 从每一部分抽取一个个体! 得到所需要的样本! 这种抽样的方法叫做系统抽样! )* 由 系 统抽样的定义可 知 系 统 抽 样 具 有 以 下 五 个 特征# !当总体容量C较大时! 采用系统抽样 将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段! 分段 的间隔要求相等! 因此! 系统抽样又称等距抽样 #预先制定的规则指的是# 在第一段内采用简单随机抽 样确定一个起始编号! 在此编号的基础上加上分段间隔的整 倍数即为抽样编号 $系统抽样与简单随机抽样的联系在于# 将总体均分后 在第一部分进行抽样时! 采用的是简单随机抽样 &在简单随机抽样和系统抽样过程中! 每个个体被抽取 的可能性是相等的! 例!人们打桥牌时! 将洗好的扑克牌) 张* 随机确定 一张为起始牌! 这时! 开始按次序起牌! 对任何一家来说! 都 是从总体中抽取一个样本容量为# %张的样本!问这种抽样 方法是否为简单随机抽样& 如果不是! 说出它是什么抽样& 分 析 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽 取!而这里只是随机地确定了起始张$ 这时其他各张牌虽然 是逐张起牌的$ 其实各张在谁手里已被确定$ 所以不是简单 随机抽样$ 根据其等距起牌的特点$ 应将其视为系统抽样! 跟踪练习! 某厂有( ( )名工人! 从中选取 (人参加 一项测试! 如果/#表示用简单随机抽样方法选取每一个工 人被选中的可能性/表示用系统抽样方法选取每一个工 人被选中的可能性! 则)!* *!/#,/!+!/#&/ ,!/#/-!无法比较/#/的大小 问题$! 系统抽样的公平性如何& 探究! )#* 在系统抽样中! 如果总体中的个体数C正好 能被样本容量整除! 则可用它们的比值C 作为进行系统 抽样的间隔!由于均分后的每一部分进行抽样时! 采用的是 简单随机抽样! 所以每个个体被抽到的可能性是# C # C ! )* 如果不能被整除! 则可用简单随机抽样的方法先从 总体中剔除几个个体) 其个数为总体中的个体数除以样本容 量所得的余数* ! 然后再编号 分段 确定第一段的起始号! 继而确定整个样本!因为总体中的每个个体被剔除的可能性 都为 C ! 则每个个体不被剔除的可能性为C+ C ! 所以在整 个抽样过程中每个个体被抽取的可能性为C+ C + C+# C ! 所以系统抽样是公平的! 例$!某校为了了解学生对食堂饭菜质量的要求! 拟从 高一年级 ( (名学生中抽取 (名进行问卷调查! 如何利用 系统抽样抽取样本& 分 析 系统抽样的步骤为编号* 分段$ 确定起始号$ 按一 定规则抽取! 跟踪练习$! 某工厂有#( ( %名工人! 现从中抽取# ( (人 进行调查! 试用系统抽样设计抽取方案! 探究二!系统抽样与简单随机抽样的区别与联系 思考! 如何区别系统抽样与简单随机抽样& 探究!系统抽样比简单随机抽样更容易实施! 可节约 成本! 系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关 而简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关!如果编 号的特征随编号的变化呈现一定的周期性! 可能会使系统抽 样的代表性很差!例如! 如果学号按照男生单号女生双号的 方法编排! 那么! 用系统抽样的方法抽取的样本就可能会是 全部为男生或全部为女生! #系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广! 思考! 系统抽样与简单随机抽样的联系是怎样的& 归纳! )#* 将总体均分后的每一部分进行抽样时! 采用的 是简单随机抽样 )* 与简单随机抽样一样! 系统抽样是等概率抽样! 它是 客观的 公平的 )%* 与简单随机抽样一样是不放回的抽样 )&* 总体中的个体数恰好能被样本容量整除时! 可用 它们的比值作为系统抽样的间隔 当总体中的个 体 数 不 能被样本容量整除时! 可用简单随机抽样先从总 体 中 剔 除少量个体! 使剩下的个体数能被样本容量整除 再 进 行 系统抽样 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $! 新新学案高中数学必修 人教实验#版# (! 学 习 札记 例!为了调查某路口一个月的车流量情况! 交警采用 系统抽样的方法! 样本间距为5! 从每周中随机抽取一天! 他 正好抽取的是星期日! 他经过调查后做出报告!你认为交警 这样的抽样方法有什么问题& 应当怎样改进& 如果是调查 一年的车流量情况呢& 分 析 采用系统抽样$ 样本距离为5时$ 当第一次抽取的 是星期日$ 则所有抽取的都是星期日$ 这可能会使样本产生 误差! 跟踪练习! 下列抽样中不是系统抽样的是)!* *!从标有#!# 号的# 个球中! 任选%个作为样本! 按从小号到大号排序! 随机选起点6 (! 以后选6($!6($# ( ) 超过# 则从#再数起* 号入样 +!工厂生产的产品! 用传送带匀速地将产品送入包装 车间前! 检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行 检验 ,!搞某一市场调查! 规定在商场门口随机抽一个人进 行询问调查! 直到调查到事先规定的调查人数为止 -!在报告厅对与会听众进行调查! 通知每排) 每排人数 相等* 座位号为# &的听众留下来座谈 反思感悟 #!系统抽样是一种!抽样! 但是不是说等距抽样 就一定是系统抽样! 这里$ 等距% 一定是! 而不能是 其他的值! 比如#!%! (是一种等距抽样! 但它是一种普 查! 所以要好好体会系统抽样的过程! 才不至于出错! !系统抽样过程中! 要对每个个体进行! 然后 ! 再按事先规定的$!% 进行抽样! %!系统抽样虽然比简单随机抽样方便! 但是它也存在着 不理想的一面! 在不了解样本总体的情况下! 所抽取的样本 可能有一定的偏差) 比如前面我们说的$ 周期% 性*! &!系 统 抽 样 的 步 骤 可 简 记 为#! ! !系统抽样适用于总体与样本容量都很大且个体之间 无明显差异的抽样实验 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! $ ! ! ! !分层抽样 学习目标 !#!理解分层抽样的意义! 会用分层抽样来进行抽样! !在实际抽样过程中区别系统抽样 简单随机抽样以及 分层抽样! 并加以合理使用! 情境创设 #!我们在上一节知道当总体容量不多时! 我们可以用简 单随机抽样法抽取样本!现在某学校为了了解学生对高中学 生在校跳集体舞的看法! 打算从高一 高二 高三三个年级的 ( (名学生中抽取# 名进行调查! 我们用简单随机抽样 获取样本的方法能够做到! 但是总体容量比较大! 操作起来 比较困难! 你能否设计其他抽取样本的方法& !在 ( ( 3年北京奥运会举行前夕! 全民健身活动空前 高涨! 为进一步推动我国各族人民的全民健身事业更快 更 好地发展!国家体育总局提出了$ 全民健身! 增强体质% 的倡 议! 全国各地广泛组织开展群众喜闻乐见的一系列活动!某 小区居民有#( ( (人! 其中# 3岁以下的有 (人!# 3岁到% 岁的有& (人! % 岁到 岁的有& ( (人! 岁以上的有# ( ( 人! 为了解该区居民与身体状况相关的某项指标! 要从中抽 取容量为# ( (的样本! 合作探究 探究一!分层抽样的意义 问题! 对情境创设中的问题如何设计一个抽样方案& 探究! 我们知道! 居民的身体状况与年龄是有密切关系 的! 不同年龄段的居民身体健康指标有明显差异!因此! 抽样 中宜将全体居民分成# 3岁以下# 3岁到% 岁% 岁 到 岁 岁以上四个年龄段! 另外四个部分的人数相差较 大! 因此! 为提高样本的代表性! 还应考虑他们在样本中所占 比例的大小! 由于研究的总体中个体之间差异比较大! 如果数量比较 小可以考虑简单随机抽样的方法! 但是有可能会只抽到代表 其中一个层面的样本! 为了使抽样更加科学! 更具有说服力! 我们可以按照样 本容量在总体容量中所占的比例到每一个$ 层面% 分别抽取! 比如此例中样本容量与总体容量的比为 # ( ( #( ( (# # # (! 所以# 3岁 以下的应抽 取 (1 # # (#) 人* ! # 3岁 到% 岁 的 应 抽 取 & (1 # # (#& ) 人* ! % 岁 到 岁 的 应 抽 取& ( (1 # # (# & () 人* ! 岁以上的应抽取# ( (1 # # (# ( ) 人*!这样样本中 共有$& $& ($# (4# ( () 人* ! 他们来自不同的$ 层面% ! 我 们把这种抽样称之为分层抽样! 问题$! 为什么说分层抽样是公平的& 探究! 在分层抽样的过程中每个个体被抽到的可能性是 相同的! 与层数及分层无关! 如果总体的个体数是C!为样本容量!C6) 6#! %! (!* 是第6层中的个体数! 则第6层中所要抽取的个体数 为 6#+ C6 C !而 每 一 个 个 体 被 抽 取 的 可 能 性 是 6 C6# # C6+ +C 6 C # C ! 与 层 数 无 关! 所 以 对 所 有 个 体 而 言! 其入样的可能性是相同的! 也就是说! 分层抽样是公 平的 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $! 统!计第二章 )! 学!习 札记! 提 升 总 结 # 一 般 地$ 在 抽 样 时$ 将 总 体 分 成 互 不 交叉的层$ 然后 按 照 一 定 的 比 例$ 从 各 层 独 立 地 抽 取 一 定数量的个体$ 将 各 层 取 出 的 个 体 合 在 一 起 作 为 样 本$ 这种抽样方法叫做分层抽样!其中所分成的各 部分叫做 % 层&!分层抽样能 使 样 本 具 有 较 强 的 代 表 性$ 而 且 在 各 层抽样时$ 又可 灵 活 地 选 用 不 同 的 抽 样 方 法$ 所 以 具 有 广泛的应用性! # 分层抽样的特点! !适用于总体由差异明显的几部分组成的情况 抽取的样本更充分地反映了总体的情况 #等可能抽样$ 每个个体被抽到的可能性都是 C ! %# 分层抽样需注意的几点! !分层抽样中分多少层* 如何分层要视具体情况而定$ 总的原则是每层样本的差异要小$ 不同层之间的样本差异要 大$ 且互不重叠 抽取比例由样本占总体的比例确定 #各层抽样按简单随机抽样或系统抽样进行! 例!某单位的老年人 中年人 青年人依次有 人 % 人& (人! 用分层抽样的方法抽取& (人! 则老! 中! 青中应 抽取的人数依次为)!* *! 3!# &!# 3!+! 2!# %!# 3 ,! # (!# &!# )-! 2!# &!# 5 跟踪练习! 某单位共有老 中 青职工& % (人! 其中有青年 职工# ) (人! 中年职工人数是老年职工人数的倍!为了解职工 的身体状况! 现采用分层抽样的方法进行调查! 在抽取的样本中 有青年职工% 人! 则该样本中的老年职工人数为)!* *! 2!+! # 3!,! 5!-! % ) 跟踪练习$! 某地区为了了解居民家庭生活状况! 先把 居民按所在行业分为几类! 然后每个行业抽 # # ( (的居民家庭 进行调查! 这种抽样是)!* !*!简单随机抽样+!系统抽样 ,!分层抽样-!以上都不是 探究二!分层抽样的步骤 总结! 分层抽样应分四步进行# )#* 分层# 将总体按某种特征分成若干部分 )* 确定 比 例# 计 算 各 层 的 个 体 数 与 总 体 的 个 体 数 的比 )%* 按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本 容量 )&* 在每一层进行抽样) 各层分别按简单随机抽样或系 统抽样的方法抽取* ! 综合每层抽样! 组成样本! 例$!一个地区共有个乡镇! 人口%万人! 其中人口 比例为%! 从%万人中抽取一个% ( (人的样 本! 分析某种疾病的发病率! 已知这种疾病与不同的地理位 置及水土有关! 问应采取什么样的抽样方法& 并写出具体抽 样过程! 分 析 因为疾病与地理位置和水土均有关系$ 所以不同 乡镇的发病情况差异明显$ 因而采用分层抽样的方法! 跟踪练习! 某校共有学生( ( (名! 各年级男 女生人 数如下表! 已知在全校学生中随机抽取#名! 抽到二年级女 生的可能性是(! # 2! 现用分层抽样的方法在全校抽取) &名 学生! 则应在三年级抽取的学生人数为)!* 一年级二年级三年级 女生 % 5 %) 男生 % 5 5% 5 (E !*! &+! & 3 ,! # )-! # 跟踪练习%! 甲校有%) ( (名学生! 乙校有& ( (名学 生! 丙校有#3 ( (名学生!为统计三校学生某方面情况! 计划 采用分层抽样法! 抽取一个容量为2 (的样本! 应在这三校分 别抽取学生)!* *! % (人!% (人!% (人+! % (人!& 人!# 人 ,! (人!% (人!# (人-! % (人! (人!# (人 探究三!三种抽样方法的比较与分析 探究! )#* 三种抽样方法的比较 类!别共同点各自特点相互联系适用范围 简单随机 抽样 系统抽样 分层抽样 )#* 抽样过 程 中 每 个 个 体 被 抽 到 的 可 能 性相等 )* 每次抽 出 个 体 后 不 再 将 它 放回 从 总 体 中 逐 个抽取 总体 中 的 个 体数较少 将总体均分成 几部分! 按事 先确定的规则 在各部分抽取 在 起 始 部 分 抽 样 时 采 用 简 单 随机抽样 总体 中 的 个 体数较多 将 总 体 分 成 几层! 分层进 行抽取 各 层 抽 样 时 采 用 简 单 随 机 抽 样或系统抽样 总体 由 差 异 明显 的 几 部 分组成 !)* 三种抽样方法在实际问题中的选择应用 在具体情况中! 需要我们准确地选择适当的抽样方法进 行抽样! 各种方法之间的选择可按以下原则进行# !若总体由差异明显的几个层次组成! 则选用分层抽 样法! 若总体没有差异明显的层次! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 则考虑采用简单随机抽 新新学案高中数学必修 人教实验#版# # *! 学 习 札记 样或系统抽样! A !当总体容量较小时宜用抽签法 J !当总体容量较大! 样本容量较小时宜用随机数法 K !当总体 容 量 较 大! 样 本 容 量 也 较 大 时 宜 用 系 统 抽 样法! 点 拨 在现实生活中$ 由于资金* 时间有限$ 人力* 物力不 足$ 再加上不断变化的环境条件$ 做普查往往是不可能的!因 此$ 我们一般是把数据的收集限制在总体的一个样本上!由 于总体的复杂性$ 在实际的操作中$ 为了使样本具有代表性$ 通常要同时使用几种抽样方法! 例!在下列问题中! 各采取什么样的抽样方法抽取样 本较为合适& )#* 从 (台彩电中抽取&台进行质检! )* 会堂有%