新新学案系列高中数学2.3变量间的相关关系学案新人教A必修3

新新学案高中数学必修 人教实验#版# # (! 学 习 札记 $ !变 变量量间间的的相相关关关关系系 $ ! ! ! !变量之间的相关关系 学习目标 !#!通过实例知道两变量间存在的相关关系! !会区分两变量间存在的关系是函数关系还是相关 关系! 情境创设 #!古语说# $ 种瓜得瓜! 种豆得豆% ! 那么$ 种瓜% 和$ 得 瓜% ! $ 种豆% 和$ 得豆% 之间是什么关系呢 有观测数据) I6!;6* )6#! (!# (* ! 得散点图%!由这 两个散点图可以判断)!* 图%正相关 +!变量与)正相关!I与;负相关 ,!变量与)负相关!I与;正相关 -!变量与)负相关!I与;负相关 探究二!用& 最小二乘法 求回归方程 问题! 继续认真观察 分析图%! 你能得出这两个 散点图中点的分布又有何相同点吗& 探究! 通过两图可发现各数据点大致呈条状分布在一条 直线附近! 提 升 总 结 一般地$ 设与)是具有相关关系的两个变 量$ 且相应于个观测值的个点大致分布在一条直线的附 近$ 我们称这两个变量之间具有线性相关关系$ 这条直线叫 做这两个变量的回归直线$ 回归直线的方程叫做回归方程! 问题$! 如何具体求出具有线性相关关系的两个变量的 回归方程呢& 探究! 根据不同标准可画出不同的直线来近似地表示两 变量之间的线性关系! 到底哪一条能准确到代表回归直线 呢& 实际上求回归直线的关键是如何用数学的方法来刻画 $ 从整体上看! 各点与此直线的距离最小% ! 即最贴近已知的 数据点! 最能代表变量与)之间的关系! 设! )的一组观察值为)6!)6* )6#! (!* ! 且回归 直线方程为: )# : - $:,! 当取值6) 6#! (!* 时!)的观察值)6对应回归 直线上的: )6# : - 6$:,! 它与实际收集到的观察值)6之间的 偏差)6+: )6#)6+) : - 6$:,* )6#! (!* 刻画了实际观察 值) 6与回归直线上相应点纵坐标:)6之间的偏离程度!我们 希望) 6与:)6的个偏差构成的总偏差越小越好! 这才能说 明所找的直线是最贴近所有已知点的!这样! 用这个偏差 的和来刻画$ 各点与此直线的整体偏差% 是比较合适的!由于 偏差有正有负! 用这个偏差的和来刻画$ 各点与此直线的 整体偏差% 就会出现一些问题! 直接相加会相互抵消一部分! 从而无法反映这些数据点与回归直线的贴近程度!所以我们 用偏差的平方和! 即J#6 6#) )6+ : - 6+:,* 作为总偏差! 并使 之达到最小! 假设#! ! (!不全相等! 先将:,看做未知数,! : -对 应-! 将偏差平方和式展开! 同时! 为了书写方便! 一律省去 $6% 号的上 下标! 于是可得 J#6)6+,+- 6* #6) 6+,6)6$ , + -66)6$, -66$- 6 6 # , $) -66+6)6*,$- 6 6+-66)6$6) 6 # , $) -+ + ) * ,$- 6 6+-66)6$6) 6 #0, $) -+)*,$)-+)* 1 +)-+)* $ - 6 6+-66)6$6) 6 #0,$)-+)* 1 $) 6 6+ * - +) 66)6+ )*-$6) 6+ ) #0,$)- +)* 1 $) 6 6+ *-+66)6+ 7 8) 6 6+ )* +) 66)6+ 7 8)* 6 6+ $6) 6+ ) ! ().* 由).* 式可知# J要取得最小值! 当且仅当 ,$)- +)*#(! -+6 6)6+78) 6 6+ # ) * + ( 时取得! 故有 : -#6 6)6+78) 6 6+ ! : ,#)+:- ) * +! 从而可得到回归直线方程: )# : - $:, $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! 统!计第二章 $ ! 学!习 札记! 由: ,#)+ : - 易知# 回归直线:)# : - $ : ,一定过点)!)*! 提 升 总 结 # 上述求线性回归直线方程的方法$ 是使 得样本数据点到它的距离的平方和最小!由于平方又叫二乘 方$ 所以这种使% 偏差平方和最小& 的方法叫做最小二乘法! # 具有线性相关关系的两个变量$ )的回归方程是 : )# : - $:,$ 其中 : -# 6 6# 6)6+78) 6 6# 6+ $ : ,#)+ : - ) * + ! 由: ,#)+ : - 易知! 回归直线:)# : - $ : ,一定过点$)#! %# 求回归直线方程的步骤! 第一步$ 列表 6$)6$6)6 第二步$ 计算$ )$6 6# 6$6 6# ) 6$6 6# 6)6 第三步$ 代入公式计算: -$ : ,的值 第四步$ 写出回归直线方程! 温 馨 提 示 注意回归方程中一次项系数为: -$ 常数项为 : ,$ 这与一次函数与直线方程的斜截式的表示不同! ! 例$!已知# (只狗的血细胞体积及红细胞数的测量值 如下表# 血细胞体积 )77%* & & & )& 3& % 3& (% 2 ( 红细胞数 ) 百万* )! %)! % (2! 5! ()! 2 2! 2 (2! & 2)! ()! 3! 5 !)#* 根据上表画出散点图 )* 根据散点图! 判断血细胞体积与红细胞数)之间 是否具有相关关系 )%* 求回归直线方程! 分 析 准确画出散点图$ 并用散点图来判断血细胞体积 与红细胞数)之间是否具有相关关系是解决本题的关键! !跟踪练习! 线性回归方程:)# : - $ : ,必过点)!* *!)(!(*+!)!(* ,!)(!)*-!)!)* 反思感悟 #!利用两变量所取的值规范地画出! 可初步从直 观上判断两变量的相关关系 两 变 量 的 相 关 关 系 主 要 有 !和!两种类型! !求线性回归方程! 关键在于正确地求出!由 于计算量大! 因而计算过程要注意分层次进行! 避免计算 错误! %!线性回归方程的系数:-! : ,都是通过样本估计出来的! 取不同的一组样本数据会得到一组不同的! 所以存 在! 这种误差可能导致预测结果的偏差! 第二课时 情境创设 在上一个情境创设中! 我们知道在实际生活中存在一些 所谓的经验公式! 比如通过身高可以估计某人的体重! 通过 脚长可以测算某人的身高! 这是不是很有趣呢& 下面我们再 来看一个例子# 测得某国# (对父子身高) 单位# 英寸* 如下# 父亲 身高)* ) () ) &) ) ) 5) 35 (5 5 & 儿子 身高) )* ) %! ) ! ) ) ) ! ) )! 2) 5! #) 5! &) 3! %5 (! # 5 ( !通过分析可知! 父亲的身高与儿子的身高)之间是线 性相关的! 如果一位父亲的身高为5 %英寸! 可以估计他儿子 的身高约为) 2! 2英寸!)#英寸5! &K 7* 合作探究 探究一!利 用 科 学 计 算 器 或 计 算 机 求 回 归 直 线 方 程$ $ $简化解题过程 思考! 通过上一节的学习我们知道! 在求线性回归直线方 程时运算量大! 相当麻烦! 且容易出错!用科学计算器或计算机 能帮助我们简化运算过程! 提高解题效率!应该如何操作呢& 探究! 利用科学计算器求回归直线方程! 大多科学计算 器都有回归计算)? 模式* ! 但不同的计算器参数可能不 同! 这里不作详细介绍!一般在输入数据后! 按相应按键可直 接得到: ,和:-! 这样就可以写出回归直线方程:)#:- $:,! 非 常简便! 但使用前一定要看好计算器的使用说明书! 利用计算机求回归直线方程) K G I的工作表中选定相关关系的散点图! 在菜单中 选定$ 图表% 中的$ 添加趋势线% 选项! 弹出$ 添加趋势线% 对话 框 单击$ 类型% 标签! 选定$ 趋势预测/回归分析类型% 中的 $ 线性% 选项! 单击$ 确定% 按钮! 得到回归直线 双击回归直 线! 在弹出的对话框中单击$ 选项% 标签! 选定$ 显示公式% ! 最 后点击$ 确定% 按钮! 即可得到回归直线的回归方程! 例!试分别运用不同方法来求情境创设中父亲身高 与儿子身高)之间的线性回归方程 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $! 新新学案高中数学必修 人教实验#版# $ ! 学 习 札记 分 析 在确定本例中两变量$ )具有线性相关关系后$ 关键是根据题中所提供的数据$ 用% 最小二乘法& 求出回归方 程中的系数: -$ : ,! 跟踪练习! 设对变量! )有如下观察数据# # # # # % # & # ) # 5 # 3 # ) ( # ) ( # ) # ) % # ) & )& (& #& # & #! & & ! & %& & & & ) & ! !使用科学计算器求)对的回归直线方程) 结果保留& 位小数*! 探究二!回归直线方程的实际应用$ $ $对总体进行估 计和预测 问题! 在上面情境创设中儿子的身高是如何得出的! 又 有什么道理呢& 探究! 根据情境创设中的数据! 我们可以得出父亲身高 与儿子身高)之间是满足线性相关关系的! 求其回归直线 方程为: )#(! & ) &)$% ! 2 5 5! K当#5 %英 寸 时! : )#(! & ) &)15 %$% ! 2 5 55 ) 2! 2) 英寸* ! 即当父亲身高为5 %英寸时! 估计儿子的身高为 ) 2! 2英寸! 提 升 总 结 如果两个变量具有线性相关关系$ 那么可以利 用它们之间的回归直线方程进行估计或预测$ 即若回归直线方 程为: )# : - $ : ,$ 则在#(处)的估计值为:)# : - ($ : ,! 例$!近几年我国的房地产经济一直快速持续发展! 楼 价也是居高不下!以下是某地搜集到的新房屋的销售价格) 和房屋面积的数据# 房屋面积/7 # # # # (3 (# % # ( 销售价格)/万元 & &! 3 & #! ) % 3! & & 2! & !)#* 画出数据对应的散点图 )* 若)与之间具有线性相关关系! 求线性回归直线 方程 )%* 根据)* 的结果估计当房屋面积为# (7 时的销售 价格! ! 分 析 根据题中提供的数据画出散点图$ 判断房屋面积 与销售价格之间是否具有线性相关关系$ 再利用% 最小二乘 法& 求出回归方程即可! 跟踪练习$! 已知某工厂在某年里每月产品的总成本) 万 元* 与该月产量) 万件* 之间的回归方程为: )# # ! # $( ! 2 5 &! 计算# 时! 总成本)的估计值为! 探究三!相关关系的强弱与相关系数 问题! 下表是某地年降雨量与年平均气温的相关数据! 判断两者是否具有线性相关 关 系! 求 回 归 直 线 方 程 有 意 义吗& 年平均气温)*# ! # ! 3 &# ! 3 &# %! ) 2# %! % %# ! 5 &# %! ( 年降雨量)77* 5 & 3 & ( 53 # % 5 &5 ( #& % !探究! 以轴为年平均气温!)轴为年降雨量! 可得相应 的散点图! 如图%)! 图%) 因为图%)中各点不在一条直线的附近! 所以两者不 具有线性相关关系! 没必要用回归直线进行拟合! 即使用公 式求得回归直线也是没有意义的! 提 升 总 结 进行回归分析$ 通常先进行相关性检验$ 若 能确定两个变量具有线性相关性$ 再去求其线性回归方程$ 否则所求方程毫无意义! 给定 6$)6# 6#$ ($# $ 只要#$ ($不全相 等$ 就能求出一 条 回 归 直 线$ 而 我 们 所 求 的 回 归 直 线 有 无意义就是个大问题!由于根据散点图看数据点是 否 大 致在一条直线附近的主观性太强$ 对于不容易判 断 的 问 题$ 我们可利用下面量化的检验法! 当 6$)6均不全相等时$ .# 6 6# 6+# )6+)# 6 6# 6+# -6 6# )6+)# 槡 # 6 6# 6)6+78 ) ) 6 6# 6+ * ) 6 6# ) 6+ ) * 槡 叫做变量)与间的样本相关系数 简称相关系数# $ 其 中%.%#! %.%越接近于#$ 线性相关程度越大%.%越接近于($ 线 性相关程度越小 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ ! 统!计第二章 $ #! 学!习 札记! 反思感悟 #!由于求解回归方程的运算量大! 且易出错! 可以借助 !或!帮助我们求解! !回归 方 程 的 一 个 重 要 应 用 就 是 可 以 对 总 体 进 行 !或! 即若两个变量具有线性相关关系! 并 且线性回 归 方 程 为: )#:- $:,! 则 在#(处)的 值 约 为! %!一般情况下! 在尚未确定两个变量之间是否具有线性 相关关系的情况下! 应先进行!检验的方法可以借 助于!或!确定其具有线性相关关系后! 再 去求其回归直线方程并作出预测或估计 $ $ $ $ $ $ $ $ ! 全全 程程 优优 化化 复复 习习 回顾概括 收集数据 # 随机抽样 # 3 3 3 系统抽样 # 33 简单随机抽样 # 33 抽签法 # 3 3 3 随机数表法 #分层抽样 整理 分析数 据! 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 # 3 3 3 3 3 3 3 3 估计推断 用样本估 # 3 3 3 3 3 计总体 用样本 的频率 分布估 计总体 # 的分布 # 3 3 3 频率分布直方图 # 3 3 3 频率分布表 # 3 3 3 3 3 3 3 3 茎叶图 用样本 的数字 特征估 计总体 的数字 # 3 3 3 特征 中位数 平均数 # 3 3 3 众数 方差 # 3 3 3 3 3 3 3 3 标准差 # 33 变量的相关关系 # 33 散点图 #线性回归分析 专题盘点 专题一!利用抽样方法抽取样本 本章学习了三种常用的抽样方法# 简单随机抽样 系统 抽样和分层抽样!在具体操作中! 要注意它们之间的联系与 区别! 及各自的适用范围! 总结如下表# 类别共同点各自特点相互联系适用范围 简单随 机抽样 系统 抽样 分层 抽样 抽样过 程 中! 每个个 体被抽 取的概 率相等 从 总 体 中 逐 个抽取 总 体 中 个 体 数较少 按 总 体 均 分 成几部分! 按 事 先 确 定 的 规 则 在 各 部 分抽取 在 起 始 部 分 抽样时! 采用 简 单 随 机 抽样 总 体 中 个 体 数较多 将 总 体 分 成 几层! 分层进 行抽取 各层抽样时! 采 用 简 单 随 机 抽 样 或 系 统抽样 总 体 由 差 异 明 显 的 几 部 分组成 !应用三种抽样方法时需搞清楚它们的使用原则! !当总体容量较小! 样本容量也较小时! 制签简单! 号签 容易搅匀! 可采用抽签法 当总体容量较大! 样本容量较小时可用随机数表法 #当总体 容 量 较 大! 样 本 容 量 也 较 大 时 可 用 系 统 抽 样法! 例!) ( ( 2+天津高考* 某学院的&!(!*三个专业共 有# ( (名学生! 为了调查这些学生勤工俭学的情况! 拟采 用分层抽样的方法抽取一个容量为# (的样本!已知该学院 的&专业有% 3 (名学生!(专业有& (名学生! 则在该学院 的*专业应抽取!名学生! ! 专题二!用样本估计总体 抽样的目的是为了借助样本估计总体! 用样本估计总体 有两种方法# )#* 用样本的频率分布去估计总体的频率分布! 主要借助于频率分布表 频率分布直方图和茎叶图 )* 用样 本的数字特征来估计总体的数字特征! 这些数字特征主要包 括平均数 众数 中位数 方差 标准差等! 例$!从某校高一年级的#( ( 名新生中用系统抽样的方 法抽取一个容量为# ( (的身高样本! 数据如下) 单位# K 7* # # ) 3 # ) # 5 # # ) 5 # 5