新新教案系列高中数学3.2直线的方程教案pdf新人教A必修2

新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 直 直线线的的方方程程 直线的点斜式方程 课标解读 课标要求学习目标 经历由一个点和斜率导出直 线方程的过程， 提高学生分析、 比较、 概括、 化归的数学能力 掌握直线方程的点斜式、 斜 截式， 并能根据条件熟练地求 出满足已知条件的直线方程， 初步了解用代数方程研究几何 问题的思路， 培养学生综合运 用知识解决问题的能力 通 过 实 例 体 会 “ 待 定 系 数 法” 在求直线方程中的应用 能够根据确定直线的几何元 素， 推导出直线的点斜式方程 要 注 意 点 斜 式 方 程 适 用 的 范围 掌握点斜式方程的特例 斜截式方程 能够熟练地运用两种方程和 待定系数法求直线的方程 教学策略 重点难点 本节内容的重点是直线方程的点斜式的推导及运用； 难 点是直线与方程对应关系的说明， 点斜式与斜截式的直线方 程的使用范围的考虑 教学建议 在得到直线的点斜式方程（） 之后， 用 “ 曲线与方程” 的思想解释坐标满足方程的点一定在曲线上， 即若点在直线上， 点的坐标适合方程； 反之， 点的坐 标适合方程， 说明点在直线上 对于直线的点斜式方程的推导， 要注重培养学生的数 形结合思想， 强调该方程的适用范围 对于直线方程的斜截式方程的讲解， 要强调“ 截距” 与 “ 距离” 的区别， 并注意与一次函数的结合 情境创设 在直角坐标系 中， 直 线 上 的 一 个 点 和 倾 斜 角 只 要 确 定， 直线便被确定了， 同样直线上的一个点和斜率只要确 定， 直线便被确定了， 那么直线上的任意点的坐标（， ） 和斜率之间有何关系呢？它们之间能否用一个式子联系 起来呢？ 合作探究 探究一 直线的点斜式方程 想一想： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中， 如 何 才 能 确 定 一 条 直线？ 在上两节 课 中， 学 习 了 直 线 的 几 何 要 素 倾 斜 角 和斜率， 已知直线上的一点和直线的倾斜角（ 斜率） 可 以 确定一条直线 议一议： 已知一条直线过定点且其斜率存在， 能否获取 该直线的方程？ 图 探究： 如图所示， 直线 经过点（， ） ， 且斜率为， 设 点（ ，） 是直线上不同于点 的任意一点， 因为直线的斜率为 ， 由斜率公式得 ， 即 （） 由以上的推导过程可知， 过点， 斜率为的直线上的 点的坐标都满足方程（ ） ； 反过来， 坐标满足方程 （） 的点都在过点、 斜率为的直线上 提升总结： 方程（ ） 由直线上一定点及其 斜率确定， 把这个方程叫做直线的点斜式方程， 简称点斜式 温馨提示： （） 要注意到 与（） 是不同的， 前者表示的直线上缺少一个点（， ） ， 后者 才是整条直线 （） 只有斜率存在的直线才有点斜式方程， 过点（ ，） ， 斜率不存在的直线方程可表示为 例 写出下列直线的点斜式方程： （） 经过点（， ） ， 斜率是； （） 经过点（， ） ， 倾斜角是 ； （） 经过点（，） ， 与轴平行； （） 经过点（， ） ， 与轴垂直 分 析 找到点斜式的两个要素： 定点与斜率 解： （） （） ； （）； （）； （） 点 拨 使用点斜式方程， 必须注意前提条件是斜率存在 跟踪练习 经过 点 （，） 且 倾 斜 角 为 的 点 斜 式 直 线 方 程是（ ） 槡 （） 槡 （） 槡 （）槡 （） 解 析 槡 ， 则直线方程为槡 （ ） 答案： 探究二 直线的斜截式方程 议一议： 已知直线的斜率为， 且与轴的交点为（ ，） ， 直线与方程第三章 教 学 札记 试求直线的方程 探究： 直线与轴的交点为（， ） ， 即过定点（，） ， 且 的斜率为， 代入直线的点斜式方程， 得（） ， 即 提升总结： 斜率是， 与轴的交点为（， ） 的直线 的方程为 我们称为直线在轴上的截距这 个方程是由直线的斜率和它在轴上的截距所确定的， 所 以叫做直线的斜截式方程， 简称斜截式 温馨提示： （） 直线方程的斜截式是点斜式的特殊情况， 此时的点为直线与轴的交点 （） 直线的斜截式方程不包括倾斜角为 的直线 （） 一次函数 （ ） 中，表示直线的斜率， 是直线在轴上的截距 （） 截距与距离是两个不同的概念， 距离必须大于或等 于， 截距可取一切实数， 即可为正数、 零、 负数 例 写出下列直线的斜截式方程： （） 斜率是， 在轴上的截距是； （） 倾斜角是 ， 在轴上的截距是； （） 倾斜角是 ， 在轴上的截距是 分 析 根据题意， 明确斜率与在轴上的截距两个基本量 解： （） ； （） 槡 ，槡； （） 槡 ，槡 点 拨 直线在轴上的截距是直线与轴交点的纵坐 标， 可以是负数、 零、 正数 跟踪练习 直线的斜率以及在轴上的截距分 别是（ ） ， ， ， ， 解 析 将直线 变形得， ， 则 ， 答案： 直线绕着它与轴的交点逆时针旋转 后， 所得的直线方程为 解 析 根据题意知： 交点坐标为（，） ， 斜率为 ， 直 线方程为： （） 答案： 探究三 两条直线的位置关系的判定 想一想： 如何判定两条直线平行与垂直？ 通过前面的学习， 大家知道， 对于两条不重合的直线 、 ， 其斜率分别为、，； 如果两条直线都有 斜率， 则 议一议： 已知直线的斜截式方程， 如何判定两条直线的 位置关系呢？ 探究： （） 已知直线 ：，： （） 若 ， 则， 此时、与轴的交点不同， 即 ； 反之， 且时， （） 若 ， 则 ； 反 之， 时， 提升总结： 对于直线 ：，：， ， 且； 例 已知直线 ：与点（，） ， 直线 过点 （） 若 ， 求直线的斜截式方程； （） 若 ， 求直线的截距式方程 分 析 （） 由题目可获取以下主要信息： 直线 过 点 （，） ； 直线解答本题可先求出直线的斜率， 然后由点斜式写出 的方程， 也可直接设直线的方程为 ， 然后把点坐标代入， 求出 （） 由题目可获取以下主要信息： 直线 过点（， ） ； 直线与直线垂直解答本题可先由垂直 关系求出 的斜率， 然后由点斜式写出方程， 也可直接设直 线 的方程为 ， 由过点（，） ， 求出 解： （ ）与 平行，的斜率 由直线 方程的点斜式知 的方程为 （ ） ， 即 （） 与垂直且的斜率为， ： （ ） ， 即 点 拨 针对这种类型的题目， 一般有两种思路： 第一， 先 由题目中的平行与垂直求出斜率， 再由点斜式写出方程； 第 二， 用待定系数法设出所求方程， 如与： 平行的直线 方程可设为 ； 与垂直的直线方程可设为 （） ， 其中为待定系数 跟踪练习 直线的方程为（） （） ， 若在轴 上的截距为， 则 解 析 将直线方程（） （） 变形为（ ）（） ， 由于在轴上的截距为， 即 ， 解得 答案： （） 当为何值时， 直线：与直线： （ ） 平行？ （） 当为何值时， 直线 ：（）与直线： 垂直？ 解： （） 由题意知， ， ， ， ， 解得 当时， 直线与直线平行 （） 由题意知， ， 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 ，（ ）， 解得 当 时，直线 与直线垂直 备选例题 例 求过点（，） ， 且在坐标轴上截距相等的直线 的方程 分 析 解答本题可考虑把直线设为点斜式， 然后求出 直线在两坐标轴上的截距， 利用截距相等求出 解： 由题意可知直线的斜率存在 设过点（， ） 的直线方程为（） （） 令， 则； 令， 则 ， 由已知条件， 得 ， 解得或 所求直线的方程为或 点 拨 掌 握 求 截 距 的 方 法， 注 意 对 斜 率 是 否 存 在 的 探讨 例 直线经过点（，） 且与两坐标轴围成的 三角形的面积为， 试求直线的方程 分 析 设出直线的点斜式方程， 求出纵、 横截距， 表示 出三角形的面积， 从而求 解： 易知直线与两坐标轴不垂直， 因为过点（ ， ） ， 所以可设直线的方程为（） ， 则直线与轴 的交点为 ，（）， 与轴的交点为（，） 由题意得， 所围成三角形的面积 ， 即（） 当时， 方程可化为（） ， 解此方程， 得 或 ； 当时， 方程可化为（） ， 此时方程无解故所求直线的方程为 （） 或 （） 点 拨 本题把直线的方程与三角形的面积结合在一起， 一方面要注意截距与线段长度的区别， 不要忘记加绝对值符 号， 另一方面注意解方程时要进行分类讨论 反思感悟 如果直线过点（，） ， 且与轴垂直， 此时它的倾斜 角 ， 斜率不存在， 它的方程不能用点斜式进行表示， 这 时直线方程为 如果直线过点（，） ， 且与轴垂直， 这时倾斜角 ， 即， 由点斜式方程得 如果直线过点（，） ， 且斜率为， 则该直线的点斜 式方程为（ ） 直线的斜截式为点斜式的特例， 即将任意的点（，） 特殊化为（， ） 而得到 课后作业 下列关于直线的点斜式方程（） ， 说法 正确的是（ ） 可以表示任何一条直线 不能表示过原点的直线 不能表示与轴垂直的直线 不能表示与轴垂直的直线 解 析 由点斜式方程适用的范围知选 答案： 直线 的图象可能是（ ） 解 析 理解与 的几何意义 答案： 直线 槡 （） 的倾斜角和所过的定点分别 为（ ） ， （，） ， （，） ， （，） ， （，） 答案： 直线 （） 在轴上的截距是（ ） 解 析 令得 ， 则直线 （） 在 轴上的截距为 ， 故选 答案： 集合 直线的斜截式方程 ， 一次函数的解析 式 ， 则集合、间的关系是（ ） 以上都不对 解 析 斜截式方程一定可化为一次函数解析式， 且一 次函数的解析式也能化为直线的斜截式方程 答案： 已知直线过点（，） ， 其斜率与直线的 斜率相同， 则该直线的方程为 解 析 由题意知： 直线的斜率为， 由点斜式方程得 （） 答案：（） 已 知 直 线 方 程 为 ，则 直 线 经 过 点 ， 斜率为 解 析 将 方 程 变 形 为（） 直线与方程第三章 教 学 札记 （） ， 则定点为（，） ， 斜率为 答案： （，） ， 已知直线的斜率为槡 ， 在轴上的截距是， 则 的方程是 解 析在轴上的截距是，直线过点（， ） 由点斜式知槡 （ ） 答案：槡 （ ） 在直线方程 中， 当， 时， ， 求此直线方程 解： 当时， 直线过点（，） ， （， ） ， 所以有 ， ， 解得 ， 当时， 直线过点（， ） ， （，） ， 所以有 ， ，解得 ， 所以所求直线方程是或 过点（，） 的直线在两坐标轴上的截距的绝对值 相等， 求直线的方程 解： 依条件设的方程为（ ） 令， 得； 令， 得 在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ， 即（）（） 解得， ， 故所求直线的方程为 或或 点 拨 截距的绝对值相等包括三种情况： （） 直线的斜 率为； （） 直线的斜率为； （） 直线过原点 直线的两点式方程 课标解读 课标要求学习目标 掌握直线的两点式、 截距式方程， 并能 根据条件熟练地求出满足已知条件的直 线方程 让学生经历直线的两点式方程的发现 过程， 提高学生分析、 比较、 概括、 化归的 数学能力 体会数、 形的统一美， 激发学生学习数 学的兴趣， 并且继续渗透数形结合与分类 讨论的数学思想方法 能够根据直线上 的两点， 推导出直线 的两点式方程 注意两点式方程 所适用的范围 掌握两点式方程 的特例 截距式 教学策略 重点难点 本节的重点是直线的两点式、 截距式方程的应用； 难 点是直线的两点式、 截距式方程的推导及两个公式适用 的前提条件 教学建议 结合直线的点斜式方程， 求过已知点的直线的方程， 让学生“ 悟” 出学习两点式的必要性， 同时也“ 悟” 出两点式的 推导方法 引导学生探索两点式的适用范围 注意与点斜式、 斜截式的比较， 掌握四种特殊形式的 直线方程之间的互化 注意截距的含义， 研究截距的相等问题时， 要注意验 证过原点的情形 情境创设 “ 两个黄鹂鸣翠柳， 一行白鹭上青天” ， 这样的意境太优 美了， 以至流传千年白鹭细细的长颈、 洁白的羽毛， 楚楚动 人， 这小精灵的翅膀竟有二尺多长， 远远望去一行白鹭展翅起 飞， 它们雪白的身影映着晴空， 画出一条美丽的直线 我们知道， 两点确定一条直线， 当已知直线上的两点 的坐标时， 怎样求该直线的方程呢？ 合作探究 探究一 直线的两点式方程的推导 想一想： 我们是怎样推导直线的点斜式方程的？ 点斜式方程是（） ， （， ） 是直线上的 某一定点的坐标， 是这条直线的斜率， 点斜式的推导过 程主要依据直线上一个定点（， ） 与直线上除（， ） 外任意一点（，） 所确定的斜率相等， 并且就是此直线 的斜率， 所以有 ， 整理可得 （） 议一议： 已知直线上的两点（， ） ，（，） （ 其中， ） ， 你能求出直线的方程吗？ 探究： 经过一定点， 且已知直线的斜率， 可以求出直线的 点斜式方程由于（， ） ，（，） 是直线上的两点， 且， 则直线的斜率 又因为直线过点 （，） ， 所以代入点斜式方程得 （ ） 因为， 则上式可变形为 提升总结： 经过两点（ ，） ，（，） （ 其中， ） 的直线方程为 ， 我们把它叫做直线 的两点式方程， 简称两点式 温馨提示： （） 方程 （ ） （） 与 （ ，） 相比， 显然后者比前者表示的直 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 线的范围小， 但后者便于记忆和应用， 所以采用后者作为公式 （） 当直线没有斜率（） 或斜率为（ ） 时， 不能用两点式方程若， ， 则直线方程为 ， 若， 则直线方程为 （） 把直线的两点式方程化为（ ） （）（ ） （） ， 则表示过平面的任意已知两点的直线方程 图 例 如图， 三角形的顶点 是（， ） 、（，） 、（，） ， 求这 个 三 角 形 三 边 所 在 直 线 的 方程 分 析 根据两点式方程， 分别 求 出 三 角 形 的 三 边 所 在 的 直 线 方程 解： 直线 过（，） 、（，） 两点， 由两点式得 （） （） ， 整理得 ， 这就是直线 的方程 直线 过 点（，） 、 点（，） ， 斜 率 是 （） ， 由点斜式得 （ ） ， 整理得 ， 这就是直线 的方程 直线 过（， ） 、（，） 两点， 由两点式得 （） （） ， 整理得 ， 这就是直线 的方程 点 拨 准确地记住直线方程的两点式， 一般情况下， 最 后结果要化为直线方程的一般式， 本题也可用点斜式写出直 线方程 跟踪练习 已知 的顶点（，） ，（，） ，（，） ， 则 边上的中线所在的直线方程为 解 析 利用中点坐标公式求出线段 的中点， 结合两 点式求直线的方程 答案： 探究二 直线的截距式方程的推导 想一想： 直线的两点式方程的形式， 需要几个几何要素？ 直线的两点式方程的形式为 （ ， ） ， 利用两点式求直线的方程， 只需两个不同的点就够 了， 但要注意， 议一议： 已知直线与轴的交点为（ ，） ， 与轴的交 点为（ ，） ， 如图， 其中 ， ， 求直线的方程 （ ， ） （ ， ） 图 探究： 由于（ ，） ，（，） 是 直线上的两点且， ， 则由 两点式方程得： ， 整理 得 提升 总 结： 经 过（，） 和 （，） 两点（，） 的直线 的方程是 温馨提示： （） 截距式是两点式的特殊情形， 此时的两点 为直线与两坐标轴的交点 （） 截距式方程的条件是， ， 即两个截距非零， 这就是说， 截距方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴垂 直的直线 （） 用截距式画直线比较方便， 因为由截距式方程比较 容易确定出直线与轴和轴的交点的坐标利用截距式求 直线与两坐标轴围成的三角形的面积或周长也较为方便 例 满足在轴上的截距为， 且与两坐标轴围成 的三角形的面积为的直线的方程为 解 析 设直线的方程为 ， 由题意得 ，当时， 直线的方程为 ， 即 当 时， 直 线的 方 程 为 ， 即 答案： 或 点 拨 求直线方程时， 可根据题中已知条件适当地选择 所求直线的形式， 再根据题中其他条件确定方程中的待定 系数 跟踪练习 下列说法中， 正确的是（ ） 表示过点（， ） 且斜率为的直 线 方程 过轴 上 一 点 （，）的 直 线 方 程 可 以 表 示 为 若直线在轴、轴上的截距分别为、， 则该直线 的方程为 方程（） （）（） （） 表示过两 点（， ） 、（，） 的一条直线 解 析 结合直线方程的四种形式的适用范围解决问题 答案： 过两点（，） 、 （，） 的直线的截距式方程为（ ） 解 析 利用两点式求出直线的方程， 然后变形为截距式 方程 答案： 以（，） ，（，） 为端点的线段的垂直平分线的方 程是 解 析 抓住“ 垂直平分” 的含义 答案： 备选例题 例 为了绿化城市， 拟在矩形区域 内建一个矩 形草坪（ 如图） ， 另外 内部有一文物保护区不能 占用， 经测量 ， ， ， ， 应如何设计才能使草坪面积最大？ 分 析 关键是在线段 上寻求一点， 使该点满足问题 条件 直线与方程第三章 教 学 札记 （ ） 图 解： 如图所示， 建立平 面直角坐标系， 则 （ ，） ，（， ） ， 线段 的方程是 （ ） 在线段 上取点（， ） ， 作 于点， 作 于点 ， 设矩形 的面积为， 则 （ ） （ ） 又 （ ） ， （） ， （ ） （） （ ） （ ） 于是当时， 有最大值， 这时 答： 当矩形的两边在 、 上， 一个顶点在线段 上， 且这一个顶点分 成时， 草坪的面积最大 点 拨 用代数法解决几何问题， 抓住题目所给条件能够 建立恰当的平面直角坐标系； 另外， 二次函数的最值问题， 在 应用题中常常出现， 要特别关注， 注意总结 图 例 如图， 一条 光线从点（ ，） 发出， 经轴 反射后通过点（， ）求入 射光线和反射光线所在直线 的方程 分 析 利用物理学知识， 只需找出点关于轴的对 称点 ， 即可得到反射光线 所在的直线方程同理， 可得 入射光线所在的直线方程 解： 因为点（，） 关于 轴的对称点为 （，） ， 所以由两点式可得直线 的 方程为 ， 即 同理， 点关于轴的对称点为 （，） ， 直线 的方程为 ， 即 所以入射光线所在直线的方程为， 反射光 线所在直线的方程为 点 拨 设光线反射点为， 点关于轴的对称点为 ， 根据光学上入射角等于反射角的原理可知点 、三 点共线， 因此， 可用两点式求直线方程 反思感悟 （） 当直线没有斜率（） 或斜率为（ ） 时， 不能用两点式求直线方程若， 知与轴垂直， 此时的直线方程为； 若， 知与轴垂直， 此时直线方程为 （） 直线的截距式为两点式方程的特例， 即将任意的两 点（， ） ，（，） （，） ， 特 殊 化 为 （ ，） ， （，） （，） 而得到 （） 直线方程的四种特殊形式是求直线方程的重要工 具， 应熟练掌握， 弄清各种形式的适用范围， 根据已知条件， 恰当地选择方程的形式 课后作业 直线 （） 在轴上的截距是（ ） 解 析 把直线的方程变形为截距式的形式， 还要注意 “ 截距” 与“ 距离” 之间的区别 答案： 过点（，） 和（，） 的直线在轴上的截距为（ ） 解 析 利用两点式求出直线方程， 令， 求出值 即可 答案： 已知（，） ，（，） ， 过线段 的中点且斜率 为的直线的方程是（ ） （）（） （）（） 解 析 利用中点坐标公式求线段 的中点坐标， 代入 点斜式方程即可 答案： 若直线过点（，） 且与两坐标轴所围成的三角形的 面积为， 则这样的直线有（ ） 条 条 条 条 解 析 利用待定系数法， 建立关于与的方程组， 看 有几组解即可 答案： 经过两点（，） ， （，） 的直线方程为 解 析 观察两点易发现它们的纵坐标相同， 故直线的 斜率为， 则直线为 答案： 过点（，） ， 且在轴上的截距是在轴上的截距的 倍的直线方程是 解 析 设出截距式方程， 把点代入即可求得不要忘记 过原点的直线也符合题意 答案： 或 过点（，） 的直线分别与两坐标轴交于、两点， 若为 的中点， 则直线的方程为 解 析 设（， ） ，（，） ， 由（，） 是 的中点可 得， ， 即、的坐标分别为（，） 、 （，） ， 由 两点式得方程 ， 即 答案： 过点（，） 向直线作垂线， 垂足为（，）求 直线与两坐标轴围成的三角形的面积 解： ，直线的斜率为 由点斜式得直线的方程为（） ， 即 令， 得， 令， 得 ， 求过定点（，） 且与两坐标轴围成的三角形的面积 为的直线方程 分 析 要注意“ 距离” 与“ 截距” 的概念， 不要将直线在 轴和轴上的截距作为距离使用“ 截距” 是指直线与 （） 轴交点的横（ 纵） 坐标， 它可正、 可负， 也可以为 零； 而“ 距离” 一定是非负的本题中三角形的边长只能 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 为正， 所以， 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ， 而不是 解： 由题知 ， 设所求直线方程为 直线过点（，） ， ， 即 又由已知， 得 ， 即 ， 当 时， 可得 ， 解得 ， 当 时， 可得 ， 解得 （槡） ， （槡 ） 或 （槡） ， （槡） 综上所述， 所求直线方程为 或（槡） （槡 ） 或（槡 ） （槡 ） 点 拨 本题也可用点斜式求直线方程 直线的一般式方程 课标解读 课标要求学习目标 理解直线方程几种形式之间的内 在联系， 能 从 整体 上 把 握 直 线 的 方 程， 掌握 直 线 方程 各 种 形 式 之 间 的 互化 通过直线方程一般式的教学， 培养 学生全面、 系统、 周密地分析、 讨论问 题的能力 通过直线方程特殊式与一般式转 化的教学， 培养学生灵活思维的能力 和辩证唯物主义观点理解直线与二 元一次方程的对应关系和解析几何 的思想方法 理解在平面直角坐 标系 中， 直 线 与 变 量 、的 二 元一次 方 程 的一一对应关系 掌握直线方程的一 般式以及直线方程的 “ 特殊式” 与一般式在 一 定 条 件 下 的 同 解 变形 在一般形式下， 两条 直 线 平 行 与 垂 直 的 判定 教学策略 重点难点 本节的重点是掌握直线方程的各种形式及它们之间的 相互转化； 难点是对直线的点斜式， 斜截式， 两点式和截距式 表示直线 的 局 限性的认识， 直线 与 二 元 一 次 方 程 的 对 应 关系 教学建议 通过引导学生回顾直线方程的四种特殊形式， 比较它 们的优、 缺点， 继而引出探讨直线一般式方程的必要性 通过分类讨论， 探讨斜率存在与不存在两种情况下的 一般式方程 引导学生对直线方程的四种特殊形式与一般式方程 之间进行相互转化 通过回顾两条直线平行与垂直的判定条件， 探讨在一 般形式下两条直线平行与垂直的判定 情境创设 在前面我们学习了直线方程的四种形式（ 点斜式、 斜 截式、 两点式、 截距式） ， 它们都可以化成关于、 的一次方 程， 如点斜式方程（） 可化为 反过来， 每一个关于、的二元一次方程都表示一 条直线吗？ 我们知道， 直线的点斜式和斜截式不能表示斜率不存 在的直线， 两点式不能表示与坐标轴垂直的直线， 截距式既 不能表示与坐标轴垂直的直线， 也不能表示过原点的直线， 那么有没有可以表示任意直线的方程呢？本节课我们就来 探讨这个问题 合作探究 探究一 直线的一般式方程 议一议： 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个 关于、 的二元一次方程表示吗？ 每一个关于、 的二元一次方程都表示一条直线吗？ 探究： （） 任意一条直线， 在其中任取一点（， ） ， 当直线的斜率为时（ 此时直线的倾斜角 ） ， 其方程 为（ ） ， 这是关于、的二元一次方程 当直线的斜率不存在（ 即直线的倾斜角 ） 时， 其 方程为， 该方程可认为是关于、 的二元一次方 程， 其中的系数为 因此， 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关 于、 的二元一次方程表示 （） 对于任意的一个二元一次方程 ， 当 时， 可变形为 ， 它表示过点， （） ， 斜率为 的直线 当时， 可变形为 ， 它表示 与轴垂直的直线 因此， 每一个 关 于、 的 二 元 一 次 方 程 都 表 示 一 条 直线 提升总结： 我们把关于、 的二元一次方程 （ 其中、不同时为） ， 叫做直线的一般式方程， 简称一 般式 温馨提示： 一般式方程可以表示坐标平面内的一切直线： （ ） 当 ， ， 时， 方程表示的直线平行于轴； （ ） 当 ， ， 时， 方程表示的直线平行于轴； （ ） 当 ， ， 时， 方程表示的直线与轴重合； （ ） 当 ， ， 时， 方程表示的直线与轴重合 例 求直线： 的斜率以及它在轴、 轴上的截距， 并画图 直线与方程第三章 教 学 札记 分 析 在直线的一般式方程下， 斜率为 ； 令可 得在轴上的截距， 令可得在轴上的截距 解： 将直线的方程 写成 ， 因此， 直线的斜率 在方程 中， 当时，； 当 图 时， ， 所以， 直线在轴上 的截距是， 在轴上的截距是 画一条直线时， 只要找出这条 直线上的任意两点就可以了， 通 常是找出直线与两个坐标轴的 交点， 上 面 已 求 得 直 线与 轴、 轴的交点（，） 、 （，） ， 过 这两点作直线， 就得到直线如 图所示 点 拨 画一条直线时， 根据两个点确定一条直线， 关键 是找到直线与两坐标轴的交点或直线上的任意两点 跟踪练习 若直线的一般式方程为， 则直线不 经过（ ） 第一象限 第二象限 第三象限第四象限 解 析 将方程变形为， 则斜率为 ， 在轴上的截距为 答案： 探究二 直线方程各种形式间的互化 想一想： 直线方程的一般式与斜截式各有何优、 缺点？ 直线方程的一般式能够表示平面内任意一条直线的方 程， 但其不能明确直线的斜率与截距； 直线方程的斜截式虽 然不能表示斜率不存在的情形， 但是它能明确告诉大家直线 的斜率与在轴上的截距， 因此， 两者各有优、 缺点， 有时， 需 要对它们进行互化 议一议： 如何将直线方程的一般式与其他四种形式进行 互化？ 探究： 直线方程的其他形式化为一般式如下： 点斜式方程（） 斜截式方程 两点式方程 （ ）（） （）（） 截距式方程 解题时， 如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式； 化为一般式方程时， 通常要把的系数化为正数 温馨提示： 直线方程的点斜式、 斜截式、 两点式和截距式 四种形式之间的互化， 一般要利用一般式方程作为桥梁， 先 将一种形式的方程化为一般式方程， 然后再由一般式方程转 化为另一种形式 例 根 据 下 列 条 件 写 出 直 线 方 程， 并 化 为 一 般 式 方程： （） 经过点（， ） ， 斜率是； （） 经过两点（，） 和（，） 分 析 根据题目所给条件， 恰当地选择形式 解： （） 由直线的点斜式方程得（） ， 所以 ， 化为一般式方程为 （） 由两点式方程得 ， 整理得 或设所求直线方程为 ， 代入两个已知点坐标 得 ， ，解得 ， 烅 烄 烆 ， 所以 因为、不能同时为， 所以 ， 所以 点 拨 根据所给出的条件， 选择适当的直线方程的形式 求解， 然后再化为一般式方程 跟踪练习 若直线（）不经过第一象限， 则的 取值范围为 解 析 将直线方程变形为（）， 则斜率为 ， 在轴 的 截 距 为， 然 后 运 用 数 形 结 合 思 想， 得 ， 解得 答案： ， ） 探究三 在直线的一般式方程下研究平行与垂直问题 想一想： 在斜截式形式下， 如何判定两条直线平行与 垂直？ 前面学过， 对于直线 ：，： ， 且； 议一议： 在直线的一般式方程下， 如何判定两条直线平 行与垂直？ （） 根据直线的一般式方程判断两直线平行 一般地， 设直线 ：，： 当，时， ， ； ， 因为 ， 所以 ， 且 ， 即， 且 当，时， ， ， 因为 ， 所以 ， 即 （） 根据直线的一般式方程判断两直线垂直 设 ：，： 若 ， 则有反过来也成立， 即 提升总结： 已知直线 ：，： ， 则且 ， 或； 温馨提示： 利用一般式判断两直线的平行与垂直， 不如 用斜截式简便易懂， 因此一般 先 把 一 般 式 化 为 斜 截 式 再 判断 例 已知直线： （） 求过点（， ） 与直线平行的直线方程； 新新教案高中数学必修（ 人教实验版） 教 学 札记 （） ： 与 直 线垂 直， 试 确 定 实 数 的值 分 析 （） 所求直线与平行， 则斜率相等； （） 实数满足两直线垂直， 如何体现两者垂直？ 解： （ ） 设所求直线的斜率为， 由于所求直线与直线 平行， 故 由所求直线经过点（ ，） 可得直线 方程为 （ ） ， 即 （） ，（）， 点 拨 （） 一般地， 经过点（ ，）