新新教案系列高中数学第3章概率全程优化复习教案新人教A必修3

概!率第三章 ! # %! 教!学 札记! 解 析 设黄灯亮的时间为秒$ 则 # $ # $% $! 其中$! +! /!从 这 $张卡片中任取一张 记事件( 该卡片上两个数的各位数 字之和 例如! 若取到标有/! $的卡片 则卡片上两个数的 各位数字之和为/!$.! $# 不小于! %) 为0 则90# ! 解 析 从 $张卡片中任取一张共有 $种可能$其中各 卡片上的数字之和大于等于! %的有0$ 4# $ 4$/# $ ! )$! 0# $ ! 0$ ! 4# $ ! 4$! /# 共(种$ 因此满足各条件的概率为9 ( $ ! %! !答案# ! % !例)! $ $ /-广东高考# 随机抽取某中学甲& 乙两班各 ! $名同学 测量他们的身高 单位!L 1# 获得身高数据的茎 叶图如图#*%*%所示! 图#*%*% !# 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高* # 计算甲班的样本方差! # 现从乙班这! $名同学中随机抽取两名身高不低 于! 0 #L 1的 同 学 求 身 高 为! 0 )L 1的 同 学 被 抽 中 的 概率! 解# !# 由茎叶图可知! 甲班身高集中于! ) $&! 0 /之间 而乙班身高集中于! 0 $&! 4 $之间!因此乙班平均身高高于 甲班! #! ( 4 ! ) ! ) # ! ) 4 ! ) 4 ! 0 $ ! 0 ! ! 0 / ! 0 / ! 4 ! $ ! 0 $ ! 甲班的样本方差B ! ! $/ ! ( 4T! 0 $# $ ! ) T! 0 $# $ ! ) #T! 0 $# $ ! ) 4T! 0 $# $ ! ) 4T! 0 $# $ ! 0 $T! 0 $# $ ! 0 !T! 0 $# $ ! 0 /T! 0 $# $ ! 0 /T! 0 $# $ ! 4 T! 0 $# 0 ( 0! ! # 设身高为! 0 )L 1的同学被抽中的事件为0 从乙班 ! $名 同 学 中 抽 中 两 名 身 高 不 低 于! 0 #L 1的 同 学 有! ! 4 ! ! 0 # ! 4 ! 0 )# ! 4 ! 0 4# ! 4 ! 0 /# ! 0 /! 0 # ! 0 / ! 0 )# ! 0 /! 0 4# ! 0 4! 0 # ! 0 4! 0 )# ! 0 )! 0 # 共 ! $个基本事件 而事件0含有%个基本事件! ! 4 ! 0 )# ! 0 / ! 0 )# ! 0 4! 0 )# ! 0 )! 0 # 890# % ! $ (! 例*! $ ! $-山东高考# 一个袋中装有四个形状大小 完全相同的球 球的编号分别为! #%! !# 从袋中随机取两个球 求取出的球的编号之和不大 于%的概率$ # 先从袋中随机取一个球 该球的编号为6 将球放回 袋中 然 后 再 从 袋 中 随 机 取 一 个 球 该 球 的 编 号 为) 求 )6$的概率! 解# !# 从袋中随机取两个球 其一切可能的结果组成的基 本事件有! !和!和#!和%和#和%#和% 共)个! 从袋中取出的两个球的编号之和不大于%的事件有! 和 !和# 共个 因此所求事件的概率为9 ) ! #! # 先从袋中随机取一个球 记下编号为6 放回后 再 从袋中随机取一个球 记下编号为) 其一切可能的结果6 )# 有! ! !# !# !# !%# !# # # %# #!# # # #%# %!# %# %# %# 共! )个 % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ! 概!率第三章 ! # )! 教!学 札记! 又满足条件)6$的事件有! !# !%# %# 共#个! 所以满足条件)6$的事件的概率为9!# ! )! 故满足条件)6$的事件的概率为 !T9!T # ! ) ! # ! )! 例+! $ $ /-福建高考# 袋中有大小& 形状相同的红 球& 黑球各一个 现依次有放回地随机摸取#次 每次摸取一 个球! !# 试问! 一共有多少种不同的结果* 请列出所有可能 的结果$ # 若摸到红球时得分 摸到黑球时得!分 求#次摸 球所得总分为(的概率! 解# !# 一共有4种不同的结果 列举如下 红 红 红# & 红 红 黑# & 红 黑 红# & 红 黑 黑# 黑 红 红# & 黑 红 黑# 黑 黑 红# 黑 黑 黑#! # 记(#次摸球所得总分为() 为事件0! 事件0包含的基本事件为 红 红 黑# & 红 黑 红# & 黑 红 红# 事件0包含的基本事件数为#! 由!# 可知 基本事件总数为4 所以事件0的概率为 90# # 4! 例,! $ ! $-天津高考# 有编号为0!0 +0! $的! $ 个零件 测量其直径 单位! L 1# 得到下面数据! 编号 0!00#0%0(0)00040/0! $ 直径! ( ! ! % / ! % / ! ( ! ! % / ! ( ! ! % 0 ! % ) ! ( # ! % 0 !其中直径在区间/! % 4! ( 0 内的零件为一等品! !# 从上述! $个零件中 随机抽取!个 求这个零件为 一等品的概率! # 从一等品零件中 随机抽取个! !用零件的编号列出所有可能的抽取结果$ 求这个零件直径相等的概率! 解# !# 由所给数据可知 一等品零件共有)个!设( 从 ! $个零件中 随机抽取!个为一等品) 为事件0 则90# ) ! $ # (! #!一等品零件的编号为0!00#0%0(0)!从这 )个一等品零件中随机抽取个 所有可能的结果有! ,0! 04 ,0!0#4 ,0!0%4 ,0!0(4 ,0!0)4 ,00#4 ,00%4 ,00(4 ,00)4 ,0#0%4 ,0#0(4 ,0# 0)4 ,0%0(4 ,0%0)4 ,0(0)4 共有! (种! ( 从一等品零件中 随机抽取的个零件直径相等) 记为事件1# 的所有可能结果有! ,0!0%4 ,0!0)4 ,0% 0)4 ,00#4 ,00(4 ,0#0(4 共有)种 所以91# ) ! ( (! 例# - ! $ ! $-湖南高考# 为了对某课题进行研究 用 分层抽样方法从三所高校*+,的相关人员中 抽取若干 人组成研究小组 有关数据见下表 单位! 人# ! 高校相关人数抽取人数 *! 4# +# ) ,( %2 !# 求#2$ # 若从高校+,抽取的人中选人作专题发言 求这 人都来自高校,的概率! 解# !# 由题意可得 # ! 4 # ) 2 ( % 所以#! 2#! # 记从高校+抽取的人为%! % 从高校,抽取的 #人为&!&# 则从高校+,抽取的(人中选人作专题 发言 的 基 本 事 件 有 %!%# %!&!# %!&# %!&# %&!# %&# %&# &!&# &!&# &# 共! $种! 设选中的人都来自高校,的事件为N 则N包含的 基本事件有 &!&# &!&# &# 共#种 因此9N# # ! $! 故选中的人都来自高校,的概率为# ! $! 本章检测 时间! ! $ $分钟!满分! $分# 一% 选择题 每小题(分 共( $分# !以下四个命题中错误命题的个数是!# !对立事件一定是互斥事件$0&1为两个事件 则 90B1#90#$91# $#若事件0&1&3两两互 斥 则90#$91#$93#!$事件0&1满足 90#$91#! 则0&1是对立事件! *! $+! !,! -! # 解 析 由互斥) 对立事件的概率及互斥事件和事件的概 率公式得#$都是错误的! !答案#- !一箱产品有正品%件 次品#件 从中任取件 其中 事件!恰有!件次品与恰有件次品$至少有!件 次品与全是次品$#至少有!件正品与至少有!件次 品$至少有!件次品与全是正品! 其中互斥事件有!# *& !组!+& 组!,& #组!-& %组 解 析 对于!$ 恰有!件次品就是!件正品)!件次品与 件都是次品显然互斥 对于$ 至少有!件次品包括恰有 !件次品和件全是次品$ 两事件不互斥 对于#$ 至少有 !件正品包括恰有!件正品和件都是正品$ 与至少有 !件次品显然不互斥 对于$ 至少有!件次品包括恰有 !件次品和件全是次品$ 与全是正品显然互斥!故!$ 是互斥事件! !答案# % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %+ 新新教案高中数学必修! 人教实验版 ! $ *! 教 学 札记 #!在所有两位数! $&/ /# 中 任取一个数 则这个数能被 或#整除的概率是!# *& ( ) +& % ( ,& # -& ! 解 析 设在! $&/ /中能被$#$)整除的整数分别为 $#6$)$ 其 中$6$)*9$ 则 令! $./ /$ ! $.#6./ /$! $.)./ /$ 解得(.% /$%.6.# #$ .) .! )$ 则有% /T(!.% (个能被整除的整数$ # #T%!.# $个能被#整除的整数$! )T!.! (个 能被)整除的整数$ 故有% (# $T! (.) $个能被或 #整除的整数$! $&/ /中只有/ /T! $!./ $个整数$ 故所求事件的概率为9) $ / $ # $ 故选,! 答案#, %!已知某厂的产品合格率为/ $9 现抽出! $件产品检 查 则下列说法正确的是!# *&合格产品少于/件+&合格产品多于/件 ,&合格产品正好是/件-&合格产品可能是/件 解 析 易知抽出的! $件产品中合格产品可能有#种情 况$ 多于/件) 少于/件) 等于/件! !答案#- (!有(条长度分别为!#(0/的线段 从中任意取出#条 则所取#条线段可构成三角形的概率为!# *& # ( +& # ! $ ,& ( -& 0 ! $ 解 析 从(条线段中任取#条线段$ 可能出现的所有结 果$ 即基本事件为!$ #$(# $ !$#$0# $ !$#$/# $ !$($0# $ !$($/# $ !$0$/# $ #$($0# $ #$($/# $ #$0$/# $ ($0$/# $ ! $个基本事件的出现是等可能的!用0表示% 可构成 三角形& 这一事件$ 则0有#种情况$ 因而90# ! $! 答案#+ )!某产品分甲& 乙& 丙三级 其中乙& 丙两级均属次品!若 生产中出现乙级品的概率为$! $ # 丙级品的概率为 $! $ ! 则对成品抽查一件抽得正品的概率为!# *& $! / /+& $! / 4,& $! / 0-& $! / ) 解 析 抽得正品的对立事件为抽得乙级品或抽得丙级 品$ 所以9!T$! $ #$! $ !#$! / )! !答案#- 0!某班学生在一次数学考试中成绩分布如下表! 分数段/$4 $#/4 $/ $#/ $! $ $# /! $ $! ! $# 人数 ()4 分数段/! ! $! $# /! $! # $# /! # $! % $# /! % $! ( $# 人数 ! )% 那么分数在/! $ $ ! ! $# 上的频率和分数不满! ! $分的 频率分别是 精确到$! $ !# !# *& $! ! 4$! % 0+& $! % 0$! ! 4 ,& $! ! 4$! ( $-& $! # 4$! 0 ( 解 析()4! )%.% ($ 分 数 在 1! $ $ ! ! $# 上的频率为 4 % (1$! ! 4 $ 分数不满! ! $分的频 率为 ! % (1$! % 0! !答案# * 4!函数5# (#( #*/(0 那么任意#$* /( (0 使5#$#.$的概率为!# *! $! !+! # ,! $! #-! $! % 解 析 由5#$#.$得#$*1(!$2 $ 所以5#$#.$的 概率为T (!# (T(# # ! $! #! !答案# , 图#*%*( /!如图#*%*(所示 是由一个圆& 一个 三角形 和 一 个 长 方 形 构 成 的 组 合 体 现有红& 蓝两种颜色为其涂色 每个图形只能涂一种颜色 则三个 图形颜色不全相同的概率为!# *& # % +& # 4 ,& ! % -& ! 4 解 析 给#个图形涂种颜色共有55.4 种# 涂 法$ 而三个图形颜色全相同的只有种$ 所以三个图形 颜色全相同的概率为 4 ! %! 事件% 三个图形颜色不 全相同& 的对立事件为% 三个图形颜色全相同& $ 所以 % 三个图形颜色不全相同& 的概率为!T! % # %! 答案#* ! $!在一个袋子中装有分别标注数字!#%(的五个 小球 除标注的数字外完全相同!现从中取出个小 球 则取出的小球标注的数字之和为#或)的概率 是!# *& # ! $ +& ! ( ,& ! ! $ -& ! ! 解 析 记% 随机取出个小球上标注数字为$%& 的事 件结果为 $%# $ 由于是一次取出个小球$ 所以它们 标的数字不同$ 且与%没有顺序$ 即 $%# 和%$# 是同一事件的结果$ 则有!$ # $ !$# $ !$%# $ !$(# $ $ # $ $%# $ $(# $ #$%# $ #$(# $ %$(# $ 共有! $种 结果!其中数字之和为#时$ 只有!个!$# $ 数字之 和为)时$ 有个!$(# 和$%#!由古典概型的概率 加法计算公式可知$ 所求概率为! ! $ # ! $! 答案#* 二% 填空题 每小题%分 共 $分# 图#*%*) ! !在矩形0 1 3 G中0 1 %1 3 如图#*%*)所 示# 随机向矩形内丢一 粒豆 子 则 豆 子 落 入 圆 内的概率是! % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %! 概!率第三章 ! $ ! 教!学 札记! 解 析 基本事件度量为矩形的面积%5.4$ 所求概 率的事件度量为圆的面积$ 设圆的半径为F$ 则F $ 所以F!$ 故9! 7! 4 ! 4 ! !答案# ! 4 ! !在区间/(!0 上随机取一个数# 则&#&.!的概率 为! 解 析 由&#&.!$ 得(!.#.!由几何概型的概率计 算公 式 知$ 所 求 的 概 率9 区间1(!$ !2 的长度 区间1(!$ 2 的长度 #! !答案# # ! #!某拍卖行拍卖的 $幅名画中 有幅是赝品 某人在 这次拍卖中买了!幅画 他买入的这幅画是赝品的概 率为! 解 析 这幅画是赝品的概率为 $ ! ! $ ! ! 答案# ! ! $ ! %!设函数25# 在区间/$!0 上的图象是连续不断的 一条曲线 且恒有$.5 #.! 可以用随机模拟方法 近似计算由曲线25# 及直线#$#! 2$ 所围成部分的面积.!先产生两组 每组K个# 区间 /$ !0 上的均匀随机数#!# +#K和2!2 + 2K 由此得到K个点#=2=# =! +K#!再数出 其中满足2 =.5#=# =! +K# 的点数K! 那么 由随机模拟方法可得.的近似值为! （ ） 图#*%*0 解 析 由$.5#.!可知曲 线25# 与直线#$# !$2$围 成 了 一 个 曲 边 梯 形!又产生的随机数对在如图 #*%*0所示的正方形内$ 正方 形的面积为!$ 共有K对数$ 即有K个点$ 且满足2 =.5#=# =!$ ($K# 的有 K!个点$ 即在函数5# 图象上及下方有K!个点$ 所 以由几何概型的概率公式得! 曲线25# 与#$ #!$2$围成的面积为K ! K 7!.K ! K ! !答案# K! K ! (!( 渐进数) 是指每个数字比其左边的数字大的自然数 如( 0 4# 在两位的( 渐进数) 中任取一数比# 0大的 概率是! 解 析 十位是!的% 渐进数& 有4个 十位是的% 渐进数& 有0个$ ($ 十位是4的% 渐进数& 有!个$ 所以两位的% 渐 进数& 有4 0 ) ( % #!.# ) 个# $ 以#为十 位比# 0大的% 渐进数& 有个$ 分别以%$($)$0$4为 十位的% 渐进数& 均比# 0大$ 共有(%#!. ! ( 个# $ 所以比# 0大的% 渐进数& 共有! (.! 0 个# $ 故在两位的% 渐进数& 中任取一数比# 0大的概率是 ! 0 # )! !答案# ! 0 # ) 三% 解答题 共( $分# ! )! $分# 一塑料盒中装有各色球! 只 其中(红&% 黑& 白&!绿 从中取出!球! !# 求取出的球为红球或黑球的概率$ # 求取出的球为红球或黑球或白球的概率! 解# !# 从! 只球中任取一球得红球有(种不同取 法 得黑球有%种不同取法 得红球或黑球共有(% ./种不同取法 任取一球有! 种不同取法 得概率 为9!/ ! # %! # 从! 只球中任取一球得红球有(种不同取法 得 黑球有%种不同取法 得白球有种不同取法 从而 得红球或白球或黑球的概率为! ! ! ! ! 0! $分# 猎人在距离! $ $米处射击一野兔 命中的概 率为! 如果第一次没有命中 则猎人进行第二次射 击 但距离已是! ( $米 如果又没有击中 则猎人进行 第三次射击 但距离已是 $ $米!已知猎人命中兔子 的概率与距离的平方成反比 则三次内击中野兔的概 率是多少* 分 析 每一次击中野兔的事件是互斥的$ 可用互斥事 件的加法公式来求解! 解# 三次内击中野兔 即第一次击中野兔或第二次击 中野兔或第三次击中野兔 设第一& 二& 三次击中野兔 分别为事件0&1&3! 设距 离 为4 命 中 的 概 率 为9 则 有9 4 将 4! $ $9 ! 代 入 上 式 可 得($ $ $ 所 以9 ($ $ $ 4 所以91#($ $ $ ! ( $ / 93#($ $ $ $ $ ! 4! 又已知90#! 所以90B1B3#90#$91#$93# ! $ /$ ! 4 ) ! 0 ! 故三次内击中野兔的概率为) ! 0 ! ! 4! $分# 正方体0 1 3 G * 0!1!3!G!的棱长为 在正方 体内随机取一点J! !# 求点J落在三棱锥1!* 0!1 3!内的概率$ # 求四棱锥J * 0 1 3 G的体积小于! ) #的概率! 分 析 解决几何概型问题的关键是要寻找几何量之间 的度量关系$ 利用相关公式求出其概率! 解# !# 记( 点J落在三棱锥1!* 0!1 3!内) 为事件0! 因为棱长为的正方体的体积/ # % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % 由正方体的性 新新教案高中数学必修! 人教实验版 ! $ ! 教 学 札记 质可知/1 ! * 0!1 3! ! #. 60!1!3!-1 1! ! ) # 故90# /1!* 0!1 3! / ! )! # 记( 四棱锥J * 0 1 3 G的体积小于! ) #) 为事件1! 设J到平面0 1 3 G的距离为, 则$.,.! /J * 0 1 3 G ! #. 四边形0 1 3 G-,! # , 由! # , ! ) #得, 故91# ! ! ! /! $分# 从含有两件正品&%和一件次品&的#件产 品中每次任取一件 连续取两次!求取出的两件产品 中恰有一件次品的概率! !# 每次取出不放回$ # 每次取出后放回! 分 析 问题的关键在于一种是不放回试验$ 一种是放 回试验!不放回试验$ 取一件少一件 而放回试验$ 取 一件后$ 再取一件时情况不变!通过列出所有基本事 件解答比较直观易懂! 解# !# 方法! 每次取出后不放回的所有可能结果有 %# &# %# %&# &# &%# 其中小括号 内左边字母表示第一次取出的产品 右边字母表示第 二次取出的产品 共有)个基本事件!其中有一件次 品的事件有 &# %&# &# &%# 共%个基本 事件! 因此 每次取出后不放回 取出的两件产品中恰有一 件次品的概率为% ) #! 方法! 取出的两件产品中有一件次品 至于是第一 次取出 还是第二次取