江苏启东数学大一轮讲义二函数与导数第2讲函数的应用pdf

25 专题二 函数与导数 专题二 函数与导数 第第 2 讲 函数的应用讲 函数的应用 总序总序 4 考情解读 (1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以填空题的形式 出现(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题 热点一 函数的零点 例 1 (1)函数 f(x)2xx32 在区间(0,1)内的零点个数是_ (2)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x) cos x，x0，1 2， 2x1，x(1 2，)， 则不等式 f(x1)1 2的解集为_ 思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决 答案 (1)1 (2)1 4， 2 3 4 3， 7 4 解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点 因为 f(x)2xln 23x20，所以函数 f(x)2xx32 在(0,1)上递增， 且 f(0)10210，所以有 1 个零点 (2)先画出 y 轴右边的图象，如图所示 f(x)是偶函数，图象关于 y 轴对称，可画出 y 轴左边的图象， 再画直线 y1 2.设与曲线交于点 A，B，C，D，先分别求出 A，B 两点的横坐标 令 cos x1 2，x0， 1 2，x 3，x 1 3. 令 2x1 1 2，x 3 4，xA 1 3，xB 3 4. 根据对称性可知直线 y1 2与曲线另外两个交点的横坐标为 xC 3 4，xD 1 3. f(x1)1 2，则在直线 y 1 2上及其下方的图象满足， 1 3x1 3 4或 3 4x1 1 3， 4 3x 7 4或 1 4x 2 3. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有函数零点值大致存在区间的确定；零点个数 的确定；两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零 点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解 (1)已知函数 f(x)(1 4) xcos x，则 f(x)在0,2上的零点个数是_ (2)已知 a 是函数 f(x)2xlog1 2x 的零点，若 0x 0a，则 f(x0)和 0 的大小关系是_ 答案 (1)3 (2)f(x0)0 解析 (1)f(x)在0,2上的零点个数就是函数y(1 4) x和ycos x的图象在0,2上的 26 交点个数，而函数 y(1 4) x和 ycos x 的图象在0,2上的交点有 3 个 (2)f(x)2xlog1 2x 在(0，)上是增函数，又 a 是函数 f(x)2 xlog1 2x 的零点，即 f(a)0， 当 0x0a 时，f(x0)0. 热点二 函数的零点与参数的范围 例 2 对任意实数 a，b 定义运算“”：ab b，ab1， a，ab1. 设 f(x)(x21)(4x)，若函数 yf(x)k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点，则 k 的取值范围是_ 思维启迪 先确定函数 f(x)的解析式，再利用数形结合思想求 k 的范围 答案 2,1) 解析 解不等式 x21(4x)1，得 x2 或 x3， 所以 f(x) x4，x(，23，)， x21，x(2，3). 函数 yf(x)k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点转化为 函数 yf(x)的图象和直线 yk 恰有三个不同交点如图，所以1k2，故2k1， f(1)1， a3a1， a1 2. 热点三 函数的实际应用问题 例 3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后， 发现一天中环境综合放射性污染 指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)| x x21a|2a 2 3，x0,24，其中 a 是与气象有关的参数，且 a0， 1 2，若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作 M(a) (1)令 t x x21，x0,24，求 t 的取值范围； (2)省政府规定， 每天的综合放射性污染指数不得超过 2， 试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ 27 思维启迪 (1)分 x0 和 x0 两种情况，当 x0 时变形使用基本不等式求解 (2)利用换元法把函数 f(x)转化成 g(t)|ta|2a2 3，再把函数 g(t)写成分段函数后求 M(a) 解 (1)当 x0 时，t0；当 0x24 时，x1 x2(当 x1 时取等号)， t x x21 1 x1 x (0，1 2，即 t 的取值范围是0， 1 2 (2)当 a0，1 2时，记 g(t)|ta|2a 2 3，则 g(t) t3a2 3，0ta， ta2 3，at 1 2. g(t)在0，a上单调递减，在(a，1 2上单调递增，且 g(0)3a 2 3，g( 1 2)a 7 6， g(0)g( 1 2)2(a 1 4) 故 M(a) g(1 2)，0a 1 4， g(0)，1 4a 1 2. 即 M(a) a7 6，0a 1 4， 3a2 3， 1 4a 1 2. 当 0a1 4时，M(a)a 7 62 显然成立； 由 3a2 32， 1 4a 1 2， 得1 4a 4 9，当且仅当 0a 4 9时，M(a)2. 故当 0a 4 9时不超标，当 4 9a 1 2时超标 思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建 立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去 (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元， 每生产 1 千件需另投入 2.7 万元 设 该公司一年内生产该品牌服装 x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x) 10.8 1 30 x 2 (010). (1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润年销售收 入年总成本) 解 (1)当 010 时， WxR(x)(102.7x)981 000 3x 2.7x.W 8.1xx 3 3010 (010). (2)当 00； 28 当 x(9,10)时，W10 时， W98 1 000 3x 2.7x 982 1 000 3x 2.7x38， 当且仅当1 000 3x 2.7x，即 x100 9 时，W38，故当 x100 9 时，W 取最大值 38. 综合知：当 x9 时，W 取最大值 38.6 万元， 故当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大 真题感悟 1 已知函数 f(x) 1 x13， x 1，0， x， x，1， 且 g(x)f(x)mxm 在(1,1内有且仅有两个不同的 零点，则实数 m 的取值范围是_ 答案 9 4，2 0，1 2 解析 作出函数 f(x)的图象如图所示，其中 A(1,1)，B(0，2) 因为直线 ymxmm(x1)恒过定点 C(1,0)， 故当直线 ym(x1)在 AC 位置时，m1 2， 可知当直线ym(x1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线 ym(x1)可与 AC 重合但不能与 x 轴重合)， 此时 0m1 2，g(x)有两个不同的零点当直线 ym(x1)过点 B 时，m2； 当直线 ym(x1)与曲线 f(x)相切时，联立 y 1 x13， ym(x1)， 得 mx2(2m3)xm20， 由 (2m3)24m(m2)0，解得 m9 4， 可知当 ym(x1)在切线和 BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线 ym(x1)可与 BC 重合但不能 与切线重合)，此时9 40， 则函数 yff(x)1的零点有_个 答案 4 解析 当 f(x)0 时，x1 或 x1，故 ff(x)10 时，f(x)11 或 1. 当 f(x)11，即 f(x)2 时，解得 x3 或 x1 4； 当 f(x)11，即 f(x)0 时，解得 x1 或 x1.故函数 yff(x)1有四个不同的零点 2函数 f(x)xexa 有两个零点，则实数 a 的取值范围是_ 答案 (1 e，0) 解析 令 f(x)(x1)e x0，得 x1，则当 x(，1)时，f(x)0，所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 要使 f(x)有两个零点，则极小值 f(1)0，则 a0， 故y x182 258，当且仅当 x5 时，年平均利润最大，最大值为 8 万元 一、填空题 1函数 f(x)x22x的零点个数为_ 答案 3 解析 由于 f(1)12 11 20，又 f(0)010， 若方程 f(x)m 有三个不同的实根，则实数 m 的取值范围为_ 答案 (1 4，0) 解析 作出函数 yf(x)的图象，如图所示 当 x0 时，f(x)x2x(x1 2) 21 4 1 4，所以要使函数 f(x)m 有三个不同的零点， 则1 4m0，即 m 的取值范围为( 1 4，0) 5如图，半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1，l2之间，ll1，l 与半圆相交于 F、G 两 点，与三角形 ABC 两边相交于 E、D 两点设弧 FG 的长为 x(0x)，yEBBCCD，若 l 从 l1平行移 动到 l2，则函数 yf(x)的图象大致是_ 答案 解析 如图所示，连结 OF，OG，过点 O 作 OMFG，过点 A 作 AHBC，交 DE 于点 N. 因为弧 FG 的长度为 x，所以FOGx， 则 ANOMcos x 2，所以 AN AH AE ABcos x 2， 则 AE2 3 3 cos x 2，所以 EB 2 3 3 2 3 3 cos x 2. 所以 yEBBCCD4 3 3 4 3 3 cos x 2 2 3 3 4 3 3 cos x 22 3(0x)对照图象知正确 6已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x) x22，x0，1）， 2x2，x1，0）， 且 f(x2)f(x)，g(x)2x5 x2 ，则方 程 f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为_ 答案 7 解析 由题意知 g(x)2x5 x2 2(x2)1 x2 2 1 x2， 函数 f(x)的周期为 2，则函数 f(x)，g(x)在区间5,1上的图象如图所示： 31 由图形可知函数 f(x)，g(x)在区间5,1上的交点为 A，B，C， 易知点 B 的横坐标为3，若设 C 的横坐标为 t(00 时，由 f(x)ln x0，得 x1.因为函数 f(x)有两个不同的零点， 则当 x0 时，函数 f(x)2xa 有一个零点，令 f(x)0 得 a2x， 因为 02x201，所以 0a1，所以实数 a 的取值范围是 0a1. 8设函数 f(x) ex 1， x1， x 1 3， x1， 则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_ 答案 (，8 解析 当 x1 时，x10，ex 1e012，当 x1 时满足 f(x)2. 当 x1 时，x1 32，x2 38,1x8. 综上可知 x(，8 9已知函数 f(x) 1 x2m|x|有三个零点，则实数 m 的取值范围为_ 答案 (1，) 解析 函数 f(x)有三个零点等价于方程 1 x2m|x|有且仅有三个实根 1 x2m|x| 1 m|x|(x2)，作函数 y|x|(x2)的图象， 如图所示，由图象可知 m 应满足 00 恒成立， 即对于任意 bR，b24ab4a0 恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，所以 0a1. 因此实数 a 的取值范围是(0,1) 12随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员 2a 人(1402a420，且 a 为 偶数)，每人每年可创利 b 万元据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员 1 人，则留岗职员每人每年多 创利 0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年 0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小 于现有职员的3 4，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 解 设裁员 x 人，可获得的经济效益为 y 万元，则 y(2ax)(b0.01bx)0.4bx b 100x 22(a70)x2ab. 依题意得 2ax3 4 2a，所以 0x a 2.又 1402a420，即 70a210. (1)当 0a70a 2，即 70a 2，即 140a210 时，x a 2，y 取到最大值故当 70a140 时，公司应裁员(a70)人， 经济效益取到最大，当 140a0， 即 f(x)0 有两个不