江苏扬州中学高二数学上学期期中PDF

1 江苏省扬州中学江苏省扬州中学 20192020 学年度第一学期期中考试学年度第一学期期中考试 高高 二二 数数 学学 （试题满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 60 分每小题所给的分每小题所给的 A.B.C.D.四个结论四个结论 中，只有一个是正确的。中，只有一个是正确的。) 1.命题“xZ，使 x2+2x+m0”的否定是（ ） AxZ，都有 x2+2x+m0 BxZ，使 x2+2x+m0 CxZ，都有 x2+2x+m0 D不存在 xZ，使 x2+2x+m0 2.21+与21的等比中项是（ ） A. 2 B.1 C.-1 D. 1 3. “01m”是“方程 22 1 2 xy mm += 表示椭圆”的（ ） A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4.双曲线 22 1 412 xy =的焦点到渐近线的距离为（ ） A2 3 B2 C3 D1 5.已知等差数列 n a的公差为 2，若 134 ,a a a成等比数列， n S是 n a的前n项和，则 9 S等于（ ） A8 B6 C10 D0 6.双曲线 x2 m y2 n1(mn0)的离心率为 2，有一个焦点与抛物线 y24x 的焦点重合，则 mn 的值为( ) A3 8 B 3 16 C 16 3 D8 3 7.已知数列an的前 n 项和为 Sn，则“an是等差数列”是“ n S n 是等差数列”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8.已知数列 n a， n b都是等差数列， Sn， Tn分别是它们的前 n 项和， 并且 73 3 n n Sn Tn + = + ， 2 则 223 817 b +b aa+ =( ) A. 17 6 B. 13 4 C. 19 3 D. 13 6 9.过 1 0 4 （ ，）的直线与抛物线 2 yx=交于A，B两点，若| 4AB =，则弦AB的中点到直线 1 0 2 x+=的距离等于（ ） A. 7 4 B. 9 4 C.4 D.2 10.已知数列 n a，如果 1 a， 21 aa， 32 aa， 1nn aa ，是首项为 1， 公比为 1 3 的等比数列，则 n a=（ ） A. 31 1 23n （） B. 1 31 1 23n （） C. 21 1 33n （） D. 1 21 1 33n （） 11.已知点(1,0)M，,A B是椭圆 2 2 1 4 x y+= 上的动点，且 0MA MB= ，则MA BA 的取 值范围是（ ） A. 1,9 B. 2 ,9 3 C. 2 ,1 3 D. 6 ,3 3 12.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab += 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，P为椭圆上不与左右 顶点重合的任意一点，I，G分别为 12 PFF的内心和重心，当IGx轴时，椭圆的离 心率为（ ） A 1 3 B 1 2 C 3 2 D 6 3 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 20 分只要求写出最后结果分只要求写出最后结果) 13.若“3x ”是“x m ”的必要不充分条件，则m的取值范围是_ 14.已知数列 n a满足： 1 1a =， * 1 32() nn aanN + =+，则 n a = . 3 15.过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆 22 22 1(0) xy ab ab +=交于AB、两点， 12 ,F F 为椭圆的左,右焦点，若 12 2 F AF =,且该椭圆的离心率 26 , 23 e，则的取值范围 为 16.过抛物线 2 4yx=焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆() 2 22 1xyr+=交 于C，D两点，若有三条直线满足ACBD=，则r的取值范围为 . 三、解答题（本大题共 6 小题，计 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 ） 17.（本小题满分 10 分） （1）已知数列 n a的前 n 项和为 n S，若321 n n Sn=+，求 n a. （2）已知an是各项为正的等比数列，a12，a32a2+16,设 bn 2 log n a，求数列bn的 前 n 项和 18.（本小题满分 12 分） 已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab = （a0，b0）的离心率为 3，且 2 2 3 a c = （1）求双曲线 C 的方程. （2）已知直线0 xym+=与双曲线 C 交于不同的两点 A，B 且线段 AB 的中点在圆 22 5xy+=上，求 m 的值 19.（本小题满分 12 分） 已知:(1)(2)0, :pxxq+关于x的不等式 2 260 xmxm+恒成立 (1)当xR时q成立，求实数m的取值范围. (2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 20.（本小题满分 12 分） 已知 n a为等差数列，前 n 项和为() n S n N， n b是首项为 2 的等比数列，且公比大 于 0， 23 12bb+=, 341 2baa=， 114 11Sb=. 4 （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）求数列 221 nn a b 的前 n 项和()n N. （3）设 221 log nn cb =， n P为数列 2 1 4 nn n c c + 的前n项和，求不超过 2019 P的最大整数 21. （本小题满分 12 分） 如图,已知抛物线C顶点在坐标原点，焦点F在y轴的非负半轴上，点( 2,1)M 是抛物 线上的一点. （1）求抛物线C的标准方程 （2）若点,P Q在抛物线C上,且抛物线C在点,P Q处的切线 交于点S,记直线 ,MP MQ的斜率分别为 12 ,k k ，且满足 21 1kk= ,当,P Q在C上运动时，PQS的面积是否为定 值？若是，求出PQS的面积；若不是，请说明理由. 22.（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab +=的离心率为 1 2 ，右准线方程为4x =，A， B 分别是椭圆 C 的左，右顶点，过右焦点 F 且斜率为 k(k 0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点 （1）求椭圆 C 的标准方程. （2）记AFM，BFN 的面积分别为 S1，S2，若 1 2 3 2 S S = 求 k 的值. （3）设线段 MN 的中点为 D，直线 OD 与右准线相交于点 E，记直线 AM，BN，FE 的 斜率分别为 k1，k2，k3 ，求 k2(k1k3)的值 出题人：蒋红慧 江金彪 校对：韩悦 审核：姜卫东 5 高二数学期中考试答案 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.C 9.B 10.A 11.B 12.A 13. 3m 14. 1 2 3-1 n n a = 15. 5 , 66 16.()2,+ 16.详解： （1）当直线lx轴时，直线l： 1x =与抛物线交于(1,2) (1, 2)、，与圆 222 (1)xyr+=交于(1, ) (1,)rr、，满足ACBD=. （2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l方程(1)yk x=. 1122 ( ,), (,)A x yB xy 联立方程组 2 (1) 4 yk x yx = = 化简得 2222 (24)0k xkxk+= 由韦达定理 12 2 4 2xx k +=+由抛物线得定义，过焦点 F 的线段 12 2 4 24ABAFBFxx k =+=+=+ 当四点顺序为ACDB、 、 、时ACBD= AB 的中点为焦点 F（1，0） ，这样的不与x轴垂直的直线不存在； 当四点顺序为ACBD、 、 、时，ACBD= ABCD= 又2CDr=， 2 4 42r k +=，即 2 2 2r k = 当2r 时存在互为相反数的两斜率 k，即存在关于1x =对称的两条直线。 综上，当(2,)r+时有三条满足条件的直线. 故选 B. 17解：(1) 当1n =时， 11 6as=； 当2n 时， 11 1 (321) 32(1) 12 32 nnn nnn assnn =+=+ 由于 1 a不适合此式， 6 所以 1 6,1 2 32,2 n n n a n = = + 5 分 （2）设等比数列的公比为 q， 由 a12，a32a2+16，得 2q24q+16， 即 q22q80，解得 q2（舍）或 q4 ； bnlog2an， b11，bn+1bn2（n+1）12n+12， 数列bn是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列， 则数列bn的前 n 项和 18.（1）由题意， 2 3 2 3 c a a c = = ，解得 6 3 a = ，c= 2 222 24 2 33 bca= 双曲线 C 的方程为 22 33 1 24 xy = ； （2）由 22 33 1 24 0 xy xym = += ，得 3x2-6mx-3m2-4=0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，x1+x2=2m，又中点在直线 x-y+m=0 上， 中点坐标为（m，2m） ，代入 x2+y2=5 得 m=1，满足判别式0 m 的值为1 19.（1）由题可知 22 44240,60,32mmmmm=+= 实数 m 的取值 7 范围是()3,2 （2）: 12px，设 | 12Axx= ， 2 |260Bx xmxm=+ p 是 q 的充分不必要条件，A 是 B 的真子集 由（1）知，32m 时，B=R，符合题意； 3m = 时， 2 6903Bx xxx x=+=，符合题意 2m =时， 2 4402Bx xxx x=+= ，符合题意 32mm或时，设 2 (2)6xmf xmx+=, ( )f x的对称轴为直线xm= ，由 A 是 B 的真子集得 ()( ) 1212 , 10203 +703 +100 mmmm ffmm 或或， 710107 12,32 3333 mmmm 或或 综上所述： 107 33 m- 20.【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q. 由已知 23 12bb+=，得 2 1( )12b qq+=，而 1 2b =， 2 60qq+=. 又0q ，解得2q =.2n n b =. 由 341 2baa=，可得 1 38da= ， 由 114 =11Sb，可得 1 516ad+= ， 联立，解得 1 1a =，3d =，由此可得32 n an=. 数列 n a的通项公式为32 n an=，数列 n b的通项公式为2n n b =. （2）设数列 221 nn a b 的前n项和为 n T， 由 2 62 n an=， 1 21 2 4n n b = ，有 221 (31) 4n nn a bn =， 8 23 2 45 48 4(31) 4n n Tn= + + +， 2341 42 45 48 4(34) 4(31) 4 nn n Tnn + =+ + +， 上述两式相减，得 231 32 43 43 43 4(31) 4 nn n Tn + = + + + 1 1 12 (14 ) 4(31)4 14 (32)48. n n n n n + + = = 得 1 328 4 33 n n n T + =+. 数列 221 nn a b 的前n项和为 1 328 4 33 n n + +. （3）由（）知： 21 21 2 n n b =，则 21 2 log 221 n n cn = ()()()() 222 2 1 4441111 11 212141212122121 nn nnn c cnnnnnnn + = += + + 1 111 11111 111 2 132 352 212121 n n Pn nnn =+=+ + 2019 2019 20192019 4039 P=+ 不超过 2019 P 的最大整数为2019 21.（1）设抛物线的方程为 2 2xpy=将 M（-2，1）点坐标代入方程中，解得 2 4xy= （2）设 22 12 12 , 44 xx P xQ x ，设直线 PQ 的方程为ykxb=+,代入抛物线方程 2 4xy=，得到 2 440 xkxb= ，则 1212 4 ,4xxk x xb+= ，结合 21 1kk=，而 ()2,1M 则 22 21 21 21 21 11 22 44 , 2424 xx xx kk xx = + ，代入，得到 21 4xx=所以 ()() 22 2 121212 4161616xxxxx xkb=+=+=，解得 2 1kb+= 9 过 P 点的切线斜率为 1 2 x ，过 Q 切线斜率为 2 2 x ，则 PS 的方程为 2 11 24 xx yx= ，QS 的方 程为 2 22 24 xx yx= ，联解这两个方程，得到 S 的坐标为()2 , kb，故点 S 的直线 PQ 的 距离为 2 22 22 2 11 kb d kk + = + ，而 PQ 的长度为 22 12 114kxxk+=+ ，故面积 为 2 2 112 414 22 1 Sd PQk k = += + ，故为定值。 22.（1）设椭圆的焦距为 2c(c0) 依题意， = 1 2，且 2 = 4，解得 a2，c1 故 b2a2c23 所以椭圆 C 的标准方程为 2 4 + 2 3 = 1 （2）设点 M(x1，y1)， N(x2，y2) 据题意，1 2 = 3 2，即 1 2|1| 1 2|2| = 3 2，整理可得 |1| |2| = 1 2，所以 = 2 代入坐标，可得1 2= 2(1 1) ， 2= 21 ， 即2 = 3 21 ， 2= 21 又点 M， N 在椭圆 C 上，所以 12 4 + 12 3 = 1 ， (321)2 4 + (21)2 3 = 1 ， 解得 1= 7 4 ， 1= 35 8 所以直线 l 的斜率 = 35 8 7 41 = 5 2 （3）