广东广州数学查漏补缺题理

2009年广州市高考数学考前查漏补缺题 （理 科）说明： 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组组织编写，共28题，分为A，B两组，其中B组题较难。 本训练题仅供本市高三学生考前查漏补缺用，希望在5月31日之前完成。3本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充。四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法。因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍。希望同学们保持良好的心态，在高考中取得自己理想的成绩！A 组1已知点,.(1) 若, 求的值;(2) 若其中为坐标原点, 求的值.2. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）用五点法画出函数在一个周期内的图象；（3）若，求函数的最大值和最小值；（4）若，求的值.3已知向量.（1）求.（2）若，且的值.4. 在ABC中，.(1) 求角C的大小; (2) 若ABC最长边的长为，求ABC最短边的长.5若是公差不为的等差数列的前项和，且成等比数列. （1）求数列的公比； （2）若，求数列的通项公式.6某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. （1）求第一天通过检查的概率； （2）求前两天全部通过检查的概率；（3）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求该车间在这两天内得分的数学期望7某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为.一旦发生，将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用.单独采用甲、乙预防措施所需费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为和.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值）8某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10，可能损失10，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，；如果投资乙项目，一年后可能获利20，也可能损失20，这两种情况发生的概率分别为. 如果把10万元投资甲项目，用表示投资收益，求的概率分布及； 若把10万元投资乙项目的收益不低于投资甲项目的收益，求的取值范围.（注：收益回收资金-投资资金）ADCEBF9. 已知在多面体ABCDE中，AB平面ACD，DEAB，AC = AD = CD = DE = 2，F为CD的中点（1）求证：AF平面CDE；（2）求平面ABC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小.10如图，矩形中，为上的点，且.（1）求证：；（2）求证；（3）求三棱锥的体积.ABCPM 11如图所示几何体中，平面PAC平面，PA = PC,，若该几何体左视图（侧视图）的面积为（1）求证：PABC；（2）画出该几何体的主视图（正视图）并求其面积S； （3）求出多面体的体积V主视方向12.设函数.（1）求的表达式；（2）求函数的单调区间、极大值和极小值；（3）若时，恒有，求实数的取值范围.13.已知椭圆的两个焦点为，在椭圆上，且 .(1)求椭圆方程；(2)若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程.14已知椭圆两个焦点为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设是（1）中椭圆的左、右顶点，作垂直于轴的动直线与椭圆交于不同两点、，求直线与的交点的轨迹方程.15已知抛物线的对称轴为，且与坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为.(1) 求实数的取值范围；(2) 设抛物线与轴的左交点为A，直线是抛物线在点A处的切线，试判断直线是否也是圆的切线？并说明理由.16设为数列的前项和，对任意N，都有为常数，且. （1）求证数列为等比数列； （2）设数列的公比，数列满足 N，求数列的通项公式.17已知数列是首项的等比数列，其前项和中，成等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）设，若对一切N恒成立，求实数的最小值18制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？19.某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员已知这家公司现有职工人，每人每年可创利润10万元根据测算，在经营条件不变的前提下，若裁员人数不超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.1万元；若裁员人数超过现有人数的20%，则每裁员1人，留岗员工每人每年就能多创利润0.12万元为保证公司的正常运转，留岗的员工数不得少于现有员工人数的70%为保障被裁员工的生活，公司要付给被裁员工每人每年2万元的生活费设公司裁员人数为，公司一年获得的纯收入为万元（注：年纯收入年利润裁员员工的生活费）（1） 求出与的函数关系式；（2） 为了获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？20某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？（精确到立方米, ）B 组21. 设数列满足N, 其中为实数，且.（1）求数列的通项公式（2）设，N, 求数列的前项和；（3）若对任意成立，证明；22已知正项数列和中，.当时， .（1） 证明：对任意N，有；（2） 求数列的通项公式；（3） 记，求数列的前项和.23已知数列和（其中且），满足，且（1）求证：；（2）求证：数列单调递减且.24若函数（为自然对数的底）（1）若，求函数的最小值；（2）对任意实数都有,求实数的值25. 已知函数在上是增函数，（1）求正数的取值范围；（2）设，求证：26已知函数和其中（1）若函数与的图像的一个公共点恰好在轴上，求的值；（2）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，27已知函数，函数在其定义域内是增函数，且在其定义域内存在零点（为函数的导函数）.（1）求的值；（2）设是函数的图象上两点，（为函数的导函数），试比较与的大小，并说明理由.28.已知椭圆两焦点分别为，是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点. （1）求点坐标； （2）求证直线的斜率为定值； （3）求面积的最大值.2009年广州市高考数学考前查漏补缺（理 科）参考答案1.解：(1) , . , . 化简得. （若则, 上式不成立）， . (2) , . . . 2.解：（1） 函数的最小正周期 （2）列表： 描点，连线，得函数在一个周期内的图象如图所示.（3），当，即时，函数有最大值2.当或，即或时，函数有最小值1 （4）由已知得，得. ，. . .3.解：（1），, . （2）. 由 ， 得. 由 ， 得. .4.解：（1）， ，（2）, 边最长，即， 角最小，边为最短边由 且，解得由正弦定理得， 得最短边的长5.解：（1）设数列的公差为，由题意得，即， 得. ，.故公比. （2），. .6.解：（1）随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品 第一天通过检查的概率为（2）同（1），第二天通过检查的概率为 因第一天，第二天是否通过检查相互独立 所以，两天全部通过检查的概率为：（3）记得分为，则的值分别为0，1，2 ； ； . 的分布列为012 .7.解：不采取预防措施时，总费用即损失期望值为（万元）；若单独采用措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为，损失期望值为（万元），所以总费用为（万元）；若单独采用措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为，损失期望值为（万元），所以总费用为（万元）；若联合采用甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为，损失期望值为（万元），所以总费用为（万元）.综合、，比较其总费用可知，应选择联合采用甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.8.解：（1）依题意，的可能取值为1，0，-1 则的分布列为：10= （2）设表示10万元投资乙项目的收益，则的分布列为： . 依题意要求：，解得.9.（1）证明：AB平面ACD，ABDE，DE平面ACD， AF平面ACD，DEAF又AC=AD=CD，F为CD中点，AFCDDE平面CDE，CD平面CDE，CDDED，AF平面CDE （2）解法1：ABDE，AB平面CDE，DE平面CDE，AB平面CDE，ADCEBFxyzO设平面ABC平面CDEl，则lAB即平面ABC与平面CDE 所成的二面角的棱为直线lAB平面ADC，l平面ADClAC，lDCACD为平面ABC与平面CDE所成二面角的平面角ACADCD，ACD60，平面ABC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小为60 解法2：如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，FC，FA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系AC2，A(0，0，)，设ABx，B(x，0，)，C(0，1，0)(x，0，0)，(0，1，)，设平面ABC的一个法向量为n(a，b，c)，则由n0，n0，得a0，bc，不妨取c1，则n(0，1)AF平面CDE，平面CDE的一个法向量为 (0，0，)cosn，n，60 平面ABC与平面CDE所成的小于90的二面角的大小为6010. （1）证明：， , ，, . ，, ., . （2）证明：依题意可知：是中点, ., 是中点. 在中，, , . （3）解： ，. . 是中点,是中点, 且 , 在Rt中，., . 11.解：（1），BC=2，平面PAC平面，平面PAC平面=AC,BC平面PAC PA平面PAC， PABC.（2）该几何体的主视图如下： PA = PC，取AC的中点D，连接PD，则PDAC，又平面PAC平面，则PD平面ABC，几何体左视图的面积=PD=，并易知是边长为1的正三角形，主视图的面积是上、下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积，S= （3）取PC的中点N，连接AN，由是边长为1的正三角形，可知ANPC，由（1）BC平面PAC，可知ANBC，AN平面PCBM，AN是四棱锥APCBM的高且AN= ，由BC平面PAC，可知BCPC，由可知四边形PCBM是上、下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形，其面积12.解：（1）.（2）,.则当变化时，与的变化情况如下表：+00+递增递减-9+1递增当时，函数为增函数；当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；当时，取得极大值，极大值为；当时，取得极小值，极小值为.（3）因为的对称轴为，且其图象的开口向上， 所以在区间上是增函数. 则在区间上恒有，等价于的最小值大于成立. 所以. 解得. 又，则的取值范围是.13.解:(1),.所以椭圆.(2)设,即又因圆的方程为,所以 (-3,1),又因关于点对称，即为的中点，,.，即.14.解：（1）设椭圆方程为. 由椭圆的定义，得. .故所求椭圆的方程为.（2）设，轴，由椭圆的对称性知.由直线与交于点，且点在椭圆上，得 得（*）由得代入（*）式得.由，得， 点的轨迹方程为.15.解：（）由抛物线的对称轴为知.抛物线与坐标轴有三个交点，否则抛物线与坐标轴只有两个交点，与题设不符由知，抛物线与轴有一个非原点的交点，故抛物线与轴有两个不同的交点，即方程有两个不同的实根.即的取值范围是或（）设抛物线与轴的交点为C,与轴的另一交点为B,令得，令得解得,.解法：.直线的斜率 .圆过A、B、C三点，圆心M为线段AB与AC的垂直平分线的交点,AB的垂直平分线即抛物线的对称轴,线段AC的中点为，直线AC的斜率,线段AC的垂直平分线方程为-()将代入()式解得，即. ，若直线也是圆的切线，则即,解得.这与或矛盾. 直线不可能是圆的切线 解法：.直线的斜率.设圆的方程为,圆过,，,解得 圆心 .，若直线也是圆的切线，则即解得.这与或矛盾. 直线不可能是圆的切线16.解：（1）由已知 得 -得， 即对任意N都成立. 为常数，且，即数列为等比数列，公比为. （2）当时，得，从而. 由（1）知， ，即. 为等差数列.17.解：（1）若，则显然，不构成等差数列.，当时，由，成等差数列得 ，,. .（2）由 得 又. 的最小值为.18.解：设投资人分别用万元、万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.作直线，并作平行于的一组直线，R，与可行域相交，其中一条直线经过可行域上的点，且与直线的距离最大，这里点是直线和的交点.解方程组解得此时（万元），当时，取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.19.解：（1）当，即， 当时， 与的函数关系式为， （2）由，而，则时，； 由而，则时，； 由于，则当时，公司获利最大， 答：裁员50人时，公司获得最大的经济效益 20.解：（1）设植树年后可将荒山全部绿化，记第年初植树量为，依题意知数列是首项，公差的等差数列，则，即 到2009年初植树后可以将荒山全部绿化 （2）2002年初木材量为，到2009年底木材量增加为,2003年初木材量为，到2009年底木材量增加为,2009年初木材量为，到2009年底木材量增加为.则到2009年底木材总量-得2答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为90602.21. (1) 法1：， 当时，是首项为，公比为的等比数列. ，即 .当时，仍满足上式. 数列的通项公式为 .法2：由题设得：当时.时，也满足上式.数列的通项公式为 . (2) 由（1）得 (3) 由（1）知若，则 由对任意成立，知.下面证，用反证法假设，即 恒成立 （）为常数， （）式对不能恒成立，导致矛盾，.22.（1）证明：用数学归纳法证明. 当时，命题成立； 假设时命题成立，即，则当时， .当时，命题也成立.综合、知，对任意N都成立.（2）解：， ，即. （*） 数列是公差为1的等差数列，其首项是. ，从而.（3）解：， （*）式可变形为， . .23.（1）证明：且，又，.下面用数学归纳法证明. 当时，由，得； 假设时命题成立，即，则 .时，命题也成立.综合可得