江苏数学一轮第三章第19课利用导数研究函数的最极值要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的极值 求下列函数的极值: (1) f(x)=2x 3-6x2+1; (2) f(x)= lnx x . 思维引导思维引导要求函数的极值,可以利用f(x)=0,求解出极值点,再考察导函数 在极值点附近的符号变化情况,确定函数的极值情况. 解答解答(1) 由f(x)=6x 2-12x=0,得x=0或x=2.列表如下: x (-,0) 0 (0,2)2 (2,+) f(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以f(x)的极大值为f(0)=1,f(x)的极小值为f(2)=-7. (2) 由f(x)= 2 1-lnx x =0,得x=e.列表如下: x (0,e)e (e,+) f(x) + 0 - f(x) 极大值 所以当x=e时,f(x)的极大值为f(e)= 1 e,f(x)无极小值. 精要点评精要点评求解函数的极值,一般先求极值点,再考察导函数的符号,最后求函 数的极值. (2014 望江模拟)已知函数f(x)= 1 3x3+a2x2+ax+b,当x=-1时,函数f(x)的极值 为- 7 12,那么f(2)= . 答案答案 5 3 解析 解析f(x)=x 2+2a2x+a,由已知得 (-1)0, 7 (-1)-, 12 f f 即 2 2 1-20, 1 -0, 4 aa a ab 解得 1, 1 - 4 a b 或 1 -, 2 -1. a b 当 1, 1 - 4 a b 时,f(x)没有极值点,所以 1 -, 2 -1. a b 则f(x)= 1 3x3+ 1 4x2- 1 2x-1, 故f(2)= 5 3. (2014池州模拟)已知函数f(x)= 1-alnx x ,a0,求f(x)的极值. 解答解答函数f(x)的定义域为(0,+), f(x)= 2 -a lnx x ,令f(x)=0,得x=e a. 当x(0,e a)时,f(x)0,f(x)为增函数, 当x(e a,+)时,f(x)0, 所以f(x)在(0,+)上是增函数, 所以当x1,+)时,f(x)min=f(1)=1. 【题组强化重点突破】 【题组强化重点突破】 1. (2014北京东城区模拟)已知函数f(x)=lnx+ 1 x,求f(x)的最小值. 解答解答f(x)=lnx+ 1 x(x0),f(x)= 1 x- 2 1 x = 2 -1x x . 当0x0,f(x)单调递增. 所以,当x=1时,f(x)min=f(1)=1. 2. (2014阜阳模拟)已知函数f(x)= 2 4 33 x x ,x0,2,求f(x)的值域. 解答解答f(x)= 4 3 2 22 1- (1) x x , 令f(x)=0,得x=1或x=-1. 当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增, 当x(1,2)时,f(x)-1), 令f(x)=0,则 1 1x - 1 2x=0, 化简得x 2+x-2=0,解得x=1. 当0x0,f(x)单调递增, 当1f(2), 所以函数f(x)在0,2上的最小值为f(0)=0,函数f(x)在0,2上的最大值为 f(1)=ln2- 1 4. (2014望江模拟)已知函数f(x)=e x-kx,xR R. (1) 若k=e,试确定函数f(x)的单调区间; (2) 若k0,且对任意的x(0,+),f(x)0恒成立,试确定实数k的取值范围. 规范解答规范解答(1) 由k=e,得f(x)=e x-ex,所以f(x)=ex-e. 由f(x)0,得x1,故f(x)的单调增区间是(1,+), 由f(x)0, 因为x(0,+), 所以k x e x , 即不等式k x e x 对任意的x(0,+)恒成立. (8分) 设g(x)= x e x , 则g(x)= 2 - xx e x e x = 2 ( -1) x e x x . 令g(x)=0,得x=1, 当0x0. 所以当x=1时,g(x)取得极小值,则g(x)的最小值为g(1)=e,所以k0;当0x-a.当 x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下: x (-a,1-a) 1-a (1-a,+) f(x) + 0 - f(x) 极大值 因此,f(x)max=f(1-a)=a-1=0,所以a=1. 4. 已知函数f(x)=