江苏数学一轮第九章第53课空间几何体的表面积与体积要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 与几何体的表面积有关的问题 与几何体的表面积有关的问题 (2014 方城模拟)已知正四棱锥的底边和侧棱长均为3 2,那么该正四棱锥 的外接球的表面积为 . 答案答案36 解析解析由于正四棱锥的底边和侧棱长均为3 2,则此四棱锥底面正方形的外接 圆即是外接球的一轴截面,故外接球的半径是3,则该正四棱锥的外接球的表面积为4 3 2=36. 如图(1),在ABC中,AB=2,BC=2,ABC=120,若将ABC绕BC旋转一周,求 所形成的旋转体的表面积. 图(1) 图(2) (变式) 解答解答如图(2),过点A作ADBC,与CB交于点D,所得旋转体是以AD为半径、DC为 高的圆锥,挖去一个以AD为半径、DB为高的圆锥. 在ABC中,AB=2,BC=2,ABC=120,则AD= 3,AC=23, 所以旋转体表面积为AD(AC+AB)= 3(2+23)=23(1+3). 与几何体的体积有关的问题 与几何体的体积有关的问题 (2014北京卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB BC,AA1=AC=2, BC=1,E,F分别为A1C1,BC的中点. (例2) (1) 求证:平面ABE平面B1BCC1; (2) 求证:C1F平面ABE; (3) 求三棱锥E-ABC的体积. 解答解答(1) 在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC,所以BB1AB. 又因为ABBC,BB1BC=B, 所以AB平面B1BCC1. 因为AB平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1. (2) 取AB的中点G,连接EG,FG. 因为E,F分别是A1C1,BC的中点, 所以FGAC,且FG= 1 2AC. 因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FCEC1,且FG=EC1, 所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1FEG. 又因为EG平面ABE,C1F 平面ABE, 所以C1F平面ABE. (3) 因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC, 所以AB= 22 -AC BC = 3, 所以三棱锥E-ABC的体积为V= 1 3SABCAA1= 1 3 1 2 312= 3 3 . 精要点评精要点评(1) 正确地记忆和运用公式是求多面体体积的前提;(2) 正确求某 些关键量是求多面体体积的关键;(3) 对于不能直接求体积的复杂问题,要时刻关注 转化. (2014福建卷)如图,在三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD. (1) 求证:CD平面ABD; (2) 若AB=BD=CD=1,M为AD的中点,求三棱锥A-MBC的体积. (变式) 解答解答(1) 因为AB平面BCD,CD平面BCD, 所以ABCD. 又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD, 所以CD平面ABD. (2) 由AB平面BCD,得ABBD. 因为AB=BD=1,所以SABD= 1 2. 因为M是AD的中点, 所以SABM= 1 2SABD= 1 4. 由(1)知,CD平面ABD, 因此VA-MBC=VC-ABM= 1 3SABMCD= 1 12. 简单几何体的综合问题 简单几何体的综合问题 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,D,E分别为A1B1,AA1的中点,点F 在棱AB上,且AF= 1 4AB. (例3) (1) 求证:EF平面BDC1. (2) 在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之 比为115?若存在,指出点G的位置;若不存在,请说明理由. 思维引导思维引导(1) 取AB的中点M,由A1MBD可得EFBD,从而EF平面BDC1;(2) 假 设AC上存在一点G,使平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积比为115,即 EAFG V 1 1 1 ABCA B C V =116,从而得出AG= 3 2ACAC矛盾. 解答解答(1) 如图,取AB的中点M,因为AF= 1 4AB,所以点F为AM的中点, 又因为点E为AA1的中点,所以EFA1M. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,M分别为A1B1,AB的中点, 所以A1DBM,A1D=BM, 所以四边形A1DBM为平行四边形, 所以A1MBD,所以EFBD. 因为BD平面BC1D,EF 平面BC1D, 所以EF平面BC1D. (2) 假设AC上存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1 15, 则 EAFG V 1 1 1 ABCA B C V =116, 因为 1 1 1 EAFG ABCA B C V V = 1 11 i 32 1 2 AFAGs nGAFAE ABACsinCABA A = 1 24 AG AC, 所以 AG AC= 3 2,所以AG= 3 2ACAC, 所以符合要求的点G不存在. (2014江西卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD. (1) 求证:ABPD; (2) 若BPC=90,PB= 2,PC=2,则AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大? (变式) 解答解答(1) 因为ABCD为矩形,所以ABAD. 又平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD, 所以AB平面PAD, 故ABPD. (2) 过点P作POAD,垂足为O,过点O作OGBC垂足为G,连接PG, 则PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG. 在RtBPC中,BC= 6 ,则PG= 2 3 3 ,GC= 2 6 3 ,BG= 6 3 . 设AB=m,则OP= 22 -PG OG = 2 4 - 3 m , 故四棱锥P-ABCD的体积为V= 1 3 6 m 2 4 - 3 m = 2 8-6 3 m m . 因为m 2 8-6m = 24 8-6mm = 2 2 28 -6- 33 m , 所以当m= 6 3 ,即AB= 6 3 时,四棱锥P-ABCD的体积最大. 如图(1),在直角梯形ABCD中,ABAD,ADBC,F为AD的中点,点E在BC上,且EE AB.已知AB=AD=CE=2,沿线段EF把四边形CDFE折起,使平面CDFE平面ABEF,如图(2) 所示. (1) 求证:AB平面BCE; (2) 求三棱锥C-ADE的体积. 图(1) 图(2) (范题赏析) 规范答题规范答题(1) 在图(1)中,EFAB,ABAD,所以EFAD.(2分) 在图(2)中,CEEF,又平面CDFE平面ABEF, 且平面CDFE平面ABEF=EF, 所以CE平面ABEF.又AB平面ABEF,所以CEAB.(5分) 又ABBE,BECE=E,所以AB平面BCE.(7分) (2) 因为平面CDFE平面ABEF,且平面CDFE平面ABEF=EF,AFFE,AF平面 ABEF, 所以AF平面CDEF,(10分) 所以AF为三棱锥A-CDE的高,且AF=1. 又AB=CE=2,所以SCDE= 1 222=2. (12分) 所以 CADE V = ACDE V = 1 3AFSCDE= 2 3. (14分) 1. 一个六棱锥的体积为2 3,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六 棱锥的侧面积为 . 答案答案12 解析解析设六棱锥的高为h,则V= 1 3Sh,所以 1 3 3 4 46h=2 3,解得h=1,设斜高为 h,则h 2+( 3)2=h2,所以h=2,所以,该六棱锥的侧面积为 1 2226=12. 2. 已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为BC,DC的中点,沿AE,EF,AF折成一个四面体, 使B,C,D三点重合,则这个四面体的体积为 . 答案答案 1 3 3. (2014 山东卷)在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积 为V1,P-ABC的体积为V2,则 1 2 V V = . (第3题) 答案答案 1 4 解析解析如图,由于D,E分别是边PB与PC的中点,所以SBDE= 1 4SPBC.又因为A平面BDE的 距离与点A到平面PBC的距离相等,所以 1 2 V V = 1 4. 4. 在如图所示的几何体中,平面ACE平面ABCD,四边形ABCD为平行四边形, ACB=90,EFBC,AC=BC= 2,AE=EC=1. (第4题) (1) 求证:AE平面BCEF; (2) 求三棱锥D-ACF的体积. 解答解答(1) 因为平面ACE平面ABCD,且平面ACE平面ABCD=AC,BCAC,BC平面 ABCD,所以BC平面AEC. 又因为AE平面AEC,所以BCAE. 又AC= 2,AE=EC=1,所以AC2=AE2+CE2,所以AEEC. 又因为BCEC=C,所以AE平面ECBF. (2) 设AC的中点为G,连接EG,因为AE=CE,所以EGAC. 因为平面ACE平面ABCD,且平面ACE平面ABCD=AC, 所以EG平面ABCD. 因为EFBC,EF 平面ABCD,BC平面ABCD, 所以EF平面ABCD, 所以点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离, 即点F到平面A