江苏数学一轮第二章第10课指数式与指数函数要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 根式指数式的化简与计算 根式指数式的化简与计算 计算下列各式: (1) 2 4 3 819 ; (2) 0 3 2 5 +2 -2 1 -2 1 2 4 -(0.01) 0.5. 解答解答(1) 原式= 21 4 2 32 9(9 ) = 1 4 2 3 99 = 7 4 3 9 = 71 34 (9 ) = 7 12 9 = 7 6 3 . (2) 原式=1+ 1 4 1 2 4 9 - 1 2 1 100 =1+ 1 4 2 3- 1 10= 16 15. 指数函数的性质 指数函数的性质 求下列函数的定义域: (1) y=0. 1 x-1 4 ; (2) y= 5x-1 3 ; (3) y=2 x+1. 思维引导思维引导定义域就是使函数式有意义的自变量的取值范围. 解答解答(1) 由x-10,得x1,故所求函数定义域为x|x1. (2) 由5x-10,得x 1 5,故所求函数定义域为 1 x | x 5 . (3) 所求函数定义域为R R. 精要点评精要点评换元法是求值域的基本方法,定义域要写成集合的形式. 求下列函数的值域: (1) y=0. 1 x-1 4 ; (2) y= 5x-1 3 ; (3) y=2 x+1. 解答解答(1) 因为 1 x1 0,所以y0.4 0,即y1. 又y=0. 1 x-1 4 0, 所以函数y=0. 1 x-1 4 的值域为(0,1)(1,+). (2) 因为 5x-10,所以y30=1,即y1. 所以函数y= 5x-1 3 的值域为1,+). (3) 因为2 x0,所以y=2x+11, 所以函数y=2 x+1的值域为(1,+). (2014南京模拟)设函数f(x)是定义在R R上的偶函数,当x0时,f(x)=2 x+1. 若f(a)=3,则实数a的值为 . 答案答案1 解析解析当a0时,2 a+1=3,解得a=1,因为f(x)是偶函数,所以a=-1时,f(a)=3.综 上,a=1. (1) 三个数 1 -5 2 5 , 1 -5 6 5 , 2 -5 6 5 的大小关系为 ; (2) 四个数0.3 0.2,30.3,(-0.3)0.6,20.5的大小关系是 ; (3) 设x0,且a x0),则a与b的大小关系是 . 答案答案(1) 2 -5 6 5 1 -5 6 5 1 -5 2 5 (2) (-0.3) 0.6(0.3)0.230.3 1 -5 6 5 2 -5 6 5 0. 而 1 -5 2 5 1, 所以 2 -5 6 5 1 -5 6 5 1 -5 2 5 . (2) 首先容易得出(-0.3) 0.6=(-0.3 3 5 ) 0,01,其次30.3 2 0.5= 3 10 3 5 10 2 =2 1 10 7 3 1 10 2 = 1 10 27 32 1,所以3 0.320.5,从而有(-0.3)0.60.30.230.320.5. (3) 取x=1,则有ab1. 精要点评精要点评比较两个幂值的大小问题是常见问题,但也是最容易出现错误的问 题,解决这类问题首先要分清底数是否相同.若底数相同,则可利用函数的单调性解 决;若底数不同,则要利用中间变量进行比较. 指数函数的综合应用 指数函数的综合应用 已知函数f(x)=1+ 2 x-1,g(x)=f(2x). (1) 用定义证明函数g(x)在(-,0)上为减函数; (2) 求g(x)在(-,-1上的最小值. 思维引导思维引导(1) 利用函数单调性的定义来证明其函数的单调性;(2) 利用函数 的单调性求g(x)在(-,-1上的最小值. 解答解答(1) g(x)=f(2 x)=1+ x 2 2 -1, 又因为2 x-10x0, 所以函数g(x)的定义域为x|xR R且x0. 设x1,x2(-,0)且x1x2, g(x1)-g(x2)= 1 x 2 2 -1- 2 x 2 2 -1= 21 12 xx xx 2(2 -2 ) (2 -1)(2 -1) . 因为x1,x2(-,0)且x1 1 x 2 且 1 x 2 g(x2). 所以函数g(x)在(-,0)上为减函数. (2) 因为函数g(x)在(-,0)上为减函数, 所以函数g(x)在(-,-1上为减函数, 所以当x=-1时,g(x)min=g(-1)=1+ -1 2 2 -1=-3. (2014芜湖模拟)已知函数f(x)=ka -x(k,a为常数,a0且a1)的图象过点 A(0,1),B(3,8). (1) 求实数k,a的值; (2) 若函数g(x)= f(x)-1 f(x) 1 ,试判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由. 解答解答(1) 把点A(0,1),B(3,8)的坐标代入f(x)=ka -x,得 0 -3 k a1, k a8, 解得 k=1,a= 1 2. (2) 由(1)知f(x)=2 x, 所以g(x)= f(x)-1 f(x) 1 = x x 2 -1 21 , 此函数的定义域为R R. 又g(-x)= -x -x 2 -1 21 = x-xx x-xx 22 -2 222 =- x x 2 -1 21 =-g(x), 所以函数g(x)为奇函数. 已知函数f(x)=2 x- x a 2 ,将y=f(x)的图象向右平移2个单位长度,得到y=g(x)的图 象. (1) 求函数y=g(x)的解析式; (2) 若函数y=h(x)与函数y=g(x)的图象关于直线y=1对称,求函数y=h(x)的解析 式; (3) 设F(x)= 1 af(x)+h(x),已知F(x)的最小值是m,且m2+ 7 ,求实数a的取值范 围. 规范答题规范答题(1) 由题设,得g(x)=f(x-2)=2 x-2- x-2 a 2 . (3分) (2) 设(x,y)在函数y=h(x)的图象上,(x1,y1)在函数y=g(x)的图象上,则 1 1 xx, y2-y, (5分) 所以2-y=g(x),y=2-g(x), 即h(x)=2-2 x-2+ x-2 a 2 . (6分) (3) 由题设得 F(x)= x 2 a - x 1 2 +2-2 x-2+ x-2 a 2 = 1 1 - a 4 2x+ x 1 2 (4a-1)+2,a0. 当a0时,有 1 a- 1 40,所以F(x)2+ 7 矛盾; (8分) 当00,4a-10,此时F(x)在R R上是增函数,故不存在最小 值; (9分) 当a4时,有 1 a - 1 40,4a-10,此时F(x)在R R上是减函数,故不存在最小值; (10分) 当 1 40, 此时F(x)2 (4-a)(4a-1) 4a +2, (11分) 当且仅当2 x= 4a(4a-1) 4-a 时取等号, (12分) 此时F(x)取最小值m=2 (4-a)(4a-1) 4a +2, 由m2+ 7 及 1 4a4,得 (4-a)(4a-1)7 , 4a4 1 a4, 4 解得 1 2af(n),则m,n的大小关系 为 . 答案答案mf(n),得 mn. 3. 函数y= 2 6 x-2x 1 2 的单调增区间是 . 答案答案 1 , 4 解析 解析因为y=6+x-2x 2的单调减区间为 1 , 4 ,故所求函数的单调增区间为 1 , 4 . 4. (2014江西卷)已知函