江苏数学一轮第九章第52课平面与平面的垂直要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 面面垂直的证明 面面垂直的证明 如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PA AD,E和F分别是CD和PC的中点. (1) 求证:PA底面ABCD; (2) 求证:平面BEF平面PCD. (例1) 思维引导思维引导(1) 直接利用两个平面垂直的性质定理是关键;(2) 线面垂直是证 明面面垂直的前提,证明线面垂直是关键;特别注意表述的规范性. 证明证明(1) 因为平面PAD平面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD, 所以PA平面ABCD. (2) 因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点, 所以ABED,所以四边形ABED为平行四边形. 又因为ABAD,所以BECD,ADCD. 由(1)知PA底面ABCD,所以PACD, 又PAAD=A,所以CD平面PAD,所以CDPD. 因为E和F分别是CD和PC的中点, 所以PDEF,所以CDEF, 又BEEF=E,所以CD平面BEF, 所以平面BEF平面PCD. 精要点评精要点评(1) 判定两个平面垂直的方法: 利用定义:证明二面角是直二面角; 利用判定定理:a,a. (2) 在证明两平面垂直时,一般先从现有直线中寻找平面的垂线,若图中不存在 这样的垂线,则可通过作辅助线来解决. (3) 证明线面垂直是证得面面垂直的前提与本质. 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A底面ABC,且各棱长均相等,D,E,F分 别为棱AB,BC,A1C1的中点,求证:平面A1CD平面A1ABB1. (变式) 证明证明由已知得底面ABC是正三角形,又D为AB的中点,故CDAB.由侧棱AA1底 面ABC,CD平面ABC,所以A1ACD,又A1AAB=A,因此CD平面A1ABB1,而CD平面A1CD, 所以平面A1CD平面A1ABB1. 面面垂直性质的应用 面面垂直性质的应用 如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB,过A点作AFSB, 垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点. (1) 求证:平面EFG平面ABC; (2) 求证:BCSA. (例2) 思维引导思维引导对于(1),先判定E,F,G分别为各边中点,然后得到线面平行关系,再 结合两平面平行的判定定理进行证明;对于(2),关键在于证明BC平面SAB. 证明证明(1) 因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点, 所以EFAB. 因为EF 平面ABC,AB平面ABC, 所以EF平面ABC. 同理EG平面ABC. 又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC. (2) 因为平面SAB平面SBC,且交线为SB, 又AF平面SAB,AFSB, 所以AF平面SBC. 因为BC平面SBC,所以AFBC. 又因为ABBC,AFAB=A,AF,AB平面SAB, 所以BC平面SAB. 因为SA平面SAB,所以BCSA. 精要点评精要点评证明面面平行的关键是线面平行,证明线线垂直可先证明线面垂直. 掌握并能熟练应用线面垂直的判定与性质定理,进行正确合理地转化,是解决此类问 题的关键. 如图,已知BC是半径为1的半圆O的直径,A是半圆周上不同于B,C的点,F为 AC的中点.在梯形ACDE中,DEAC,且AC=2DE,平面ACDE平面ABC. (1) 求证:平面ABE平面ACDE; (2) 求证:平面OFD平面BAE. (变式) 证明证明(1) 因为平面ACDE平面ABC,平面ACDE平面ABC=AC,AB平面ABC, 又在半圆O中,ABAC, 所以AB平面ACDE. 因为AB平面ABE, 所以平面ABE平面ACDE. (2) 设线段AC与OF交于点M,连接MD. 因为F为 AC的中点,所以OFAC,M为AC的中点. 因为ABAC,OFAC,所以OFAB. 又OF 平面BAE,AB平面ABE, 所以OF平面BAE. 因为M为AC的中点,且DEAC,AC=2DE, 所以DEAM,且DE=AM, 所以四边形AMDE为平行四边形,所以DMAE. 又DM 平面BAE,AE平面ABE, 所以DM平面BAE. 又MDOF=M,MD平面OFD,OF平面OFD, 所以平面OFD平面BAE. 面面垂直的探索性问题 面面垂直的探索性问题 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO平面ABC,垂足O落在线段 AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1) 求证:APBC. (2) 在线段AP上是否存在点M,使得二面角A-MC-B为直二面角?若存在,求出AM的 长;若不存在,请说明理由. (例3) 思维引导思维引导可以通过直线BC平面PAD来证明BCAP;二面角A-MC-B为直二面 角即平面AMC平面BMC,题目本意上是要找点,使得两平面垂直,因此可先考虑把面 面垂直作为条件,然后去找点M需要满足的条件. 解答解答(1) 因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC. 因为PO平面ABC,所以POBC. 因为POAD=O,所以BC平面PAD, 所以BCPA. (2) 如图,在平面PAB内,作BMPA于点M,连接CM, 由(1)知APBC,则AP平面BMC, 又AP平面APC, 所以平面BMC平面APC. 在RtADB中,由AB 2=AD2+BD2=41,得AB= 41. 在RtPOD中,PD 2=PO2+OD2, 在RtPDB中,PB 2=PD2+BD2, 所以PB 2=PO2+OD2+DB2=36, 则PB=6. 在RtPOA中,由PA 2=AO2+OP2=25,得PA=5. 又cosBPA= 222 - 2? PAPB AB PA PB = 1 3, 从而PM=PBcosBPA=2,所以AM=PA-PM=3. 综上所述,存在点M符合题意,AM=3. 精要点评精要点评(1) 证明线面平行、垂直都可以通过转化为线线的平行、垂直来证 明. (2) 探求符合要求的点或线的问题时可以先假设存在,即增加条件后再证明;或 通过先构造平行或垂直的特殊位置上的点或线,再通过对其进行平移,来寻找正确的 结果,然后再反过来直接证明. 如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,PA=AB,ABC=60,BCA=90,点 D,E分别在棱PB,PC上,且DEBC. (1) 求证:BC 平面PAC. (2) 是否存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角?请说明理由. (变式) 解答解答(1) 因为PA底面ABC,BC平面ABC, 所以PABC. 因为BCA=90,所以ACBC. 又ACPA=A,所以BC平面PAC. (2) 存在点E,当AEPC时,二面角A-DE-P为直二面角. 因为DEBC,又由(1)知,BC平面PAC, 所以DE平面PAC. 又AE平面PAC,PE平面PAC, 所以DEAE,DEPE. 所以AEP为二面角A-DE-P的平面角, 此时AEP=90, 故存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角. 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分别是 AP,AD的中点. (1) 求证:直线EF平面PCD; (2) 求证:平面BEF平面PAD. (范题赏析) 思维引导思维引导先证EFPD,再说清“面内线,面外线”即可证明直线EF平面PCD.用 好条件“面面垂直”是正确快速解决第(2)问的关键. 规范答题规范答题(1) 在PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点, 所以EFPD.(3分) 又EF 平面PCD, PD平面PCD, 所以直线EF平面PCD.(6分) (2) 连接DB, 因为AB=AD,BAD=60, 所以ABD为正三角形. 因为F是AD的中点, 所以BFAD.(8分) 因为平面PAD平面ABCD, BF平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD, 所以BF平面PAD.(12分) 又BF平面BEF, 所以平面BEF平面PAD.(14分) 1. 已知直线a,b与平面,下列条件中,能使的是 .(填序号) ,; =a,ba,b; a,a; a,a. 答案答案 解析解析由面面垂直的定义、判定定理可得. 2. 设,表示三个不同的平面,a,b,c表示三条不同的直线.给出下列命题: 若a,b,则ab; 若a,b,=c,a,b,则ab; 若ab,ac,b,c,则a; 若,则或. 其中正确命题的序号是 . 答案答案 解析解析中直线a与b的关系不确定,故不正确;中缺少条件“直线b与c相交”,故 不正确;中与同一个平面都垂直的两个平面的位置关系不确定,故不正确. 3. (2014苏州模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,AB= 2,BC=1,E,F分别是 AB,PC的中点,DEPA.求证:平面PAC平面PDE. (第3题) 证明证明设ACDE=H,由AEHCDH及E为AB的中点得 AH CH = AE CD= 1 2. 又因为AB= 2,BC=1,所以AC=3,AH= 1 3AC= 3 3 , 所以 AH AE = AB AC= 2 3 ,又BAC为公共角,所以HAEBAC, 所以AHE=ABC=90,即DEAC. 又DEPA,PAAC=A, 所以DE平面PAC. 又DE平面PDE, 所以平面PAC平面PDE. 4. (2014赣州模拟)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上、 下底面的中心,且A1在底面ABCD上的射影是O.求证:平面O1DC平面ABCD. (第4题) 证明证