江苏数学一轮第五章第31课余弦定理与解三角形测与评估pdf

第第31课 余弦定理与解三角形 课 余弦定理与解三角形 1. 2 2. 6 解析:由余弦定理可得cosC= 222 - 2 ab c ab = 3 2 ab ab = 3 2 ,所以C=6 . 3. 5 4. 15 3 4 解析:根据余弦定理可得AC 2=AB2+BC2-2ABBCcosB,即 49=25+BC 2-10BCcos120,解得BC=3,所以ABC的面积S= 1 2ABBCsin120= 1 25 3 3 2 = 15 3 4 . 5. 7 解析:由题意得SABC= 1 2ABACsinA= 15 3 4 ,所以 15 3 4 = 1 23AC 3 2 ,所以 AC=5,由余弦定理,得BC 2=AB2+AC2-2ABACcos120=9+25-235 1 - 2 =49,于是 BC=7. 6. 3 3 2 解析:由余弦定理,得cosC= 222 - 2 ab c ab = 2-6 2 ab ab = 1 2,所以ab=6,所以S ABC= 1 2absinC= 3 3 2 . 7. 4 解析:方法一:由tanA=7tanB,得 sinA cosA= 7sinB cosB ,即sinAcosB=7sinBcosA,所以有 sinAcosB+sinBcosA=8sinBcosA,即sin(A+B)=sinC=8sinBcosA. 由正、余弦定理可得c=8b 222 - 2 bc a bc ,即c 2=4b2+4c2-4a2,又 22 -a b c =3,所以c=4. 方法二:同(1)得sinAcosB=7sinBcosA,根据余弦定理可得a 222 - 2 ac b ac =7b 222 - 2 bc a bc ,解得c 2=4b2+4c2-4a2,下同方法一. 8. 16 2 解析:由cosB= 4 5,得sinB= 3 5,所以SABC= 1 2acsinB= 1 210c 3 5=42,所 以c=14,所以b 2=c2+a2-2accosB=142+102-21014 4 5 =72,所以b=6 2 ,所以 b+ a sinA=6 2+ b sinB=6 2+ 6 2 3 5 =16 2. 9. 因为AE=1,正方形的边长也为1, 所以ED= 22 AEAD = 2, EC= 22 ()EAABCB = 5,CD=1, 所以cosCED= 222 - 2? EDECCD ED EC = 3 10 10 , sinCED= 2 1-cosCED = 10 10 . 10. (1) 由 余 弦 定 理 得 cosB= 222 - 2 ac b ac = 1 4 ,sin 2 2 AC +cos2B=cos 2 2 B +cos 2B= 1 2(1+cos B)+2cos2B-1= 1 2 1 1 4 +2 2 1 4 -1=- 1 4. (2) 由cosB= 1 4,得sinB= 15 4 . 因为b=2,所以a 2+c2= 1 2ac+42ac,得ac 8 3, 所以SABC= 1 2acsinB 15 3 (当且仅当a=c时取等号). 故SABC的最大值为 15 3 . 11. (1) 在ADC中,因为cosADC= 1 7,所以sinADC= 4 3 7 . 所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB= 4 3 7 1 2- 1 7 3 2 = 3 3 14 . (2) 在ABD中,由正弦定理得 BD= ABsinBAD sinADB = 3 3 8 14 4 3 7 =3,所以BC