江苏数学一轮第十一章第60课椭圆要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 求椭圆的方程 求椭圆的方程 已知点F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过点F2且垂直于x轴的直线交 椭圆C于A,B两点,且AB=3,求椭圆C的方程. 思维引导思维引导利用待定系数法求椭圆的方程,将直线x=1与椭圆方程联立解出A,B 的纵坐标,然后用a,b表示出AB,解出a,b,即可求出椭圆C的方程. 解答解答设椭圆C的方程为 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0),与直线x=1联立得y= 2 b a (c=1),所 以AB= 2 2b a =3,即2b 2=3a.由题意得b2=a2-1,所以2(a2-1)=3a,即2a2-3a-2=0,又a0,解 得a=2,所以b 2=3,故椭圆C的方程为 2 4 x + 2 3 y =1. 【题组强化重点突破】 【题组强化重点突破】 1. (2014冀州中学模拟)已知椭圆C1: 2 4 x +y 2=1,椭圆C 2以椭圆C1的长轴为短轴,椭圆 且与椭圆C1有相同的离心率,求椭圆C2的方程. 解答解答由已知可设椭圆C2的方程为 2 2 y a + 2 4 x =1(a2), 其离心率为 3 2 ,故 2-4 a a = 3 2 ,则a=4, 所以椭圆C2的方程为 2 16 y + 2 4 x =1. 2. (2014 济南外国语学校)已知椭圆C: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0)过点 3 1, 2 ,且离心率e= 1 2, 求椭圆C的标准方程. 解答解答因为椭圆C的离心率e= 1 2, 所以 c a= 1 2,a=2c,b2=a2-c2=3c2. 故可设椭圆C的方程为 2 2 4 x c + 2 2 3 y c =1. 又因为点 3 1, 2 在椭圆上, 所以 2 1 4c + 2 2 3 2 3c =1,所以c 2=1, 所以椭圆C的标准方程为 2 4 x + 2 3 y =1. 3. 已知椭圆的中心在原点O,短半轴的端点到其右焦点F(2,0)的距离为 10 ,那么此 椭圆的标准方程是 . 答案答案 2 10 x + 2 6 y =1 解析解析由已知,可设椭圆的方程为 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0), 则a= 10 ,c=2,所以b= 22 -a c = 10-4 = 6 , 所以椭圆的方程为 2 10 x + 2 6 y =1. 4. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率为 1 2,那么椭圆C的方程 是 . 答案答案 2 4 x + 2 3 y =1 解析解析设椭圆C的方程为 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0),则c=1,e= 1 2= c a,所以a=2,c=1,所以 b= 3.故椭圆C的方程为 2 4 x + 2 3 y =1. 5. 若 椭 圆 C: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0) 的 离 心 率 e= 3 2 ,a+b=3, 则 椭 圆 C 的 方 程 为 . 答案答案 2 4 x +y 2=1 解析解析因为e= 3 2 = c a,所以a= 2 3 c,b= 1 3 c,代入a+b=3,得c= 3,a=2,b=1,故椭圆C 的方程为 2 4 x +y 2=1. 椭圆定义的应用 椭圆定义的应用 已知ABC的三边的长a,b,c(abc)成等差数列,A,C两点的坐标分别为 (-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹. 思维引导思维引导由a,b,c(abc)成等差数列,得BC+BA=2AC为定值,从而动点B在以 点C,A为焦点的椭圆上,可用定义法求出椭圆方程,再结合其他条件删除多余的点. 解答解答设点B的坐标为(x,y),因为a,b,c(abc)成等差数列, 所以a+c=2b,即BC+BA=4. 由椭圆定义知,点B的轨迹方程为 2 4 x + 2 3 y =1. 又因为abc,所以BCAB,所以(x-1) 2+y2(x+1)2+y2,所以x0. 所以点B的轨迹是椭圆的一半,其方程为 2 4 x + 2 3 y =1(x0). 又当x=-2时,点B,A,C在同一直线上,不能构成ABC,所以x-2. 所以顶点B的轨迹方程为 2 4 x + 2 3 y =1(-20), 由题意知c=1,设右焦点F(1,0), 因为2a=EF+EF= 2 2 2 3 (1 1)-0 3 + 2 3 3 =2 3, 所以a= 3,b2=a2-c2=2. 所以椭圆的方程为 2 3 x + 2 2 y =1. 椭圆性质的应用 椭圆性质的应用 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0)的左顶点为A,左焦点 为F,上顶点为B.若BAO+BFO=90,则椭圆的离心率是 . 思维引导思维引导根据所给几何条件,建立关于a,b,c的方程. 答案答案 5-1 2 解析 解析方法一:因为BAO+BFO=90,所以sinBFO=cosBAO=cosBAF.在 ABF 中 , 由 正 弦 定 理 得 BF sinBAF = AB sinAFB = AB sinBFO = AB cosBAF , 即 BF AB= sinBAF cosBAF ,所以 22 a ab = b a,所以a2=b 22 ab ,即a 4=(a2-c2)(2a2-c2),化简得 e 4-3e2+1=0,解得e2= 2 3- 535 1, 22 e 舍去 ,故e= 5-1 2 (负根舍去). 方法二:易知BAF=FBO,所以RtBFORtABO,则 FO BO= BO AO,即 c b= b a,所以 ac=b 2=a2-c2,所以c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0,解得e= 5-1 2 (负根舍去). 方法三:设椭圆右顶点为C,连接BC,则BCO=BAF,所以BCO+BFC=90,则 BF 2+BC2=CF2,即a2+a2+b2=(a+c)2,所以2a2-c2=2ac+c2,即c2+ac-a2=0,所以e2+e-1=0,解得 e= 5-1 2 (负根舍去). 精要点评精要点评椭圆离心率的求解主要是将所给几何条件进行转化,建立关于 a,b,c的方程.本题对于所给条件BAO+BFO=90采取了三种转化,分别是正弦定 理、余弦定理以及相似三角形,但目的都是一致的. 已知椭圆 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0)的右焦点F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上 存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 . 思维引导思维引导将是否存在问题等价转换为方程有解问题,找出a,b,c的关系式,从 而求出椭圆离心率的取值范围. 答案答案 1 ,1 2 解析 解析由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即点F到点P与 点A的距离相等. 而FA= 2 a c -c= 2 b c ,PFa-c,a+c, 于是 2 b c a-c,a+c,所以ac-c 2b2ac+c2, 即 222 222 -, -, ac ca c a cacc 解得 1, 1 -1, 2 c a cc aa 或 所以 1 2 c a1. 又e(0,1),故e 1 ,1 2 . 精要点评精要点评一般地,求离心率的值或取值范围的问题,关键是将几何条件转化 为关于a,b,c的方程或不等式,然后再解方程或不等式,要注意的是建立的方程或不 等式应该为奇次式.对于椭圆上或直线上存在一点,应该利用该点建立方程,转化为 与该点有关变量的方程的有解问题,这里要注意椭圆等图形本身离心率的范围限制. 椭圆的综合问题 椭圆的综合问题 (2014全国卷)已知点A(0,-2),椭圆E: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0)的离心率为 3 2 ,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为 2 3 3 ,O为坐标原点. (1) 求椭圆E的方程; (2) 设过点A的动直线l与椭圆E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的直 线方程. 解答解答(1) 设右焦点F(c,0),由条件知 2 c= 2 3 3 ,得c= 3. 又 c a= 3 2 ,所以a=2,b 2=a2-c2=1, 故椭圆E的方程为 2 4 x +y 2=1. (2) 当lx轴时,不合题意,故可设直线l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将y=kx-2代入 2 4 x +y 2=1,得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当=16(4k2-3)0,即k2 3 4 时,x1= 2 2 82 4-3 41 kk k ,x2= 2 2 8 -2 4-3 41 kk k ,从而PQ= 2 1k |x1-x2|= 22 2 41 4-3 41 kk k .又 点O到直线PQ的距离d= 2 2 1k ,所以OPQ的面积S OPQ= 1 2 dPQ= 2 2 4 4-3 41 k k .设 2 4-3k =t,则t0,SOPQ= 2 4 4 t t = 4 4 t t .因为t+ 4 t 4,当且仅当t=2,k= 7 2 时取等号, 且满足0.所以当OPQ的面积最大时,直线l的方程为y= 7 2 x-2或y=- 7 2 x-2. 设点A1,A2与B分别是椭圆E: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0)的左、右顶点与上顶点,直线A2B与 圆C:x 2+y2=1相切. (1) 求证: 2 1 a + 2 1 b =1; (2) 若P是椭圆E上异于A1,A2的一点,直线PA1,PA2的斜率之积为- 1 3,求椭圆E的方 程; (3) 若直线l与椭圆E交于M,N两点,且OM ON =0,试判断直线l与圆C的位置关 系,并说明理由. 规范答题规范答题(1) 已知椭圆E: 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0),A1,A2与B分别为椭圆E的左、右顶 点与上顶点, 所以A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b), 直线A2B的方程是 x a+ y b=1. 因为直线A2B与圆C:x 2+y2=1相切, 所以 22 1 11 ab =1, 即 2 1 a + 2 1 b =1. (5分) (2) 设P(x0,y0),则直线PA1,PA2的斜率之积为 1 PA k 2 PA k = 0 0 y xa 0 0- y x a = 2 0 22 0- y x a =- 1 3, 即 2 0 2 x a + 2 0 2 3y a =1,而 2 0 2 x a + 2 0 2 y b =1,所以b 2= 1 3a2. 结合 2 1 a + 2 1 b =1,得a 2=4,b2= 4 3. 所以椭圆E的方程为 2 4 x + 2 3 4 y =1. (10分) (3) 设点M(x1,y1),N(x2,y2). 若直线l的斜率存在,设直线l:y=kx+m, 将y=kx+m代入 2 2 x a + 2 2 y b =1, 得 2 2 x a + 2 2 ()kxm b =1, 化简,得(b 2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0(0). 则x1x2= 2222 222 -a m a b ba k , y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k 2x 1x2+km(x1+x2)+m 2 = 222222 222 -a k m a b k ba k -km 2 222 2a km ba k +m2 = 22222 222 -b m a b k ba k . (12分) 因为OM ON =0,所以x1x2+y1y2=0. 所以(a 2+b2)m2-a2b2(1+k2)=0. 结合(1)中 2 1 a + 2 1 b =1,得m 2=1+k2. 圆心到直线l的距离为d= 2 | | 1 m k =1, 所以直线l与圆C相切.(14分) 若直线l的斜率不存在,设直线l:x=n, 代入 2 2 x a + 2 2 y b =1,得y= 2 2 1- n a . 则有|n|=b 2 2 1- n a , 即a 2n2=b2(a2-n2), 解得n=1, 所以直线l与圆C相切.(16分) 1. 在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(- 3,0),(3,0)的距离之和等于4,设点 P的轨迹为曲线C,则曲线C的轨迹方程为 . 答案答案 2 4 x +y 2=1 2. 已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为 2 2 ,则椭圆C的方 程为 . 答案答案 2 2 x +y 2=1 解析解析设椭圆C的方程为 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0),由题意知 222, 2 , 2 22, abc c a b 解得a= 2,b=1, 因此椭圆C的方程为 2 2 x +y 2=1. 3. (2014天津卷)设椭圆 2 2 x a + 2 2 y b =1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A, 上顶点为B.若AB= 3 2 F1F2,则椭圆的离心率为 . 答案答案 2 2 解析 解析由AB= 3 2 F1F2,可得a 2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则 2 2 c a = 1