江苏数学一轮第十章第58课圆与圆的位置关系要点导学pdf

要点导学 各个击破 要点导学 各个击破 两圆位置关系的判定 两圆位置关系的判定 已知圆C1:x 2+y2-2kx+k2-1=0和圆C 2:x 2+y2-2(k+1)y+k2+2k=0,当它们的圆心距 最小时,判断两圆的位置关系. 思维引导思维引导计算出两圆圆心距关于参数k的表达式,求出最小值,判断与两圆半 径和及差与圆心距的大小关系. 解答解答将两圆方程化为标准方程, 圆C1:(x-k) 2+y2=1, 圆C2:x 2+(y-k-1)2=1. 圆心距d=C1C2= 22 (1)kk = 2 11 2 22 k . 显然当k=- 1 2时,两圆圆心距最短且dmin= 2 2 ,两圆半径之和为2,半径之差为0. 因为0 2 2 2,所以两圆相交. 精要点评精要点评圆与圆的位置关系有五种,判断依据是圆心距与两圆半径和及差的 大小关系. (2014江苏模拟)已知圆C1:x 2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C 2:x 2+y2+2x-2my+m2-3=0, 求m为何值时: (1) 圆C1与圆C2外切; (2) 圆C1与圆C2内含. 解答解答将两圆方程化为标准方程, 圆C1:(x-m) 2+(y+2)2=9, 圆C2:(x+1) 2+(y-m)2=4. (1) 因为圆C1与圆C2外切, 则有 22 (1)(-2- )mm =3+2, 所以m 2+3m-10=0,解得m=2或-5. 所以当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2外切. (2) 因为圆C1与圆C2内含, 则有 22 (1)(-2- )mm 3-2, 所以m 2+3m+20,解得-2m-1. 所以当-2m-1时,圆C1与圆C2内含. 两相交圆的公共弦问题 两相交圆的公共弦问题 已知圆C:x 2+y2-10 x-10y=0与圆M:x2+y2+6x+2y-40=0相交于点A,B. (1) 求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程; (2) 求AB的长. 解答解答(1) 直线AB的方程为x 2+y2-10 x-10y-(x2+y2+6x+2y-40)=0,即4x+3y-10=0. (2) 因为C(5,5),所以圆心C到直线AB的距离为d= |4 53 5-10| 5 =5,圆C的半径 为r=5 2,所以AB=2 22 -r d =10. 已知圆C1:x 2+y2-6x-6=0,圆C 2:x 2+y2-4y-6=0. (1) 试判断两圆的位置关系; (2) 求公共弦所在直线的方程. 解答解答(1) 因为圆C1的圆心为(3,0),半径为r1= 15,圆C2的圆心为(0,2),半径为 r2= 10 , 又因为C1C2= 13,所以|r1-r2|C1C2r1+r2, 所以圆C1与圆C2相交. (2) 圆C1与圆C2的方程相减可得公共弦所在的直线方程为3x-2y=0. 利用圆与圆的位置关系求参数 利用圆与圆的位置关系求参数 若圆C1:x 2+y2-2mx+m2-4=0和圆C 2:x 2+y2+2x-4my+4m2-8=0相交,求实数m的取值 范围. 思维引导思维引导将两个圆的方程化成标准方程,计算它们的圆心距,由相交的条 件:|r1-r2|dr1+r2解不等式即可. 解答解答圆C1:(x-m) 2+y2=4,圆心C 1为(m,0),半径r=2, 圆C2:(x+1) 2+(y-2m)2=9,圆心C 2为(-1,2m),半径r=3. 所以圆心距d= 22 (1)4mm . 因为两圆相交, 所以3-2d2+3,解得- 12 5 m- 2 5或0m2. 所以m的取值范围为 122 -,- 55 (0,2). 精要点评精要点评对于两圆的五种位置关系必须满足的条件一定要熟悉,对于这些结 论不需死记硬背,应在解题时根据已知的位置关系画出图形来,在理解的基础上进行 分析,注重培养数形结合的解题习惯. (2014江阴模拟改编)已知圆C1:x 2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C 2:x 2+y2-2by+b2-1=0 内切.若a,bR R,且ab0,求实数a,b之间满足的关系式. 解答解答圆C1的标准方程为(x+2a) 2+y2=4,圆心C 1(-2a,0),半径为2, 圆C2的标准方程为x 2+(y-b)2=1,圆心C 2(0,b),半径为1. 因为两圆内切,则有C1C2=1,即4a 2+b2=1. 两圆的综合问题 两圆的综合问题 (2014玉溪一中模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3) 2+(y-1)2=4 和圆C2:(x-4) 2+(y-5)2=4. (1) 若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2 3,求直线l的方程; (2) 设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们 分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点P的坐标. 解答解答(1) 当直线l的斜率不存在时,不满足题意,故可设直线l的方程为 y=k(x-4),即kx-y-4k=0. 由垂径定理得圆心C1到直线l的距离d= 2 2 2 3 2 - 2 =1. 结合点到直线的距离公式得 2 |-3 -1-4 | 1 kk k =1k=0或k=- 7 24. 故直线l的方程为y=0或y=- 7 24(x-4), 即y=0或7x+24y-28=0. (2) 设点P(m,n),直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=- 1 k(x-m), 即l1:kx-y+n-km=0,l2:- 1 kx-y+n+ m k =0. 由题意可知C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离, 即 2 |-3 -1-| 1 kn km k = 2 4 -5 1 1 m n kk k , 化简,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5, 由题意知关于k的方程有无穷多个解, 则有 2- -0, - -30 m n m n 或 -80, -50, m n mn 解得 5 , 2 1 - 2 m n 或 3 -, 2 13. 2 m n 故P 51 ,- 22 或P 3 13 -, 22 . 求经过两圆x 2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0 上的圆的方程. 解答解答设所求圆的方程为x 2+y2+6y-28+(x2+y2+6x-4)=0,即(1+)x2+(1+ )y 2+6x+6y-28-4=0, 则所求圆的圆心为 33 -,- 11 . 因为圆心在直线x-y-4=0上, 所以- 3 1 + 3 1 -4=0,解得=- 1 7. 所以所求圆的方程为x 2+y2-x+7y-32=0. 1. 圆(x+2) 2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为 . 答案答案相交 2. 圆x 2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为 . 答案答案2 2 解析解析两圆的方程相减得y=x+2,即为公共弦所在直线的方程.圆x 2+y2-4=0的圆心到 直 线 x-y+2=0 的 距 离 为 d= |0-02| 2 = 2 . 所 以 两 圆 的 公 共 弦 长 为 2 22 -r d =2 22 2 -( 2) =2 2. 3. (2014江苏模拟)若圆x 2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a的值 是 . 答案答案0或2 5或-25 解析解析由题意得16+a 2=16或16+a2=36,解得a=0或a=2 5. 4. 圆x 2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是 . 答案答案4 解析解析易知圆x 2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0外离,所以两圆的公切线有4 条. 5. 已知动圆x 2+y2-2mx-4my+6m-2=0恒过定点,那么定点