江西南昌高三上学期开学摸底考试数学理

理科数学（摸底）答案第 1 页 2020 届高三摸底测试卷届高三摸底测试卷 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B B B A C D C B C A 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分 13240 143 153 16 8 3 三解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 17 题-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22 题、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 【解析】 （）因为 3 sin(2),(0,) 322 CC,即 2 2(,) 333 C 2 33 C即 3 C 2 分 所以 2 22 32 sin sin2 sin 3 A A ， 4 分 又因为ac，所以 0 3 AC，因此 4 A ； 6 分 （）在ABC中，由 222 2coscababC,得 22 12ababab8 分 1 sin3 3 2 ABC SabC ， 当且仅当时ab，即ABC为等边三角形时，上式等号成立， 10 分 所以ABC面积的最大值是3 3 12 分 18.【解析】 （）连接AE，AF，在ABC中，AEBCACAB 2 1 120sin 2 1 ， 故1AE. 由于三棱柱 111 ABCABC是直三棱柱，故 1 AA 平面ABC AEAA 1 ， 直角三角形AEA1中，因为3 1 AA，1AE，所以 2 1 2 1 EFEA， 又因AFE AE EA EF AE 1 为直角，即AFEA 1 . 3 分 再由E为BC中点并且ABC为等腰三角形可知BCAE , 结合BCAA 1 ，AAEAA 1 得BC 平面 1 A AE，BCAF， 综合AFEA 1 ，AFBC ，EEABC 1 ，得到AF 平面 1 ABC， 6 分 （）由于BCAE ，如图以点E为坐标原点建立空间直角坐标系， 60tan AE BE 3，故 3,0,0B ， 1 0,1, 3A，0 , 0 , 0E， 1 3,0, 3B ， 理科数学（摸底）答案第 2 页 E F y z x C1 B1 A1 C B A 3,0,0EB ， 1 0,1, 3EA ， 1 3,0, 3EB ， 设面EBA1法向量为 1111 ,zyxn ， 面EAB 11 法向量为 2222 ,zyxn ， 11 1111 030 030 n EBx n EAyz ，取1 1 z,得 1 0,3,1n ， 2122 2122 0330 030 nEBxz nEAyz ，取1 2 z，得 2 (1,3,1)n ， 则二面角 11 BAEB的余弦值 5 52 54 4 cos 21 21 nn nn . 12 分 19.【解析】 （）获得三等奖学金的频率为：(0.0080.0160.04) 5 0.15 (0.04 0.0560.016) 5 0.4(0.0160.008) 5 0.40.32 500 0.32160， 故这 500 名学生获得专业三等奖学金的人数为160人. 3 分 （）每周课外学习时间不超过 35 小时的“非努力型”学生有 5000.0080.0160.040.040.0560.0165440人， 4 分 其中获得一、二等奖学金学生有5000.0080.0160.045 0.05 5000.040.0560.01650.250.0592 5 分 每周课外学习时间超过 35 小时称为“努力型”学生有500 0.1260人， 6 分 其中获得一、二等奖学金学生有600.350.2536人, 7 分 列2 2联表如图所示： “非努力型”学生 “努力型”学生 总计 获得一二等奖学金学生 92 36 128 未获得一二等奖学金学生 348 24 372 总计 440 60 500 2 2 500348 3692 24 42.3610.83 440 60 128 372 K 故有 99.9%的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间有关；8 分 （）X的可能取值为0,600,1500,3000 (600)0.32,P X (1500)0.198,P X (3000)0.058,P X (0)1 0.320.1980.0580.424P X 11 分 其期望为0 0.424600 0.32 1500 0.1983000 0.058EX =192+297+174=663元. 12 分 理科数学（摸底）答案第 3 页 20 【解析】 （）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形， 3 ,ab3b ，即3,3ab， 所以椭圆E的方程为 22 1 93 xy ； 5 分 （）圆 22 :2O xy，直线ykxm与圆 22 :2O xy相切， 2 2 1 m k ，即 22 2 1mk， 7 分 联立方程： 22 1 93 xy ykxm 得： 222 1 36330kxkmxm 设 1122 ,M x yN xy， 2 1212 22 33 6 , 1 31 3 m km xxxx kk 8 分 由弦长公式得： 22 2 222 121212 2 12 93 1141 1 3 km MNkxxkxxx xk k 将 22 2 1mk代入得： 22 2 2 12 9322 1 1 3 kk MNk k 10 分 22 2 2271 6 1 3 kk k 22 2 2271 3 6 2 6 1 32 kk k 当且仅当： 22 2271kk即 2 1 5 k 时等号成立，弦长MN最大值为 3 6 2 .12 分 21 【解析】 （） 2 e1,1, 1 ax fxx x ， 2 分 由 1eaf知ee a ，1a； 4 分 （）由题知：0,x时， 2 e10 1 ax fx x 有解 当1,x时， 2 e10 1 ax fx x 恒成立，不存在单调递减区间；5 分 当0,1x时， 2 e10 1 ax fx x 有解等价于 1 ln0 1 x ax x 有解 6 分 设 2 12 ln,0,1 11 x xaxxa x xx ，因为 2 2 0,1 ,2 1 x x 8 分 当2a 时， 2 2 0 1 xa x 恒成立， 1 ln 1 x xax x 在0,1x单调递减， 00 x恒成立，不符合题意10 分 理科数学（摸底）答案第 4 页 当2a 时， 2 01 a a ，当 2 0, a x a 时， 2 2 0 1 xa x ， 1 ln 1 x xax x 在 2 0, a x a 单调递增， 00 x即 1 ln0 1 x ax x ， 综上所述，2a 12 分 22.【解析】 （）由曲线C的参数方程为 2cos 2sin x y （0,2,为参数） ，得 22 4xy 所以曲线C的直角坐标方程为 22 4xy； 2 分 曲线C经过伸缩变换得到 1 C的参数方程为 4cos 2sin x y ，得 22 416xy， 所以曲线 1 C的极坐标方程为 2222 cos4sin16； 5 分 （）将0 代入 2222 cos4sin16得 22 2 1cossin 164 即 22 2 1cossin 164 OA ， 8 分 同理 22 2 cos ()sin () 1 22 164 OB 22 sincos 164 ， 22 11115 16416 OAOB 10 分 23 【解析】 （）由题意，当1a 时， 23,1, 1,12 23,2 xx f xx xx 当1x 时， 233f xx ，解得 0 x ；当12x 时， 13f x ，无解 当2x 时， 233f xx 解得3x ; 所