广西壮族自治区南宁、梧州等八高三数学联合调研考试理

广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三数学4月联合调研考试试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合，再和集合求交集，即可得出结果.【详解】因为，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2.若复数满足，是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由(1+z)(1+i)=1+2i化为z=1+2i1+i-1，再由复数的除法运算即可求出结果.【详解】因为(1+z)(1+i)=1+2i，所以z=1+2i1+i-1=1+2i1-i1+i1-i-1=3+i2-1=1+i2，故z=(12)2+(12)2=22.故选A【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的模，熟记运算法则以及模的计算公式即可，属于基础题型.3.若向量a=2,3, b=x,2且a(a2b)=3,则实数x的值为( )A. 12B. 12C. 3D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意列出方程，求解即可得出结果.【详解】因为向量a=(2，3)，b=(x，2)，所以a-2b=(2-2x，-1)，又aa-2b=3，所以22-2x-3=3，解得x=-12.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为m万,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万.则去年年底甲县的人口为( )A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万【答案】C【解析】【分析】根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果.【详解】由统计图可得，丙县人口占四个县总人口的20%，又丙县人口为70万，所以四个县总人口为7020%=350万，因甲县人口占四个县总人口的52%，所以甲县的人口为35052%=182万.故选C【点睛】本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型.5.已知双曲线C:x2a2y23=1(a0)的一个焦点为（2，0），则双曲线C的渐近线方程为（ ）A. y=xB. y=2xC. y=3xD. y=2x【答案】C【解析】【分析】先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程.【详解】因为双曲线C:x2a2-y23=1(a0)的一个焦点为（2，0），所以a2+3=4，故a2=1，因此双曲线的方程为x2-y23=1，所以其渐近线方程为y=3x.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.6.已知数列an満足: a1=1an+1=3an2，则a6=( )A. 0B. 1C. 2D. 6【答案】B【解析】【分析】由a1=1，an+1=3an-2可得a2=1，以此类推，即可得出结果.【详解】因为a1=1，an+1=3an-2，所以a2=3-2=1，以此类推可得a3=3a2-2=1，a4=3a3-2=1，a5=3a4-2=1，a6=3a5-2=1.故选B【点睛】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型.7.巳知将函数f(x)=sin(2x+)02的图象向左平移个単位长度后.得到函数gx的图象.若gx是偶函数.则f3=( )A. 12B. 22C. 32D. 1【答案】A【解析】【分析】先由题意写出gx=sin(2x+3)，根据gx是偶函数求出，即可得出结果.【详解】由题意可得：gx=sin(2x+3)，因为gx是偶函数，所以3=2+k(kZ)，即=6+k3(kZ)，又02，所以06+k32，解得-12k0x+1,x0，若函数y=f(x)-a2有3个零点，则实数a的取值范围是_【答案】-1，0)(0，1【解析】【分析】先作出函数f(x)图像，根据函数y=f(x)-a2有3个零点，得到函数f(x)的图像与直线y=a2有三个交点，结合图像即可得出结果.【详解】由题意，作出函数f(x)=lnx,x0x+1,x0的图像如下，因为函数y=f(x)-a2有3个零点，所以关于x的方程fx-a2=0有三个不等实根；即函数f(x)的图像与直线y=a2有三个交点，由图像可得：0a21，解得-1a0或0a1.故答案为-1，0)(0，1【点睛】本题主要考查函数的零点，灵活运用数形结合的思想即可求解，属于常考题型.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知在ABC中. A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2+b2c2=8，ABC的面积为23.(1)求角C的大小;(2)若c=23,求sinA+sinB的值.【答案】（1）3；（2）32【解析】【分析】(1)由三角形的面积为23得到12absinC=23，由余弦定理以及a2+b2-c2=8得到2abcosC=8，进而可求出tanC，得到角C；(2)由(1)的结果，先求出ab，根据c=23，即可求出a+b，再由正弦定理可得sinA+sinB=asinCc+bsinCc，即可求出结果.【详解】（1）由ABC的面积为23可得 12absinC=23，由a2+b2-c2=8及余弦定理可得2abcosC=8，故tanC=3,C=3;(2)C=3,2abcosC=8,ab=8又a2+b2-c2=8,c=23，可得a+b=6由正弦定理，asinA=bsinB=csinC,得sinA+sinB=asinCc+bsinCc=(a+b)sinCc=32【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.18.一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五-”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.日期第一年第二年第三年第四年优惠金额x（千元）10111312销售量y（辆）22243127(1)求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；(2)若第5年优惠金额8.5千元,估计第5年的销售量y(辆)的值.参考公式：b=i=1nxixyiyi=1pxix2=i=1exiyinxyi=1nxzln(x)z,a=ybx【答案】（1）y=3x8.5；（2）第5年优惠金额为85千元时，销售量估计为17辆【解析】【分析】（1）先由题中数据求出x，y，再根据b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nxyi=1nxi2-n(x)2,a=y-bx求出b和a，即可得出回归方程；（2）将x=8.5代入回归方程，即可求出预测值.【详解】（1）由题中数据可得x=11.5,y=26，i=14xiyi=1211,i=14xi2=534b=i=14xiyi-4xyi=14xi2-4(x)2=1211-411.526534-411.52=155=3,故a=y-bx=26-311.5=-8.5，y=3x-8.5（2）由（1）得，当x=8.5时，y=17，第5年优惠金额为85千元时，销售量估计为17辆.【点睛】本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求b和a即可，属于常考题型.19.如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AC=1,BC=2,AA1=4，M为侧面AA1C1C的对角线的交点，D，E分别是AB，BC中点（1）求证：MD平面A1BC1；（2）求二面角C-ME-D的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）8585【解析】【分析】(1)先由面面平行的判定定理证明平面MDE平面A1BC1，即可得到MD平面A1BC1；（2）分别以CA、CB，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面DME与平面CME的法向量，根据法向量夹角余弦值即可得出结果.【详解】（1）证明：由D、E分别为边AB、BC的中点，可得DEAC，又由直三棱柱可知侧面AA1C1C为矩形，可得A1C1AC，故有A1C1DE，由直三棱柱可知侧面AA1C1C为矩形，可得M为A1C的中点，又由E为BC的中点，可得A1BME由DE，ME平面MDE，A1C，BC1平面MDE，得A1C1平面MDE，BC1平面MDE，又A1C1BC1C1，可得平面MDE平面A1BC1，因为MD平面MDE，所以MD平面A1BC1；（2）分别以CA、CB，CC1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，4），M（12，0，2），D（12，1，0），E0,1,0,ME=-12,1,-2,CM=(12，0，2)，ED（12，0，0），设平面CME的一个法向量为m=(x，y，z)，则-12x+y-2z=12x+2z=0取z=-1，有m=(4,0,-1)同理可求出平面DME的一个法向量n=（0，2，1），cos=mnmn=-1175=-8585结合图形知二面角CMED的余弦值为8585.【点睛】本题主要考查线面平行的判定，可根据面面平行判断线面平行；第二问主要考查用空间向量的方法求二面角，属于常考题型.20.已知曲线C上动点M与定点F2，0的距离和它到定直线l1:x=-22的距离的比是常数22，若过P(0,1)的动直线与曲线C相交于A，B两点（1）说明曲线C的形状，并写出其标准方程；（2）是否存在与点P不同的定点Q，使得QAQB=PAPB恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）曲线C是椭圆，它的标准方程为x24+y22=1；（2）存在点Q（0，2）满足题意【解析】分析】（1）先设动点M坐标为M（x，y），根据题意列出等式(x+2)2+y2x+22=22，化简整理即可求出结果；（2）分情况讨论如下：当直线与y轴垂直时，易得点Q必在y轴上.；当直线与x轴垂直时，易得点Q的坐标只可能是Q（0，2）；再证明直线斜率存在且Q（0，2）时均有QAQB=PAPB即可.【详解】（1）设动点M坐标为M（x，y）点M到直线l1:x=-22的距离为d依题意可知MFd=22则(x+2)2+y2x+22=22化简得x24+y22=1所以曲线C是椭圆，它的标准方程为x24+y22=1（2）当直线与y轴垂直时，由椭圆的对称性可知PA=PB，又因为QAQB=PAPB,则QA=QB从而点Q必在y轴上.当直线与x轴垂直时，则A(0,2),B(0,-2)，由可设Q(0,y0),(y01)，由QAQB=PAPB得y0-2y0+2=2-12+1，解得y0=1（舍去），或y0=2则点Q的坐标只可能是Q（0，2）下面只需证明直线斜率存在且Q（0，2）时均有QAQB=PAPB即可.设直线的方程为y=kx+1，代入x24+y22=1得(2k2+1)x2+4kx-2=0.设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2-4k2k2+1,x1x2=-22k2+1所以1x1+1x2=x1+x2x1x2=2k设点B关于y轴对称的点坐标B（-x2，y2）因为直线QA的斜率kQA=y1-2x1=kx1-1x1=k-1x1同理得直线QB的斜率kQB=y2-2-x2=kx2-1-x2=-k+1x2kQA-kQB=2k-(1x1+1x2)=2k-2k=0kQA=kQB，三点Q,A,B共线.故QAQB=QAQB=x1x2=PAPB.所以存在点Q（0，2）满足题意【点睛】本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，属于常考题型.21.已知函数f(x)=ax22xlnx1(aR).(1) 若x=1e时,函数f(x)取得极值,求函数f(x)的单调区间；(2) 证明：1+13+15+12n112ln(2n+1)+n2n+1nN*.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导，根据x=1e时，函数f(x)取得极值，求出a，进而可求其单调区间；（2）先令a=1，用导数方法证明x2-2xlnx-10，得到x1时，x-1x2lnx，再令x=2n+12n-11,nN*，得2n+12n-1-2n-12n+12ln2n+12n-1，即12n-112ln2n+12n-1+12(12n-1-12n+1)，最后求1+13+15+.+12n-1，即可得出结论成立.【详解】（1）由题意可得，f(x)=2ax-2lnx-2(x0,aR)，由x=1e时，函数f(x)取得极值知f1e=2ae+2-2=0，所以a=0所以f(x)=-2xlnx-1,f(x)=-2lnx-2(x0)，所以0x0；x1e时，f(x)0；所以f(x)的单调增区间(0，1e)，单调减区间为(1e，+).（2）当a=1时，f(x)=x2-2xlnx-1，所以f(x)=2x-2lnx-2=2(x-lnx-1)，令g(x)=x-lnx-1，则g(x)=1-1x=x-1x，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)的单调减区间为(0，1)，单调增区间为(1，+)，所以g(x)g(1)=0，所以f(x)0，f(x)是增函数，所以x1时，f(x)=x2-2xlnx-1f(1)=0，所以x1时，x-1x2lnx，令x=2n+12n-11,nN*，得2n+12n-1-2n-12n+12ln2n+12n-1即1+22n-1-(1-22n+1)2ln2n+12n-1所以12n-112ln2n+12n-1+12(12n-1-12n+1)上式中n=1，2，3，n，然后n个不等式相加，得到1+13+15+.+12n-112ln(2n+1)+n2n+1【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记通常用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于常考题型.22.选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为x=2+35ty=145t (为参数)，以原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=42cos4.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设P(2，1).直线与曲线C交于点A，B.求|PA|PB|的值.【答案】（1）(x-2)2+(y-2)2=8；（2）7【解析】【分析】（1）先将=42cos(-4)化为2=4cos+4sin，进而可得出其直角坐标方程；（2）将直线参数方