广西柳州鹿寨中学高二数学第三次月考文

2017级高二下学期第三次月考试题数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由复数的运算，求得，再根据共轭复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数，其共轭复数为，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的概念及其应用，其中解答中熟记复数的运算公式和共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.某地一所中学在校初中学生人数是在校高中学生人数的2倍，教务处对在校初中和在校高中男女生的人数分别进行了统计，得到如下扇形统计图，则全校在校男生的人数是（ ）A. 1700B. 1750C. 1800D. 1850【答案】A【解析】【分析】根据扇形图可求得在校高中生人数和高中男生人数；再根据初中生人数为高中生人数的倍和初中男生所占比例可求得初中男生人数，加和得到结果.【详解】在校高中生有：名，其中高中男生有：名在校初中生有：名，其中初中男生有：名全校在校男生共有：名本题正确选项：【点睛】本题考查根据扇形统计图计算总数和频数的问题，属于基础题.4.已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为直径的圆与椭圆相切，则椭圆的长轴长是（ ）A. B. 4C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由题意知，以为直径的圆与椭圆相切，得到，再由，即可求解，得到答案.【详解】设椭圆的短半轴长为，半焦距为.由题意知，以为直径的圆与椭圆相切，可得，又由，所以，即椭圆的长轴长为，故选B.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据以为直径的圆与椭圆相切，得到是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.已知函数（，且），则（ ）A. 1B. 0C. -1D. 【答案】C【解析】【分析】由分段函数的解析式，求得，根据对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，函数（，且），则，故选C.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练指数与对数的运算性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.已知三棱柱的高为2，底面三角形的边长分别为3，4，5.若球内切于三棱柱，其正视图和俯视图如图所示，则其左视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正视图和俯视图可知，由球与三个侧面相切即可得到结果.【详解】设球的半径为，由正视图、俯视图可得又球与三棱柱的三个侧面相切，可得其左视图如选项所示本题正确选项：【点睛】本题考查三视图的判断问题，属于基础题.7.某科室有10位科员，其中男女各5名，今有这个科室的一位科员在街上碰到一位同科室的科员，则碰到异性科员的概率与碰到同性科员的概率的大小关系是（ ）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】不妨设这个科室的一位科员为男科员，分别求解这位男科员碰到异性科员的概率和碰到同性科员的概率，即可求解，得到答案.【详解】由题意，不妨设这个科室的一位科员为男科员，则这位男科员碰到异性科员的概率，碰到同性科员的概率，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟记古典概型的概率计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.在正方形中，是的中点，与交于点，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据可知，根据平面向量基本定理可求得，从而求得和的值，进而求得结果.【详解】正方形中，可知 ， 本题正确选项：【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是利用三角形相似得到.9.已知为等比数列的前项和，若，则（ ）A. 127B. 80C. 63D. 242【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，利用题设条件，求得，再利用等比数列的前n项和公式，即可求解，得到答案.【详解】由，得，则，所以公比，将代入，得，解得，所以，故选A【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10.已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为圆心、为半径的圆与轴交于两点，与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取的中点，利用点到直线距离公式可求得，根据可得，从而可求得渐近线方程.【详解】如图，取的中点，则为点到渐近线的距离则又为的中点 ，即：故渐近线方程为：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够利用点到直线距离公式和中位线得到之间的关系.11.已知是上以3为周期的奇函数，且，则（ ）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】D【解析】【分析】由奇函数可得且；由周期为可得；利用奇偶性和周期性可求得，进而得到；加和得到结果.【详解】是上的奇函数 且又周期为，即，又 本题正确选项：【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性的综合应用问题，属于中档题.12.在三棱锥中，侧面与底面垂直，则三棱锥外接球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设球心为，和中心分别为、，得平面，平面，根据球的截面的性质，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解，得到答案.【详解】由题意，取的中点为，由和都是正三角形，得，由侧面与底面垂直，得，设球心为，和中心分别为、，则平面，平面，又由，所以，所以外接球的表面积为，故选B.【点睛】本题主要考查了球与棱锥的组合体的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用球的组合体的性质，求得球的半径是解答本题的关键，着重考查了空想想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若实数满足不等式组，则的最小值是_【答案】1【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为求解在轴截距的最小值；根据图象可知当过时，截距最小，代入求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将变为：则求的最小值即为求在轴截距的最小值由图象平移可知，当直线过点时，截距最小则：本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划求解最值的问题，关键是将问题转化为在轴截距最小的问题，属于基础题.14.已知为等差数列的前项和，公差，且，成等比数列，则_【答案】-9【解析】【分析】由，利用等差数列的前n项和公式，求得，又由，成等比数列，利用等差数列的通项公式，求得，联立方程组，即可求解.【详解】由题意知，则，即，又由，成等比数列，则，所以，即，联立方程组，解得.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15.将函数的图像沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，若的一个零点为，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，可得，再由的一个零点为，得到，即可求解.【详解】将函数的图像沿轴向左平移个单位长度，可得，由的一个零点为，得，解得，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及合理应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若函数有4个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，利用导数求得函数单调性与最值，结合图象，即可求解.【详解】由是偶函数，根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，而，则当时，；当时，所以函数在上是减函数，在上是增函数，于是，且，结合图象，可得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的零点问题，其中解答中根据函数的奇偶性，把函数的零点转化为直线与曲线有两个交点，利用导数得出函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.在四边形中，.（1）求的大小；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）在中利用余弦定理求得，可得，从而求得；（2）根据三角形和四边形内角和分别求得，；在中利用正弦定理可求得结果.【详解】（1）在中，由余弦定理，得：由，得：（2）由（1）得： 在中，由正弦定理得：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，属于基础题.18.如图，在直角梯形中，为的中点.将沿折起，使点到达点的位置，且.（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意，得四边形为正方形，则，根据线面垂直的判定定理，证得平面，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面平面.（2）由（1），得平面，平面，所以平面平面证得平面，即的长为四棱锥的高，利用体积公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，为的中点，可得四边形为正方形，则，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由及，得为正三角形，由（1），得平面，平面，所以平面平面，取的中点，连接，则，且，所以平面，即的长为四棱锥的高，于是四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查了平面与平面垂直的判定与证明，以及棱锥的体积的计算，其中解答熟记平面与平面垂直的判定定理，以及利用锥体的体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.19.某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量（单位：万只）与相应年份（序号）的数据表和散点图（如图所示），根据散点图，发现与有较强的线性相关关系，李四提供了该县山羊养殖场的个数（单位：个）关于的回归方程.年份序号123456789年养殖山羊/万只1.21.51.61.61.82.52.52.62.7（1）根据表中的数据和所给统计量，求关于的线性回归方程（参考统计量：，）；（2）试估计：该县第一年养殖山羊多少万只？到第几年，该县山羊养殖的数量与第一年相比缩小了？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题设中的数据，求得，利用公式，进而得到，即可得到回归直线的方程；（2）求得第年山羊养殖的只数，代入，即可得到第一年的山羊的养殖只数；根据题意，得，求得，即可得到结论【详解】（1）设关于的线性回归方程为，则，则，所以，所以关于的线性回归方程为。（2）估计第年山羊养殖的只数，第1年山羊养殖的只数为，故该县第一年养殖山羊约万只；由题意，得，整理得，解得或（舍去）所以到第10年该县山羊养殖的数量相比第1年缩小了。【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中根据公式，准确运算得到回归直线的方程，合理利用方程预测是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。20.已知抛物线，焦点为，准线为，线段的中点为.点是上在轴上方的一点，且点到的距离等于它到原点的距离.（1）求点的坐标；（2）过点作一条斜率为正数的直线与抛物线从左向右依次交于两点，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由点到的距离等于它到原点的距离，得，又为线段的中点，所以，设点的坐标为，代入抛物线的方程，解得，即可得到点坐标.（2）设直线的方程为，代入抛物线的方程，根据根与系数的关系，求得，进而得到，进而得到直线和的倾斜角互补，即可作出证明.【详解】（1）根据抛物线的定义，点到的距离等于，因为点到的距离等于它到原点的距离，所以，从而为等腰三角形，又为线段的中点，所以，设点的坐标为，代入，解得，故点的坐标为.（2）设直线的方程为，代入，并整理得，由直线与抛物线交于、两点，得，结合，解得，由韦达定理，得，所以直线和的倾斜角互补，从而，结合轴，得，故.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线与抛物线的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数.（1）当时，求证：；（2）讨论函数零点的个数.【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】【分析】(1),对函数求导，研究函数的单调性，求函数最小值，证得函数的最小值大于0；（2）对函数求导，研究函数的单调性，得到函数的最值和极值，进而得到参数的范围.【详解】证明：当时，.令则当时，；当时，时，所以在上单调递减，在单调递增，所以是的极小值点，也是最小值点，即故当时，成立， ，由得.当时，；当时，所以在上单调减，在单调增，所以是函数得极小值点，也是最小值点，即当，即时，没有零点，当，即时，只有一个零点，当，即时，因为所以在上只有一个零点；由，得，令，则得，所以，于是在在上有一个零点；因此，当时，有两个零点.综上，时，没有零点；时，只有一个零点；时，有两个零点.【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（