河南省洛阳市2020届高三数学上学期尖子生第一次联考试题理（PDF） (1)

书书书 洛阳市? ? ? ? ? ? ? ? ?学年上学期尖子生第一次联考 高三数学试题 ? 理科? 本试卷分第?卷? 选择题? 和第?卷? 非选择题? 两部分?第?卷?至?页? 第?卷?至 ?页?共? ? ?分?考试时间? ? ?分钟? 第?卷? 选择题? 共? ?分? 注意事项? ?答卷前? 考生务必将自己的姓名? 考号填写在答题卡上? ?考试结束? 将答题卡交回? 一? 选择题? 本大题共? ?个小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选项中? 只有 一项是符合题目要求的? ?全集?集合? ? ? ? ? ? ? ? 集合? ? ?槡? ? 则? ? ? ? ?已知复数?满足? ? ? 则? ?槡? ?槡? 槡? ? ?已知角?的顶点为坐标原点? 始边与?轴非负半轴重合? 终边与直线?重合? 且? ? ? ? ? 又? ?是角?终边上一点? 且? ?槡? ?为坐标原点? ? 则 ?等于 ? ? ? ? ? ?已知等比数列?中? 等差数列? 中? 则数列? 的 前?项和? ?等于 ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知? 为偶函数? 当? ? 时? ? ? 则曲线? 在点? 处的切线与两坐标轴围成图形的面积等于 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在? 内任取一个实数? 设? ? ? 则函数? ? 的图象与? 轴有公共点的概率等于 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知双曲线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的左? 右焦点分别为? ?为双曲线上一点? 且? ? ? ? ? ?若? ? ? ? ? ? 槡? ? ? ? 则该双曲线的离心率等于 高三数学? 理?第?页? 共?页? ? ? ? ? ? ?槡? ?槡?或?槡?或槡? ?若向量? ? ? ? ?满足? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的最 大值为 ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ?某小区有排成一排的?个车位? 现有?辆不同型号的车需要停放? 如果要求剩余的 ?个车位连在一起? 那么不同的停放方法的种数为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知函数? ? ? ? 若方程? ? ? ? ? ? ?恰有七个不相 同的实根? 则实数?的取值范围是 ? ? ?定义在?上的函数? 的导函数为 ? ? ? ? ? 若对任意实数? 有? ? ? ? ? ? 且 ? ? ? ?为奇函数? 则不等式? ? ? ? ? ? ? 的解集为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知三棱锥? ? ?的四个顶点均在同一个球面上? 底面? ? ?满足? ? ? 槡? ? ? ? ? 若该三棱锥体积的最大值为? ? 则其外接球的体积为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 ? 卷? 非选择题? 共? ?分? 二? 填空题? 本大题共?个小题? 每小题?分? 共? ?分? ? ?已知圆? ? ? ? ? ? 平面区域? ? ? ? ? ? ? ? ? 若圆心? 且圆?与?轴相切? 则圆心? ?与?点连线斜率的取值范围是? ? ?水车在古代是进行灌溉引水的工具? 是人类的一项古老的发明? 也是人类利用自 然和改造自然的象征?如图是一个半径为?的水车? 一个水斗从点?槡 ?出发? 沿 圆周按逆时针方向匀速旋转? 且旋转一周用时? ?秒?经过?秒后? 水斗旋转到?点? 设?的 坐标为? ? ? 其纵坐标满足? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?则下列 叙述正确的是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当? ? ?时? 点?到?轴的距离的最大值为? ?当? ? ?时? 函数?单调递减? ?当? ?时? ?槡? 高三数学? 理?第?页? 共?页? ? ? ? ? ? ? ?已知椭圆? ? ? ? ? ? ? ? ?与双曲线? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?有相同的焦点? ? 点?是曲线?与?的一个公共点?分别是?和?的 离心率? 若? ? ? 则? ? ? ? ? 的最小值为 ? ?已知数列?的首项? 前?项和为? ? ? 设? ? ? ? ? 数列? ? ?的前? 项和? 则?的取值范围是 三? 解答题? 本大题共?个小题? 共? ?分? 解答应写出必要的文字说明? 证明过程或演算步骤? ? ? 本小题满分? ?分? 已知? ?分别是? ? ?内角?的对边? 且满足? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求角?的大小? ? ?设?槡?为? ? ?的面积? 求?槡? ? ? ? ? ?的最大值? ? ? 本小题满分? ?分? 如图? 底面? ? ? ?是边长为?的正方形? 平面? ? ? ?平面? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ?槡? ? ?求证? 平面? ? ?平面? ? ? ? ?求直线? ?与平面? ? ?所成角的正弦值? ? ?在线段? ?上是否存在点? 使得二面角? ?的大小 为? ? ?若存在? 求出? ? ? ? 的值? 若不存在? 说明理由? ? ? 本小题满分? ?分? ? 过大年? 吃水饺?是我国不少地方过春节的一大习俗? ? ? ? ?年春节前夕? ?市某质检 部门随机抽取了? ? ?包某种品牌的速冻水饺? 检测其某项质量指标值? 所得频率分布直方 图如右? ? ?求所抽取的? ? ?包速冻水饺该项质量指标值的样 本平均数? ? 同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表? ? ? ?由直方图可以认为? 速冻水饺的该项质量指标值 ?服从正态分布? ? ? ? ? 利用该正态分布? 求?落在? ? ? ? ? ? ? ? ? ?内的概率? ?将频率视为概率? 若某人从该市某超市购买了?包这种品牌的速冻水饺? 记这?包速 冻水饺中这种质量指标值位于? ? ? ?内的包数为? 求?的分布列和数学期望? 附? 计算得所抽查的这? ? ?包速冻水饺的质量指标值的标准差为? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? 若? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 高三数学? 理?第?页? 共?页? ? ? ? ? ? 已知抛物线? ? ? ?的焦点?也是椭圆? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的一个焦点? ?与?的公共弦的长为槡? ? ?求?的方程? ? ?过点?的直线?与?相交于?两点? 与?相交于?两点? 且 ? ? ? ?与 ? ? ? ?同 向? ?若? ? ? 求直线?的斜率? ?设?在点?处的切线与?轴的交点为? 证明? 直线?绕点?旋转时? ? ? 总是钝角三角形? ? ? 本小题满分? ?分? 已知函数? ? ? ? ? ? ? ? ? 其导函数为? ? ? ? ? ? ?当?时? 若函数? ? ? ? ? 在?上有且只有一个零点? 求实数?的取值范围? ? ?设? ? ? 点? ? ? ? ?是曲线? ?上的一个定点? 是否存在实数 ?使得? ? ? ? ? ? ? ? ?成立?并证明你的结论? ? 选考题?请考生在第? ? ? ?两题中任选一题作答?注意? 只能做所选定的题目?如果 多做? 则按所做的第一个题目计分? ? ? 选修? 坐标系与参数方程? ? ?分? 在平面直角坐标系? ? ?中? 曲线?的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为参数?以坐标 原点为极点? ?轴正半轴为极轴的极坐标系中? 曲线?的极坐标方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? 曲线?的极坐标方程为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?求曲线?和?的直角坐标方程? ? ? 已知点? ? ? ?是曲线?上一点?分别是?和?上的点? 求 ? ? ? ? ?的最大值? ? ? 选修? 不等式选讲? ? ?分? 设函数? ? ? ? ? ? 若? ? ? ? ? ? ?恒成立? ? ?求实数?的取值范围? ? ?求证? ? ? ? ? ? ? 高三数学? 理?第?页? 共?页? ? ? ? ? ? 洛阳市? ? ? ? ? ? ? ? ?学年上学期尖子生第一次联考 高三数学试题参考答案? 理? 一? 选择题? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 二? 填空题? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 三? 解答题? ? ?解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?根据正弦定理? 知? ? ? ? ? ?分? 即? ? ? ? ? ? ? ? ?由余弦定理? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? ? 所以? ? ? ? ? ?分? ? ?根据?槡? ? ? ?及正弦定理可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ?分? ?槡? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?分? 故当 ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? 时? ?槡? ? ? ? ? ?取得最大值槡? ? ? ?分? ? ?解? ?证明? 因为平面? ? ? ?平面? ? ? ? 平面? ? ? ?平面? ? ? ? ? ? ?平面? ? ? ? ? ? 所以? ?平面? ? ? ?分? 因为? ?平面? ? ? ? 所以? ? ? 又因为四边形? ? ? ?是正方形? 所以? ? 因为? ? ? ? ?平面? ? ? ?平面? ? ? 所以? ?平面? ? ? 又因为? ?平面? ? ? 所以平面? ? ?平面? ? ?分? ? ?因为? ? ? ?两两垂直? 所以以?为坐标原点? 建立空间直角坐标系? ? ? ? 如图所示? 则? ? ?槡? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? 设平面? ? ?的法向量为? ? ? 高三数学? 理? 答案?第?页? 共?页? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ?分? 取?槡 ? 得?槡?槡? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? 槡?槡? ? ? 槡? ? ? ? ? 所以直线? ?与平面? ? ?所成角的正弦值为槡 ? ? ? ? ? ? ?分? ? ?假设存在点?在线段? ?上? 设? ? ? ?槡? 则 ? ? ? ? ? ? ? ?槡? 设平面? ? ?的法向量为? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?分? 令? ? 得?槡? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? 槡? ?槡 ? ? ? ? ?槡? ? ? ? 整理得? ? 槡? ? 解得? 槡? ? 或? 槡? ? ? 舍去? ? 故在线段? ?上存在 点? 使得二面角? ?的大小为? ? ? 此时? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ?解? ?所抽取的? ? ?包速冻水饺该项质量指标值的平均数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ?服从正态分布? ? ? ? ? 且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?落在? ? ? ? ? ? ? ? ? ?内的概率是? ? ? ? ? ? ?分? ?根据题意得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ?的分布列为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 高三数学? 理? 答案?第?页? 共?页? ? ? ? ? ? ? ?解? ?由? ? ? ?知其焦点?的坐标为? ? 因为?也是椭圆?的一个焦点? 所以? ? ? ? ? ? 又?与?的公共弦的长为 槡?与?都关于?轴对称? 且?的方程为? ? ? 由此易知?与? ?的公共点的坐标为?槡 ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? 联立?得? ? ? ? ? 故?的方程为? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ?如图? 设? ? ? ? ?因 ? ? ? ?与 ? ? ? ?同向? 且? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? 从而? ? 即? 于是? ? ? ? ? ? ? ? ? 设直线?的斜率为? 则?的方程为? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? 而? ?是这个方程的两根? 所以? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 而? ?是这个方程的两根? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将?代入? 得? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? 解得?槡 ? ? ? 即直线?的斜率为?槡 ? ? ?分? ?由? ? ?得? ? ? ? 所以? ?在点?处的切线方程为? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ?令? 得? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 而 ? ? ? ? ? 于是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此? ?是锐角? 从而? ? ? ? ? ? ? ?是钝角? 故直线?绕点?旋转时? ? ?总是钝角三角形? ? ?分? 高三数学? 理? 答案?第?页? 共?页? ? ? ? ? ? ? ?解? ?当?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由题意得? ? ? ? 即? ? ? ? ? 令? ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? 解得? ?分? 当? ? 时? ? ? ? ? ?单调递减? 当? ? 时? ? ? ? ? ?单调递增? ? ? ? ? ? ? ? 当?时? ? ? ? 当? ? 时? ? ? ? ? ? ? 则? ? ? 或? ? ?时? ? ? ? ?在?上有且只有一个零点?分? ? ?由? ? ? ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? ? 假设存在? ? 则有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分? 即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? 两边同时除以? ? 得? ? ? ? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? ? ? ?则? 在? ? 上单调递增? 且? ? ? ?分? ? ? 对于? ? 恒成立? 即 ? ? ? ? ? 对于? ? 恒成立? ? 在? ? 上单调递增? ?对于? ? ? 恒成立? ? ? ? ? ? ? ?