湖北荆门外高数学一轮检测第7章立体几何4247pdf

第七章立体几何第七章立体几何 课时作业课时作业 42 空间几何体的结构特征及三视图与直观图空间几何体的结构特征及三视图与直观图 一、选择题 1下列命题中正确的个数是() 由五个面围成的多面体只能是四棱锥； 用一个平面去截棱锥便可得到棱台； 仅有一组对面平行的五面体是棱台； 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 A0 个B1 个 C2 个D3 个 解析：对于，五个面围成的多面体也可以是三棱柱或三棱台， 故错；对于，当平面与棱锥底面不平行时，截得的几何体不是棱 台，故错；对于，仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱， 故错；对于，当三角形面没有一个公共顶点时，也不是棱锥，故 错 答案：A 2 一个底面是等腰直角三角形， 侧棱垂直于底面且体积为 4 的三 棱柱的俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为() A4 2B2 C2 2D4 解析： 由俯视图得底面积 S1 2 2 21， 结合体积得三棱柱高为 4， 所以侧视图面积 S414. 答案：D 3 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示， 则该几 何体的侧视图为() 解析：给几何体的各顶点标上字母，如图(1)A，E 在侧投影面 上的投影重合，C，G 在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面 上的投影及把侧投影面展平后的情形如图(2)所示， 故正确选项为 B(而 不是 A) 答案：B 4 某几何体的正视图和侧视图均如图所示， 则该几何体的俯视图 不可能是() 解析：对于选项 A，两个圆柱的组合体符合要求；对于选项 B， 一个圆柱和一个正四棱柱的组合体符合要求；对于选项 D，一个底面 为等腰直角三角形的直三棱柱与一个正四棱柱的组合体符合要求故 选 C. 答案：C 5如图正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中 心)PABCD 的底面边长为 6 cm，侧棱长为 5 cm，则它的侧视图的周 长等于() A17 cm B. 1195 cm C16 cm D14 cm 解析：如右图，侧视图为PEF，PEPF 52324，EF6， 所以PEF 的周长42614. 答案：D 6 已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形， 则 该正方体的正视图的面积不可能等于() A1B. 2 C. 21 2 D. 21 2 解析： 由题意可知正方体的底面与水平面平行， 先把正方体正放， 然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转，易知当正方体正放时，其正视 图的面积最小，为 111；当正方体逆时针旋转 45时，其正视图的 面积最大，为 1 2 2.而 21 2 1，所以正方体的正视图的面积不 可能等于 21 2 . 答案：C 二、填空题 7一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为_ 解析：依题意得该几何体的侧视图面积为 221 22 34 3. 答案：4 3 8用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下 底面的面积之比为 116，截去的圆锥的母线长是 3 cm，则圆台的母线 长为_cm. 解析： 由圆台上、下底面积之比为 116，设圆台上下底面的半径分别 为 r,4r.圆台的母线长为 l，根据相似三角形的性质得 3 3l r 4r，解得 l 9. 答案：9 9给出下列命题：在正方体上任意选择 4 个不共面的顶点，它 们可能是正四面体的 4 个顶点；底面是等边三角形，侧面都是等腰 三角形的三棱锥是正三棱锥；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱 柱为直四棱柱其中正确命题的序号是_ 解析： 正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体 ABCDA1B1C1D1中的四面体 ACB1D1；错误，反例如图所示，底 面ABC 为等边三角形，可令 ABVBVCBCAC，则VBC 为 等边三角形，VAB 和VCA 均为等腰三角形，但不能判定其为正三 棱锥；错误，必须是相邻的两个侧面 答案： 三、解答题 10正四棱锥的高为 3，侧棱长为 7，求侧面上的斜高(棱锥侧 面三角形的高)为多少？ 解： 如图所示，在正四棱锥 SABCD 中，高 OS 3，侧棱 SASB SCSD 7， 在 RtSOA 中，OA SA2OS22，AC4. ABBCCDDA2 2. 作 OEAB 于 E，则 E 为 AB 的中点 连接 SE，则 SE 即为斜高， 在 RtSOE 中，OE1 2BC 2，SO 3， SE 5，即侧面上的斜高为 5. 11在四棱锥 PABCD 中，底面为正方形，PC 与底面 ABCD 垂 直， 下图为该四棱锥的正视图和侧视图， 它们是腰长为 6 cm 的全等的 等腰直角三角形 (1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该 俯视图的面积； (2)求 PA 的长 解：(1)该四棱锥的俯视图如下(内含对角线)，为边长为 6 cm 的正 方形，如下图，其面积为 36 cm2. (2)由侧视图可求得PD PC2CD2 62626 2.由正视图可 知 AD6，且 ADPD，所以在 RtAPD 中，PA PD2AD2 6 22626 3 cm. 1 用一个平行于水平面的平面去截球， 得到如图 1 所示的几何体， 则它的俯视图是() 解析：由三视图的知识可知 B 选项正确 答案：B 2(2014北京卷)在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知 A(2,0,0)， B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1， 2)若 S1，S2，S3分别是三棱锥 DABC 在 xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则() AS1S2S3 BS2S1且 S2S3 CS3S1且 S3S2 DS3S2且 S3S1 解析： DABC 在 xOy 平面上的投影为ABC，故 S12，设 D 在 yOz 和 zOx 平面上的投影为 D2和 D3，则 DABC 在 yOz 和 zOx 平面上的 投影分别为 OCD2和OAD3，易知 D2(0,1， 2)，D3(1,0， 2)，故 S2 S3 2，综上，选项 D 正确 答案：D 3已知半径为 5 的球 O 被互相垂直的两个平面所截，得到的两 个圆的公共弦长为 4，若其中一圆的半径为 4，则另一圆的半径为 _ 解析：由题知，球心到另一圆的距离 d 42222 3，另一圆 的半径 R 52d2 13. 答案： 13 4如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，ABDC， ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60. (1)当正视方向与向量AD 的方向相同时， 画出四棱锥 PABCD 的 正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)； (2)若 M 为 PA 的中点，求证：DM平面 PBC； (3)求三棱锥 DPBC 的体积 解： (1)在梯形 ABCD 中，过点 C 作 CEAB，垂足为 E， 由已知得，四边形 ADCE 为矩形，AECD3， 在 RtBEC 中，由 BC5，CE4，依勾股定理得 BE3，从而 AB6. 又由 PD平面 ABCD 得，PDAD， 从而在 RtPDA 中，由 AD4，PAD60，得 PD4 3. 正视图如图所示： (2)证明：取 PB 中点 N，连接 MN，CN. 在PAB 中，M 是 PA 中点， MNAB，MN1 2AB3. 又 CDAB，CD3， MNCD，MNCD. 四边形 MNCD 为平行四边形 DMCN. 又 DM平面 PBC，CN平面 PBC，DM平面 PBC. (3)VDPBCVPDBC1 3S DBCPD， 又 SDBC6，PD4 3，所以 VDPBC8 3. 课时作业课时作业 43空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 一、选择题 1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3， 圆台的侧面积为 84，则圆台较小底面的半径为() A7B6 C5D3 解析：设圆台较小底面半径为 r，则另一底面半径为 3r. 由 S(r3r)384，解得 r7. 答案：A 2设一个球的表面积为 S1，它的内接正方体的表面积为 S2，则S1 S2 的值等于() A.2 B.6 C. 6 D. 2 解析： 设球的半径为 R， 其内接正方体的棱长为 a， 则易知 R23 4a 2， 即 a2 3 3 R，则S1 S2 4R2 6 2 3 3 R 2 2. 答案：D 3某几何体的三视图如图所示，则其表面积为() A38B382 C40D402 解析：由三视图可知，该组合体下方是一个长方体，上方是一个 半圆柱，所以表面积为 2(424222)21 22138 2. 答案：B 4(2014陕西卷)已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各 顶点均在同一个球面上，则该球的体积为() A.32 3 B4 C2D.4 3 解析：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设 球半径 R， 则 2R 1212 222， 解得 R1， 所以 V4 3 R34 3 . 答案：D 5 把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱， 当圆柱的体积最 大时，该圆柱的底面周长与高之比为() A1:2B1:2 C2:1D1: 解析：设底面周长为 x cm，则 2rx，即 r x 2，高为 6x，故 V x 2 2(6x)1 4(6x 2x3)，则 V1 4(12x3x 2)，由 V0 得 x 4.易知当 x4 时，圆柱的体积最大，此时圆柱的底面周长是 4 cm， 圆柱的高为 2 cm，从而底面周长与高之比为 4221. 答案：C 6 (2014新课标全国卷)如下图， 网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面 半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体 积与原来毛坯体积的比值为() A.17 27 B.5 9 C.10 27 D.1 3 解析：由三视图可知切削得到的零件是由两个圆柱组成的一个组 合体，一个是底面半径为 2，高为 4 的圆柱，一个是底面半径为 3，高 为 2 的圆柱，于是零件的体积 V1r21h1r22h2224322 34， 而原来毛坯的体积 Vr2h32654， 所以切削掉部分 的体积与原来毛坯体积的比值之比VV1 V 20 54 10 27，故选 C. 答案：C 二、填空题 7若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2的半圆面，则该圆锥的 体积为_ 解析：设圆锥底面半径为 r，母线长为 l，高为 h， 则 l2r， 1 2l 22， l2， r1， h 3. V 圆锥1 31 2 3 3 3 . 答案： 3 3 8(2014江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积 分别为 V1，V2.若它们的侧面积相等，且S1 S2 9 4，则 V1 V2的值是_ 解析：设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为 r1、h1，r2、h2；由题 意知 2r1h12r2h2， h1 h2 r2 r1，又 S1 S2 r21 r22 9 4，所以 r1 r2 3 2，从而 V1 V2 r21h1 r22h2 r 2 1 r22 h1 h2 r21 r22 r2 r1 r1 r2 3 2. 答案：3 2 9已知三棱锥 OABC 中，BOC90，OA平面 BOC，其 中 ABAC 7，BC 11，O，A，B，C 四点均在球 S 的表面上， 则球 S 的表面积为_ 解析： 易知以 O 点为顶点的三条棱两两垂直， 则球 S 即为以 O 为 顶点，以 OA，OB，OC 为棱的长方体的外接球，所以 2R OA2OB2OC2 1 2 2OA2OB2OC25 2 2 (R 为球 S 的半 径)，所以 R5 2 4 ，表面积 S4R225 2 . 答案：25 2 三、解答题 10一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为 1 的 平行四边形，侧视图是一个长为 3，宽为 1 的矩形，俯视图为两个边 长为 1 的正方形拼成的矩形 (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的表面积 S. 解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底 面是边长为 1 的正方形，高为 3. 所以 V11 3 3. (2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面 ABCD，CD平 面 BCC1B1，所以 AA12，侧面 ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以 S 2(111 312)62 3. 11如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC5，BB1BC 6，D，E 分别是 AA1和 B1C 的中点 (1)求证：DE平面 ABC； (2)求三棱锥 EBCD 的体积 题图答图 解：(1)证明：如图，取 BC 的中点 G，连接 AG，EG，因为 E 是 B1C 的中点，所以 EGBB1，且 EG1 2BB 1. 由题意知，AA1綊 BB1. 而 D 是 AA1的中点，所以 EG 綊 AD. 所以四边形 EGAD 是平行四边形 所以 EDAG. 又 DE平面 ABC，AG平面 ABC， 所以 DE平面 ABC. (2)因为 ADBB1，所以 AD平面 BCE. 所以 VEBCDVDBCEVABCEVEABC. 由(1)知，DE平面 ABC， 所以 VEBCDVEABCVDABC1 3AD 1 2BCAG 1 636412. 1 (2014湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如下图所示 将 该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于() A1B2 C3D4 解析： 由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱 A1B1C1ABC，且 AB8，BC6，BB112. 若要得到半径最大的球， 则此球与平面 A1B1BA， BCC1B1， ACC1A1 相切，故此时球的半径与ABC 内切圆的半径相等，故半径 r 6810 2 2.故选 B. 答案：B 2(2014湖北卷)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵 县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有 求“囷盖”的术： 置如其周， 令相乘也 又以高乘之， 三十六成一该 术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公 式 V 1 36L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那 么，近似公式 V 2 75L 2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取为( ) A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 解析：借助圆锥的体积公式，底面圆的面积、周长公式求解设 圆锥的底面圆半径为 r，则圆锥的底面圆周长 L2r，所以圆锥底面 圆的半径 r L 2，则圆锥的体积为 V 1 3Sh 1 3r 2h1 3 L2 42h 1 12L 2h. 又 V 2 75L 2h，所以 1 12L 2h2 75L 2h，解得25 8 . 答案：B 3如图，在三棱锥 DABC 中，已知 BCAD，BC2，AD6， ABBDACCD10，则三棱锥 DABC 的体积的最大值是 _ 解析： 由题意知，线段 ABBD 与线段 ACCD 的长度是定值，因为棱 AD 与棱 BC 相互垂直 设 d 为 AD 到 BC 的距离 则 VDABCADBCd1 2 1 32d， 当 d 最大时，VDABC体积最大， ABBDACCD10， 当 ABBDACCD5 时， d 有最大值 421 15. 此时 V2 15. 答案：2 15 4 如图所示， 从三棱锥 PABC 的顶点 P 沿着三条侧棱 PA， PB， PC 剪开成平面图形得到P1P2P3，且 P2P1P2P3. (1)在三棱锥 PABC 中，求证：PABC. (2)若 P1P226，P1P320，求三棱锥 PABC 的体积 解： (1)证明：由题设知 A，B，C 分别是 P1P3，P1P2，P2P3的中点， 且 P2P1P2P3. 从而 PBPC，ABAC， 取 BC 的中点 D，连 AD，PD， 则 ADBC，PDBC，ADPDD， BC平面 PAD. PA平面 PAD，故 PABC. (2)由题设有 ABAC1 2P 1P213，PAP1ABC10， PBPCP1B13， ADPD AB2BD212， 在等腰三角形 DPA 中， 底边 PA 上的高 hAD2 1 2PA 2 119， SDPA1 2PAh5 119. 又 BC平面 PAD， VPABCVBPDAVCPDA 1 3BDS DPA1 3DCS PDA 1 3BCS PDA1 3105 119 50 3 119. 课时作业课时作业 44空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1 若空间中有两条直线， 则“这两条直线为异面直线”是“这两 条直线没有公共点”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必要条件 解析： 若两条直线无公共点， 则两条直线可能异面， 也可能平行 若 两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点 答案：A 2 若两条直线和一个平面相交成等角， 则这两条直线的位置关系 是() A平行B异面 C相交D平行、异面或相交 解析：经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平 面相交成等角的情况出现，故选 D. 答案：D 3 若空间三条直线 a， b，c 满足 ab，bc， 则直线 a 与 c() A一定平行B一定相交 C一定是异面直线D一定垂直 解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第 三条直线垂直，故选 D. 答案：D 4已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E 为 AA1的 中点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为() A. 10 10 B.1 5 C.3 10 10 D.3 5 解析：取 DD1的中点 F，连接 CF，D1CF 为 BE 与 CD1所成的 角，取 AB1，则 cosD1CF 521 2 5 2 3 10 10 .故直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为3 10 10 . 答案：C 5已知空间中有三条线段 AB，BC 和 CD，且ABCBCD， 那么直线 AB 与 CD 的位置关系是() AABCD BAB 与 CD 异面 CAB 与 CD 相交 DABCD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 解析：若三条线段共面，如果 AB，BC，CD 构成等腰三角形，则 直线 AB 与 CD 相交，否则直线 AB 与 CD 平行；若不共面，则直线 AB 与 CD 是异面直线 答案：D 6已知 a，b，c 为三条不同的直线，且 a平面 M，b平面 N， MNc.若 a 与 b 是异面直线，则 c 至少与 a，b 中的一条相交； 若 a 不垂直于 c，则 a 与 b 一定不垂直；若 ab，则必有 ac； 若 ab，ac，则必有 MN.其中正确命题的个数是() A0B1 C2D3 解析：命题正确，命题错误其中命题中 a 和 b 有可 能垂直；命题中当 bc 时，平面 M，N 有可能不垂直，故选 C. 答案：C 二、填空题 7三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是 _ 解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情 况：一是两两相交，有 1 个交点；二是互相平行，没有交点 答案：0 或 1 8已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BB1、CC1的 中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为_ 解析： 如图，连接 DF，因为 DF 与 AE 平行，所以DFD1即为异面直 线AE与D1F所成角的平面角， 设正方体的棱长为2， 则FD1FD 5， 由余弦定理得 cosDFD1 5 2 5222 2 52 3 5. 答案：3 5 9如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且 AB CD，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 _ 解析：在正四面体中取 CD 的中点 G，连接 FG，EG，作 FH平 面 CDE 于点 H.因为正四面体的高 FH 在平面 EFG 内，且 FH 平行于 正方体的高，可证得平面 EFG 平行于正方体的左、右两个侧面，故 直线 EF 仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面 相交，共 4 个 答案：4 三、解答题 10如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形，BAD FAB90，BC 綊 1 2AD，BE 綊 1 2FA，G、H 分别为 FA、FD 的中点 (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由已知 FGGA，FHHD，可得 GH 綊 1 2AD.又 BC 綊 1 2AD，GH 綊 BC， 四边形 BCHG 为平行四边形 (2)由 BE 綊 1 2AF，G 为 FA 中点知，BE 綊 FG， 四边形 BEFG 为平行四边形，EFBG. 由(1)知 BG 綊 CH，EFCH， EF 与 CH 共面 又 DFH，C、D、F、E 四点共面 11已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为 2，A1在 底面 ABC 内的射影 O 为底面ABC 的中心，如图所示： (1)连接 BC1，求异面直线 AA1与 BC1所成角的大小； (2)连接 A1C，A1B，求三棱锥 C1BCA1的体积 解： (1)连接 AO，并延长与 BC 交于点 D，则 AD 是 BC 边上的中线 点 O 是正ABC 的中心，且 A1O平面 ABC， BCAD，BCA1O. ADA1OO， BC平面 ADA1. BCAA1.又 AA1CC1， 异面直线 AA1与 BC1所成的角为BC1C. CC1BC，即四边形 BCC1B1为正方形， 异面直线 AA1与 BC1所成角的大小为 4. (2)三棱柱的所有棱长都为 2， 可求得 AD 3，AO2 3AD 2 3 3 ，A1O AA21AO22 6 3 . VABCA1B1C1SABCA1O2 2，VA1B1C1CBVABCA1B1C1 VA1ABC4 2 3 . VC1BCA1VA1BCC11 2VA 1BCC1B12 2 3 . 1已知 m，n 为异面直线，m平面，n平面.直线 l 满足 lm，ln，l，l，则() A，且 l B，且 l C与相交，且交线垂直于 l D与相交，且交线平行于 l 解析：由题意可知与相交，可能垂直，故 A，B 错；因交线分 别垂直于异面直线 m，n，又 lm，ln，l，l，所以交线平行于 l，故选 D. 答案：D 2(2014大纲全国卷)已知二面角l为 60，AB，ABl， A 为垂足，CD，Cl，ACD135，则异面直线 AB 与 CD 所成 角的余弦值为() A.1 4 B. 2 4 C. 3 4 D.1 2 解析：如图，在平面内过 C 作 CEAB，则ECD 为异面直线 AB 与 CD 所成的角或其补角，不妨取 CE1，过 E 作 EO于 O. 在平面内过 O 作 OHCD 于 H， 连 EH，则 EHCD. 因为 ABCE，ABl，所以 CEl. 又因为 EO平面，所以 COl. 故ECO 为二面角l的平面角， 所以ECO60. 而ACD135，COl，所以OCH45. 在 RtECO 中，COCEcosECO1cos601 2. 在 RtCOH 中，CHCOcosOCH1 2sin45 2 4 . 在 RtECH 中，cosECHCH CE 2 4 1 2 4 . 答案：B 3 如图所示， 在四棱锥 SABCD 中， SB底面 ABCD.底面 ABCD 为梯形，ABAD，ABCD，AB1，AD3，CD2.若点 E 是线段 AD 上的动点，则满足SEC90的点 E 的个数是_ 解析： 由于 SB底面 ABCD，SE 在底面 ABCD 上的射影为 BE，要使 SEC90，只要 BEEC 即可由平面几何知识可知，以 BC 为直径 的圆与 AD 有两个交点，故满足条件的 E 点的个数是 2. 答案：2 4如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 是棱 D1D 的中点，点 F 在棱 B1B 上，且满足 B1F2BF. (1)求证：EFA1C1； (2)在棱 C1C 上确定一点 G，使 A，E，G，F 四点共面，并求此时 C1G 的长 解： (1)证明：如图所示，连接 B1D1， ABCDA1B1C1D1为正方体，四边形 A1B1C1D1为正方形 A1C1B1D1， 且 BB1平面 A1B1C1D1. A1C1BB1. B1D1BB1B1，A1C1平面 BB1D1D. EF平面 BB1D1D，EFA1C1. (2)如图所示，假设 A，E，G，F 四点共面，则 A，E，G，F 四点 确定平面 AEGF， ABCDA1B1C1D1为正方体，平面 AA1D1D平面 BB1C1C. 平面 AEGF平面 AA1D1DAE，平面 AEGF平面 BB1C1C GF， 由平面与平面平行的性质定理得 AEGF， 同理可得 AFGE， 因此四边形 AEGF 为平行四边形， GFAE. 在 RtADE 中，ADa，DE1 2DD 1a 2，ADE90， 由勾股定理得 AE AD2DE2a2 a 2 2 5 2 a， 在直角梯形 B1C1GF 中，下底 B1F2 3BB 12 3a，直角腰 B 1C1a， 斜腰 GFAE 5 2 a， 由勾股定理可得 GF B1C21B1FC1G2 a2 2 3aC 1G 2 5 2 a， 结合图形可知 C1GB1F，解得 C1G1 6a. 课时作业课时作业 45直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质 一、选择题 1平面平面，点 A，C，点 B，D，则直线 AC直线 BD 的充要条件是() AABCDBADCB CAB 与 CD 相交DA，B，C，D 四点共面 解析：充分性：A，B，C，D 四点共面，由平面与平面平行的性 质知 ACBD.必要性显然成立 答案：D 2一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面的距离相等，那 么直线 l 与平面的位置关系是() AlBl Cl 与相交但不垂直Dl或 l 解析：l时，直线 l 上任意点到的距离都相等；l时，直线 l 上所有的点到的距离都是 0；l时，直线 l 上有两个点到距离相 等；l 与斜交时，也只能有两个点到距离相等故选 D. 答案：D 3已知不重合的两条直线 l，m 和不重合的两个平面，下列 命题正确的是() Alm，l，则 m Bm，l，则 l C，l，则 l Dlm，m，l，则 解析：对于选项 A，m 可能在内，故 A 错；对于选项 B，l 可能 与相交，故 B 错；对于选项 C，l 可能在内，故 C 错，所以选 D. 答案：D 4已知 l、m 是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正 确的是() A若 l，m，则 lm B若 lm，m，则 l C若 lm，m，则 l D若 l，m，则 lm 解析：A 选项，l 与 m 可能平行，异面或相交，A 错；B 选项，l 与可能平行，相交或 l 在内，B 错；C 选项，l 有可能在内，C 错， 故选 D. 答案：D 5已知，是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，给出 下列命题： 若 m，m，则；若 m，n，m，n，则 ；如果 m，n，m，n 是异面直线，那么 n 与相交；若 m，nm，且 n，n，则 n且 n. 其中正确的命题是() AB CD 解析：由面面垂直的判定定理得正确，若 mn 时，有可 能相交，所以错误对来说，n 可能与平行，则错m， m，m，n，nm，则 n，同理 n，选 D. 答案：D 6如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AB，CC1 的中点，在平面 ADD1A1内且与平面 D1EF 平行的直线() A有无数条 B有 2 条 C有 1 条 D不存在 解析：因为平面 D1EF 与平面 ADD1A1有公共点 D1，所以两平面 有一条过 D1的交线 l， 在平面 ADD1A1内与 l 平行的任意直线都与平面 D1EF 平行，这样的直线有无数条 答案：A 二、填空题 7在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是 DD1的中点，则 BD1与 平面 ACE 的位置关系为_ 解析： 如图，连接 AC，BD 交于 O 点，连接 OE，因为 OEBD1，而 OE平面 ACE，BD1平面 ACE，所以 BD1平面 ACE. 答案：平行 8、是三个平面，a、b 是两条直线，有下列三个条件： a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b， 且_，则 ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是 _(把所有正确的题号填上) 解析：中，a，a，b，bab(线面平行的性 质)中，b，b，a，aab(线面平行的性质) 答案： 9在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1上的点，则点 Q 满足条件_时， 有平面 D1BQ平面 PAO. 解析：假设 Q 为 CC1的中点，因为 P 为 DD1的中点，所以 QB PA.连接 DB，因为 P，O 分别是 DD1，DB 的中点，所以 D1BPO， 又 D1B平面 PAO，QB平面 PAO，所以 D1B平面 PAO，QB平面 PAO，又 D1BQBB，所以平面 D1BQ平面 PAO.故 Q 满足条件 Q 为 CC1的中点时，有平面 D1BQ平面 PAO. 答案：Q 为 CC1的中点 三、解答题 10如图，已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，ABCD， DAB90，PA底面 ABCD，且 PAADDC1 2AB1，M 是 PB 的中点 (1)求证：AMCM； (2)若 N 是 PC 的中点，求证：DN平面 AMC. 证明：(1)在直角梯形 ABCD 中，ADDC1 2AB1， AC 2，BC 2， BCAC，又 PA平面 ABCD，BC平面 ABCD， BCPA，又 PAACA，BC平面 PAC， BCPC. 在 RtPAB 中，M 为 PB 的中点，则 AM1 2PB， 在 RtPBC 中，M 为 PB 的中点，则 CM1 2PB， AMCM. (2)如图，连接 DB 交 AC 于点 F， DC 綊 1 2AB，DF 1 2FB. 取 PM 的中点 G，连接 DG，FM，则 DGFM， 又 DG平面 AMC，FM平面 AMC， DG平面 AMC. 连接 GN，则 GNMC，GN平面 AMC，MC平面 AMC. GN平面 AMC，又 GNDGG， 平面 DNG平面 AMC， 又 DN平面 DNG，DN平面 AMC. 11如右图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正 方形，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF平面 ABCD，BF3，G 和 H 分别是 CE 和 CF 的中点 (1)求证：AC平面 BDEF； (2)求证：平面 BDGH平面 AEF. 解：(1)因为四边形 ABCD 是正方形，所以 ACBD. 又因为平面 BDEF平面 ABCD，平面 BDEF平面 ABCDBD， 且 AC平面 ABCD，所以 AC平面 BDEF. (2)在CEF 中，因为 G，H 分别是 CE，CF 的中点，所以 GH EF， 又因为 GH平面 AEF，EF平面 AEF，所以 GH平面 AEF. 设 ACBDO，连接 OH， 在ACF 中，因为 OAOC，CHHF，所以 OHAF， 又因为 OH平面 AEF，AF平面 AEF，所以 OH平面 AEF. 又因为 OHGHH，OH，GH平面 BDGH， 所以平面 BDGH平面 AEF. 1下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N， P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形的序号是 () AB CD 解析：对于图形：平面 MNP 与 AB 所在的对角面平行，即可得 到 AB平面 MNP， 对于图形： ABPN， 即可得到 AB平面 MNP， 图形，都不可以，故选 C. 答案：C 2如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H 分别是棱 CC1， C1D1， D1D， DC 的中点， N 是 BC 的中点， 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足条件_时，有 MN平面 B1BDD1. 题图答图 解析：如图，连接 FH，HN，FN， 由题意知 HN面 B1BDD1，FH面 B1BDD1. 且 HNFHH， 面 NHF面 B1BDD1. 当 M 在线段 HF 上运动时，有 MN面 B1BDD1. 答案：M线段 HF 3(2014四川卷)在如图所示的多面体中，四边形 ABB1A1和 ACC1A1都为矩形 (1)若 ACBC，证明：直线 BC平面 ACC1A1； (2)设 D，E 分别是线段 BC，CC1的中点，在线段 AB 上是否存在 一点 M，使直线 DE平面 A1MC？请证明你的结论 解：(1)证明：因为四边形 ABB1A1和 ACC1A1都是矩形，所以 AA1 AB，AA1AC. 因为 AB， AC 为平面 ABC 内两条相交直线， 所以 AA1平面 ABC. 因为直线 BC平面 ABC，所以 AA1BC. 又由已知，ACBC，AA1，AC 为平面 ACC1A1内两条相交直线， 所以 BC平面 ACC1A1. (2)取线段 AB 的中点 M， 连接 A1M， MC， A1C， AC1， 设 O 为 A1C， AC1的交点 由已知，O 为 AC1的中点 连接 MD，OE，则 MD，OE 分别为ABC，ACC1的中位线， 所以，MD 綊 1 2AC，OE 綊 1 2AC， 因此 MD 綊 OE. 连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 EDMO. 因为直线 DE平面 A1MC，MO平面 A1MC， 所以直线 DE平面 A1MC. 即线段 AB 上存在一点 M(线段 AB 的中点)，使直线 DE平面 A1MC. 课时作业课时作业 46直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 一、选择题 1已知直线 l平面，直线 m平面，则“lm”是“” 的() A充要条件B必要条件 C充分条件D既不充分又不必要条件 解析：若 lm，则 m平面，由面面垂直的判定定理可知， 反过来，若，l，则 l或 l，又因为 m，所以 l 与 m 可 能平行，异面或相交，所以“lm”是“”的充分条件，故选 C. 答案：C 2已知 m，n 为两条不同直线，为两个不同平面，直线 m 平面，直线 n平面，给出命题：nm；nm； nm；nm.其中正确命题为() AB CD 解析：由直线 n面，nmm面，又因为直线 m平面， 所以，对，由题意，再结合nnm，对，故选 B. 答案：B 3设 a，b 是夹角为 30的异面直线，则满足条件“a，b， 且”的平面，() A不存在B有且只有一对 C有且只有两对D有无数对 解析：过直线 a 的平面有无数个，当平面与直线 b 平行时，两 直线的公垂线与 b 确定的平面，当平面与 b 相交时，过交点作 平面的垂线与 b 确定的平面.故选 D. 答案：D 4如图所示，b，c 在平面内，acB，bcA，且 ab，a c，bc，若 Ca，Db(C，D 均异于 A，B)，则ACD 是() A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等腰三角形 解析：因为 ab，bc，acB，所以 b平面 ABC，AC平 面 ABC，所以 ADAC，故ACD 为直角三角形 答案：B 5如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 2，ACBC1， ACB90，D 是 A1B1的中点，F 是 BB1上的动点，AB1，DF 交于点 E.要使 AB1平面 C1DF，则线段 B1F 的长为() A.1 2 B1 C.3 2 D2 解析：设 B1Fx，因为 AB1平面 C1DF，DF平面 C1DF，所 以 AB1DF.由已知可以得 A1B1 2， 设 RtAA1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE1 2h.又 2 2h 2 2 22，所以 h2 3 3 ，DE 3 3 .在 Rt DB1E中， B1E 2 2 2 3 3 2 6 6 .由面积相等得 6 6 x2 2 2 2 2 2 x，得 x1 2. 答案：A 6已知球的直径 SC4，A，B 是该球球面上的两点，AB2， ASCBSC45，则棱锥 SABC 的体积为() A. 3 3 B.2 3 3 C.4 3 3 D.5 3 3 解析： 如图所示，由题意知，在棱锥 SABC 中，SAC，SBC 都是 等腰直角三角形，其中 AB2，SC4，SAACSBBC2 2.取 SC 的中点 D，易证 SC 垂直于面 ABD，因此棱锥 SABC 的体积为两 个棱锥 SABD 和 CABD 的体积和，所以棱锥 SABC 的体积 V 1 3SCS ADB1 34 3 4 3 3. 答案：C 二、填空题 7正方体 ABCDA1B1C1D1中 BB1与平面 ACD1所成角的余弦值 为_ 解析： 设 BD 与 AC 交于点 O，连接 D1O，BB1DD1，DD1与平面 ACD1所成的角就是 BB1与平面 ACD1成的角ACBD，ACDD1， DD1BDD，AC平面 DD1B，平面 DD1B平面 ACD1OD1， DD1在平面 ACD1内的射影落在 OD1上，故DD1O 为直线 DD1与平面 ACD1所成的角，设正方 体的棱长为 1，则 DD11，DO 2 2 ，D1O 6 2 ， cosDD1ODD1 D1O 6 3 ， BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为 6 3 . 答案： 6 3 8假设平面平面EF，AB，CD，垂足分别为 B，D， 如果增加一个条件，就能推出 BDEF，现有下面四个条件： AC；AC 与，所成的角相等；AC 与 BD 在内的射影 在同一条直线上；ACEF. 其中能成为增加条件的是_ (把你认为正确的条件序号都 填上) 解析： 如果 AB 与 CD 在一个平面内， 可以推出 EF 垂直于该平面， 又 BD 在该平面内，所以 BDEF.故要证 BDEF，只需 AB，CD 在 一个平面内即可，只有能保证这一条件 答案： 9如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，点 P 在线段 D1E 上点 P 到直线 CC1的距离的最小值为_ 解析： 点 P 到直线 CC1的距离等于点 P 在面 ABCD 上的射影到点 C 的距离，点 P 在面 ABCD 内的射影落在线段 DE 上设为 P，问题 等价求为 PC 的最小值，当 PCDE 时，PC 的长度最小，此时 PC 21 221 2 5 5 . 答案：2 5 5 三、解答题 10如图所示，已知三棱锥 ABPC 中，APPC，ACBC，M 为 AB 的中点，D 为 PB 的中点，且PMB 为正三角形 (1)求证：DM平面 APC； (2)求证：平面 ABC平面 A