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宜昌市 2014 届高三年级五月模拟考试试题 数 学（理工类） (本试题卷共 4 页，共 22 题。满分 150 分，考试用时 120 分钟) 祝考试顺利 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求. 理科数学试题 第 1 页（共 9 页） m1.若复数是纯虚数，其中是实数，则110lgzmmim 2 z A.i B.i C.2 D. i2i 2.集合 3 1AxN x ， 2 |log1BxNx1，SBSAS,，则集合的个 数为 A.8 B.4 C.2 D.0 3.总体由编号分别为 01,02,19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取 方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的 第 5 个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. B.07 C.02 D.01 08 4.函数 2 ( )21f xmxx有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是 A. B.0m 0m C.0m 或1m D.或 0m 1m 5.函数) 2 |)(|2sin()( xxf的图象向左平移 6 个单位后关于原点对称，则函数( )f x在 0, 2 上的最小值为 A. 3 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 3 2 6.给出下列四个结论：由曲线 2 yx、1y围成的区域的面积为 1 3 ； “”是“向 量 2x ) 1 , 1( xa与向量) 1, 3(xb平行”的充分非必要条件； 命题“a、b都是有理数” 的否定是“a、b都不是有理数” ；函数 2 2 4 ( )fsin sin 的最小值等于4。其中正确结 论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知直线l和双曲线 22 1 94 xy 相交于A、B两点，线段AB的中点为M（与坐标原点不 O 重合） ，设直线l的斜率为 ，直线的斜率为，则 11 (0k k)OM 2 k 12 k k A. 2 3 B. 2 3 C. 4 9 D. 4 9 8.某班班会准备从含有甲、乙、丙的 7 名学生中选取 4 人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加， 若甲、乙同时参加时，丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序 有 A.种 B.552种 C.560种 D.种 484612 9.在三棱锥中，PABCPA 平面ABC，ACBC，为侧棱上的一点，它的正视图 和侧视图如图所示： DPC 则下列命题正确的是 A.平面，且三棱锥 AD PBC DABC的体积为 16 3 侧视图 正视图 B.BD 平面，且三棱锥PACDABC的体积为 16 3 B C.平面，且三棱锥AD PBCDABC的体积为 8 3 D.AD 平面，且三棱锥PACDABC的体积为 8 3 10.设函数在区间 yf x, a b上的导函数为 fx, fx在区间, a b上的导函数为 fx ,若在区间上 , a b fx 0恒成立， 则称函数 f x在区间a b,上为 “凸函数” 已 知 4 11 126 32 3 2 fxxmxx,若对任意满足2m 的实数，函数m f x在区间上 为“凸函数” ，则b , a b a的最大值为 A. B.3 C.2 D.1 4 开始 0?x 是 2 log (1)yx 结束 否 x输入 y输出 21 x y 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分其中 1516 题是选做题，考生只能选 做一题，两题全答的，只计算前一题得分 （一）必考题： （1114 题） 11.如图所示的程序框图的输出值1,3y，则输入值x的取值 范围为_ 12. 若为正实数且满足cba,632cba，则 1213abc 1的最大值为_ 13.过点的直线与曲线(0,1)P 2 | 11 (1)xy 相交于两点 ,A B，则线段AB长度的取值范围是_ 14.图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑 色三角形的个数依次构成数列 n a的前四项，依此着色方案继 续对三角形着色. （1）数列 n a的通项公式_； n a 理科数学试题 第 2 页（共 9 页） （2）若数列 n b满足 1 2 ( ) 3 n nn ba 理科数学试题 第 3 页（共 9 页） B O D A C ，记 012320 202020 12022019 MCCC bCbCb，则 M的个位数字是_ （二）选考题：请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡 指定位置将你所选的题目序号的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选， 则按 第 15 题作答结果计分. 15. （几何证明选讲） 如图， 从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC， 已知2 3AD ，6AC ，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距 离为 16. （坐标系与参数方程选讲） 在直角坐标系xOy中， 直线l的参数方程为（t 为参数） ， 以坐标原点为极点，以 kty tx 1 Ox轴的正半轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极 坐标方程为，若直线 和曲线C相切，则实数的值为_ 4sin2coslk 三、解答题：本大题共6小题，满分75分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17.（本小题满分 12 分）在ABC中，是边DAC的中点，且1ABAD， 2 3 3 BD （1）求cos A的值； （2）求的值 sinC 18.（本小题满分 12 分）第 22 届索契冬奥会期间，来自俄罗斯国际奥林匹克大学的男、女大学 生共 9 名志愿者被随机地平均分配到速滑、冰壶、自由式滑雪这三个岗位服务，且速滑岗位 至少有一名女大学生志愿者的概率是 16 21 （1）求冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人的概率； （2）设X为在自由式滑雪岗位服务的男大学生志愿者的人数，求X的分布列和期望 19.（本题满分 12 分）如图，是以CAB为直径的圆O上异于 ,A B的点， 平面PAC 平面ABC，2 PCPAAC， ，4BC ,E F 分别是P中点， 记平面,C PB的AEF平 面 与 ABC交线为l 的 （1）求证：直线l平面； PAC （2） 直线 上是否存在点， 使直线分别与平面lQPQAEF、 直线EF所成的角互余？若存在， 求出|AQ的 值； 若不存 在，请说明理由 20.（本小题满分 12 分）已知数列 n a的通项公式为2n n a ，且数列 n b的通项公式满足 2 3 2() 2 nn ntb nb0)， * (,tR nN （1）试确定实数 的值，使得数列t n b为等差数列； （2）当数列 n b为等差数列时，对每个正整数，在和k k a 1k a 之间插入b个 2，得到一个新 数列 k n c。设T是数列 n n c的前n项和，试求满足T 1m c2 m 的所有正整数 m 21.（本小题满分 13 分） 设椭圆的中心和抛物线 1 2 的顶点均为原点，O 1 、的焦点均在 2 x 轴上，过的焦点 F 作直线 ，与交于 A、B 两点，在 2 l 2 1 、 2 上各取两个点，将其坐标 记录于下表中： x 3 2 4 3 y 2 3 0 4 3 2 （1）求、的标准方程； 1 2 理科数学试题 第 4 页（共 9 页） （2）已知是PQ、 1 OPOQ，求证： 2 11 OPOQ 上的两点，若 2 为定值；反之，当 22 11 OPOQ 为此定值时，OP是否成立？请说明理由 OQ 22(本小题满分 14 分)已知函数 1 ( )ln(1)f xxa x ，aR （1）求的单调区间； xf （2）若( )f x的最小值为 0，回答下列问题： （）求实数的值； a （）已知数列 n a满足 1 1a ,af 1 ()2 nn a ，记x表示不大于x的最大整数，求 ，求 1 2 Saa nn a n S 宜昌市 2014 届高三年级五月模拟考试 数学（理工类）参考答案 命题：龚 伟（枝江一中） 审题：孙红波（当阳一中） 胡俊（秭归一中） 向立政（宜昌市 教科院） 一、选择题一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D A A D B A C 二、填空题二、填空题 11、 12、7 , 11, 23 3 13、2 2,4 14、 （1） （2）1 15、 1 3n5 16、 1 三、解答题解答题 17.解： （1）在ABD中，1ABAD， 2 3 3 BD 222 cos A 理科数学试题 第 5 页（共 9 页） 2 BADBD A AB AD 2 22 2 3 11 3 1 2 1 13 . 4 分 （2）由（1）知， 1 cos 3 A，且0A， 2 2 2 sin1 cos 3 AA. 6 分 D是边AC的中点，. 22ACAD 在ABC中， 222222 121 cos 22 1 ABACBCBC A AB AC 23 8 分 解得 33 3 BC . 由正弦定理得， sinsin BCAB AC 2 2 1 sin2 66 3 sin 3333 3 ABA C BC . 12 分 18.解： （1）记至少一名女大学生志愿者被分到速滑岗位为事件，则的对立事件为 AA “没有女大学生志愿者被分到速滑岗位” ，设有女大学生x人，19x， 那么 33 96 33 96 16 ( )1(9)(8)(7)1203 21 x CC P Axxxx C C 即女大学生志愿者有 3 人，男大学生志愿者有 6 人 3 分 记冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人为事件B 则 12213 36366 33 96 ()3 ( ) 4 C CC C C P B C C 6 分 （2）X的所有可能值为0, 1,2,3 33 36 33 96 1 (0) 84 C C P X C C 213 366 33 96 183 (1) 8414 C C C P X C C 123 366 33 96 4515 (2) 8428 C C C P X C C 33 66 33 96 205 (3) 8421 C C P X C C 10 分 X的分布列为 X 0 1 2 3 1 84 3 14 15 28 5 21 P 理科数学试题 第 6 页（共 9 页） 13155 01232 84142821 EX 12 分 19 （1）证明：分别为中点，FE,PCPB,EFBC /，又 EFA,面面BCEFAEF BC/平面 EFA 2 分 又 BC平面ABC，平面EFA平面ABC=l lBC / 4 分 又 BCAC，平面 PAC平面ABC=AC，平面PAC平面 ABC BC平面PAC 平面PAC 6 分 l （2）以为坐标原点，CCA所在的直线为x轴，CB所在的直线为轴，过C垂直面的 yABC 直线为z轴建立空间直角坐标系 则) 2 3 , 2 , 2 1 () 2 3 , 0 , 2 1 ()3, 0 , 1 ()0 , 4 , 0()0 , 0 , 2(FEPBA， 7 分 ) 2 3 , 0 , 2 3 (AE，)0 , 2 , 0(EF设，平面)0 , 2(yQAEF的法向量为),(zyxm 则 0 0 mEP mAE 即 02 0 2 3 2 3 y zx 令3z得到平面AEF的一个法向量为)3, 0 , 1 ( m 10 分 | | EFPQ EFPQ ， |cosPQ，m|= | | mPQ mPQ cos|),3, 1 (yPQEPPQ,| 依题意得 | | EFPQ EFPQ = | | mPQ mPQ 1y 1.lQlAEFEFAQ 在 上存在点 ，使直线 分别与平面、直线所成的角互余， 12 分 20.解： （1）当时，1n 11 3 2()0, 2 tbb得 1 24bt，同理：2n 时，得； 时，得 2 164bt 3n 3 122bt，则由bb，得 13 2 2bt3。 而当时，3t 2 3 2(3) 2 nn nb nb0，得2 n bn由 1 2 nn bb ， 故此时数列 n b为等差数列。 6 分 （2）由题意知， 112342567893 2,2,4,2,8,cacccaccccca 则当时，1m 12 224Tc，不合题意，舍去； 当时，2m 212 42Tccc3，所以2m 成立； 当时，若3m 1 2 m c ，则 1 2 mm Tc ，不合题意，舍去； 从而必是数列 1m c n a中的某一项 1k a ，则 Tm=a1+2+2+a2+2+2+a3+2+2+a4+ak+2+2 b1个 b2个 b3个 bk个 23 123 (2222 )2() k k bbbb 12 (22 ) 2(21)22222 2 kk k k kk ， 9 分 又， 1 11 222 2k mk ca 所以 12 2222 k kk 1 2 2k，即 2 21 k kk0 ， 所以，因为为奇数， 2 21(1) k kkk k * 21 ( k kN) )而为偶数，所以上式无解。 2 (1kkk k 即当时，3m 1 2 mm Tc 综上所述，满足题意的正整数仅有2m . 12 分 21解： （1） 3 2,03 2 ，- 在椭圆上， 32 344，-， ，-在抛物线上， 22 1 1, 43 xy ： ： 2 2 4 .yx 4 分 （2）若 P、Q 分别为长轴和短轴的端点，则 22 11 OPOQ = 7 12 6 分 若 P、Q 都不为长轴和短轴的端点， 设 1 :;:.(,(, PPQQ OP ykxOQ yx k 那么xyxyP），Q） 联立方程 22 1 43 xy ykx ，解得 2 2 22 2 1212 , 4343 PP k xy kk 8 分 理科数学试题 第 7 页（共 9 页） 同理，联立方程 22 1 43 1 xy yx k ，解得 2 22 1212k 22 , 3434 QQ xy kk ； 2 22222 2222 111177 12121212121212 34343434 k kkk OPOQ kkkk 7 综合可知 2 11 OPOQ 2 为定值 7 12 10 分 理科数学试题 第 8 页（共 9 页） 反之，对于 1 上的任意两点，当PQ、 22 11 12 OPOQ 7 时， 设 1 :OP yk x， 2 :OQ yk x，易得 2 22 1 22 11 1212 , 4343 PP k xy kk ； 2 22 2 22 22 1212 , 4343 QQ k xy kk ， 由 22 117 12 OPOQ 得 22 12 22 12 43437 1212121212 kk kk ， 即 22222222 12121212 87767(k kkkk kkk1)，亦即，12 分 12 1k k 所以当 2 11 OPOQ 2 为定值 7 12 时，OPOQ不一定成立 13 分 22解： （1）函数的定义域为(0，且 xf,) / 22 1 ( ) axa fx xxx 1 分 当时，所以在区间0a /( ) 0fx xf(0,)内单调递增； 2 分 当时，由，解得0a /( ) 0fxxa；由 /( ) 0fx，解得0 xa 所以的单调递增区间为，单调递减区间为(0 3 分 xf( ,)a, )a 综上述：时，的单调递增区间是0a xf(0,)； 时，的单调递减区间是，单调递增区间是4